Série 2 — Directe ou inverse · Proportionnalité et rapport · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : dix minutes pour la série, le rythme de l'examen, une minute par question. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui vous a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe dans cette série : directe ou inverse ? Tranchez avant de calculer. À durée égale, les distances suivent les vitesses ; à distance égale, les vitesses sont inverses des durées ; le travail est un produit (machines × heures, heures × rendement), et deux rapports qui le composent se multiplient.

Exercices

Exercice 1

Dans une imprimerie, $6$ presses identiques tournent pendant $10$ heures. Le lendemain, $4$ presses du même modèle tournent pendant $15$ heures. Toutes les presses impriment au même rythme constant. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

Le lendemain, on a imprimé plus de pages que le premier jour.
Le premier jour, on a imprimé plus de pages que le lendemain.
Les données ne permettent pas de comparer les deux quantités.
On a imprimé autant de pages les deux jours.

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Réponse : D On a imprimé autant de pages les deux jours.

Corrigé :

6 \times 10 = 60 \text{ presses-heures}

le premier jour

4 \times 15 = 60 \text{ presses-heures}

le lendemain

60 = 60

même travail, donc même nombre de pages

La bonne réponse : « autant de pages les deux jours ». « Le premier jour… » ne regarde que les presses, $6$ contre $4$ . « Le lendemain… » ne regarde que les heures, $15$ contre $10$ . Le travail est le produit des deux. « Les données ne permettent pas… » réclame le rythme d'une presse. Il n'est pas nécessaire : il est le même les deux jours, et il se simplifie.

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Exercice 2

Deux robinets, ouverts ensemble, remplissent les $\frac{2}{3}$ d'un bassin vide en $4$ heures. Le premier robinet débite deux fois plus d'eau par heure que le second. En combien d'heures le second robinet, seul, remplirait-il tout le bassin vide ?

$9$
$18$
$6$
$12$

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Réponse : B $18$

Corrigé :

\tfrac{2}{3} \text{ en } 4 \text{ h} \;\Rightarrow\; 1 \text{ bassin en } 6 \text{ h}

ensemble : de la fraction au bassin entier

\begin{aligned}\text{débit commun} &= \tfrac{1}{6} \text{ bassin/h} \\ &= 2 \text{ parts} + 1 \text{ part}\end{aligned}

le premier fait 2 parts, le second 1 part

\begin{aligned}\text{second} &= \tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{6} \\ &= \tfrac{1}{18} \text{ bassin/h}\end{aligned}

seul, il lui faut 18 heures

La bonne réponse : « $18$ ». « $9$ » donne la part du débit au robinet rapide : $\frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$ . « $12$ » oublie de passer au bassin entier : il faut $12$ heures au second pour remplir les $\frac{2}{3}$ seulement. « $6$ » est le temps des deux robinets ensemble.

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Exercice 3

Un marchand de jus a le même nombre de bouteilles de chacune des trois tailles : $0{,}5$ litre, $1{,}5$ litre et $2$ litres, toutes pleines. Il vend toutes ses bouteilles de $1{,}5$ litre, et aucune autre. Quelle fraction de son stock de jus, en volume, a-t-il vendue ?

$\frac{3}{5}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{1}{3}$

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Réponse : B $\frac{3}{8}$

Corrigé :

0{,}5 + 1{,}5 + 2 = 4 \text{ litres}

le jus d'un « trio » : une bouteille de chaque taille

\dfrac{1{,}5}{4} = \dfrac{3}{8}

la part des bouteilles de 1,5 litre dans le volume, quel que soit le nombre de trios

La bonne réponse : « $\frac{3}{8}$ ». « $\frac{1}{3}$ » compte les bouteilles : il a bien vendu un tiers des bouteilles, mais pas un tiers du jus. « $\frac{3}{5}$ » compare le vendu au reste, $1{,}5$ litre contre $2{,}5$ litres : c'est un rapport, pas une part du tout. « $\frac{5}{8}$ » est la part du jus qui reste.

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Exercice 4

Dan part à vélo de Modiin à $8$ h $00$ . Lior part du même point à $8$ h $30$ , sur la même route, et le rattrape à $10$ h $00$ . Les deux roulent à vitesse constante. Quel est le rapport de la vitesse de Lior à celle de Dan ?

$3 : 4$
$4 : 1$
$4 : 3$
$5 : 4$

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Réponse : C $4 : 3$

Corrigé :

\text{Dan} : 2 \text{ h}, \quad \text{Lior} : 1{,}5 \text{ h}

de $8$ h $00$ à $10$ h $00$ pour Dan, de $8$ h $30$ à $10$ h $00$ pour Lior : les durées de course jusqu'au rattrapage

v_L \times 1{,}5 = v_D \times 2

au rattrapage, les deux ont parcouru la même distance

\begin{aligned}\dfrac{v_L}{v_D} &= \dfrac{2}{1{,}5} \\ &= \dfrac{4}{3}\end{aligned}

à distance égale, les vitesses sont inverses des durées

La bonne réponse : « $4 : 3$ ». « $3 : 4$ » fait le rapport direct des durées : à distance égale, celui qui roule moins longtemps va plus vite. « $4 : 1$ » compare les $2$ heures de Dan à la demi-heure de retard de Lior : le retard n'est pas une durée de course. « $5 : 4$ » compare les heures d'horloge, $10$ et $8$ , et non des durées.

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Exercice 5

Un disque est partagé en trois secteurs. L'angle au centre du premier est droit ; ceux des deux autres mesurent $x$ et $2x + 60^\circ$ . Quel est le rapport de l'aire du plus grand secteur à celle du plus petit ?

$20 : 7$
$20 : 9$
$7 : 20$
$13 : 5$

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Réponse : A $20 : 7$

Corrigé :

\begin{aligned}90 + x + 2x + 60 &= 360 \;\Rightarrow\; x \\ &= 70\end{aligned}

les angles au centre font un tour

90^\circ,\; 70^\circ,\; 200^\circ

les trois angles

\dfrac{200}{70} = \dfrac{20}{7}

l'aire d'un secteur suit son angle

La bonne réponse : « $20 : 7$ ». « $13 : 5$ » oublie l'angle droit dans la somme : $3x + 60 = 360$ donne $x = 100$ , puis $\frac{260}{100}$ . « $7 : 20$ » est le rapport inverse, du plus petit au plus grand. « $20 : 9$ » prend le secteur droit pour le plus petit, alors que $70^\circ < 90^\circ$ .

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Exercice 6

Un cylindre a pour rayon $r$ et pour hauteur $h$ . Un cône a pour rayon $2r$ et pour hauteur $3h$ . Quel est le rapport du volume du cône à celui du cylindre ?

$4$
$12$
$2$
$6$

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Réponse : A $4$

Corrigé :

V_{cyl} = \pi r^2 h

le cylindre

\begin{aligned}V_{cône} &= \tfrac{1}{3}\pi (2r)^2 (3h) \\ &= \tfrac{1}{3} \times 4 \times 3\,\pi r^2 h \\ &= 4\pi r^2 h\end{aligned}

le rayon compte au carré, la hauteur une fois, et le cône prend un tiers

\dfrac{4\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 4

le rapport

La bonne réponse : « $4$ ». « $12$ » oublie le facteur $\frac{1}{3}$ du cône : $4 \times 3$ . « $2$ » oublie le carré du rayon : $\frac{1}{3} \times 2 \times 3$ . « $6$ » oublie les deux : $2 \times 3$ .

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Exercice 7

Un rectangle a une longueur égale au triple de sa largeur. On augmente sa longueur de $20\,\%$ et sa largeur de $60\,\%$ . De combien de pour cent son périmètre augmente-t-il ?

$92\,\%$
$80\,\%$
$30\,\%$
$40\,\%$

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Réponse : C $30\,\%$

Corrigé :

\begin{aligned}\ell &= 1 \\ \; L &= 3 \;\Rightarrow\; P \\ &= 2(3 + 1) \\ &= 8\end{aligned}

une seule inconnue : la largeur, posée à 1

\begin{aligned}L' &= 3{,}6 \\ \; \ell' &= 1{,}6 \;\Rightarrow\; P' \\ &= 2(3{,}6 + 1{,}6) \\ &= 10{,}4\end{aligned}

après les deux hausses, $+20\,\%$ sur la longueur et $+60\,\%$ sur la largeur

\dfrac{10{,}4}{8} = 1{,}3

le périmètre augmente de 30 %

La bonne réponse : « $30\,\%$ ». « $92\,\%$ » multiplie les deux facteurs, $1{,}2 \times 1{,}6 = 1{,}92$ : c'est la hausse de l'aire. « $80\,\%$ » additionne les deux hausses. « $40\,\%$ » en fait la moyenne simple. Or la longueur pèse trois fois plus que la largeur dans le périmètre : la moyenne est pondérée, $\frac{3 \times 20 + 1 \times 60}{4} = 30$ .

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Exercice 8

Une bougie de $25$ cm brûle de $1{,}5$ cm par heure. On ne peut pas l'utiliser quand il en reste $4$ cm : ce bout reste dans le bougeoir. Une famille allume une bougie $2$ heures chaque soir, et change de bougie quand la précédente est finie. Combien de soirs $6$ bougies lui durent-elles ?

$42$
$84$
$50$
$63$

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Réponse : A $42$

Corrigé :

25 - 4 = 21 \text{ cm utilisables par bougie}

seule la partie qui brûle compte

2 \times 1{,}5 = 3 \text{ cm par soir}

ce qu'un soir consomme

\begin{aligned}\dfrac{21}{3} &= 7 \;\Rightarrow\; 6 \times 7 \\ &= 42 \text{ soirs}\end{aligned}

chaque bougie tient $7$ soirs entiers

La bonne réponse : « $42$ ». « $50$ » brûle les bougies jusqu'au bout, $\frac{6 \times 25}{3}$ : le bout de $4$ cm ne sert jamais. « $84$ » donne le nombre d'heures, $\frac{6 \times 21}{1{,}5}$ , pas de soirs. « $63$ » divise les $126$ cm utilisables par les $2$ heures du soir : on a mélangé des centimètres et des heures.

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Exercice 9

Une équipe finit un chantier en $12$ jours en travaillant $8$ heures par jour. Sur un second chantier identique, elle ne travaille que $6$ heures par jour, et elle produit $20\,\%$ de moins par heure. En combien de jours finit-elle le second chantier ?

environ $21{,}8$
$20$
$7{,}2$
$16$

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Réponse : B $20$

Corrigé :

\dfrac{6}{8} \times 0{,}8 = 0{,}6

le travail d'une journée : heures × rendement horaire, deux rapports qui se multiplient

\dfrac{12}{0{,}6} = 20

trois cinquièmes du travail par jour : le nombre de jours se divise

La bonne réponse : « $20$ ». « $16$ » ne tient compte que des heures, $12 \times \frac{8}{6}$ , et oublie la baisse du rendement. « $7{,}2$ » multiplie les jours par $0{,}6$ au lieu de les diviser : une équipe qui fait moins chaque jour met plus de jours. « environ $21{,}8$ » additionne les deux baisses, $25\,\% + 20\,\% = 45\,\%$ , puis divise $12$ par $0{,}55$ : deux baisses en pourcentage se multiplient.

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Exercice 10

Une voiture part de Haïfa vers Eilat. Quand elle a parcouru $a$ km, une seconde voiture part d'Eilat vers Haïfa, sur la même route ; à cet instant, $b$ km séparent les deux voitures ( $b > a$ ). Les deux voitures se croisent exactement au milieu de la route. Leurs vitesses sont constantes. Quel est le rapport de la vitesse de la première voiture à celle de la seconde ?

$\frac{a+b}{b-a}$
$\frac{b-a}{a+b}$
$1$
$\frac{b-2a}{b}$

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Réponse : B $\frac{b-a}{a+b}$

Corrigé :

L = a + b

la route entière : ce que la première a fait, plus ce qui reste entre elles

\text{milieu} = \tfrac{a+b}{2}

chaque voiture a fait la moitié de la route au croisement

\begin{aligned}\text{1re} : \tfrac{a+b}{2} - a &= \tfrac{b-a}{2} \\ \quad \text{2e} : \tfrac{a+b}{2}\end{aligned}

les distances de la seconde phase, faites dans le même temps

\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{b-a}{a+b}

même durée : les vitesses suivent les distances

La bonne réponse : « $\frac{b-a}{a+b}$ ». « $\frac{b-2a}{b}$ » prend l'écart $b$ pour la route entière : le milieu serait alors à $\frac{b}{2}$ . « $\frac{a+b}{b-a}$ » est le rapport inverse, de la seconde à la première. « $1$ » suppose des vitesses égales parce qu'elles se croisent au milieu ; mais la première est partie plus tôt. Testez $a = 20$ , $b = 100$ : la route fait $120$ km, la première fait $40$ km pendant que la seconde en fait $60$ , d'où $\frac{2}{3} = \frac{80}{120}$ .

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Exercices

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