Série 3 — Rapports, tableau et figures · Proportionnalité et rapport · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : dix minutes pour la série, le rythme de l'examen, une minute par question. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui vous a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe dans cette série : nommez la référence de chaque rapport. Une proportion se rapporte à SON total ; « les $\frac{4}{5}$ de $X$ » met $X$ au dénominateur ; une commission se prend sur ce qu'on convertit ; deux triangles de même hauteur ont des aires dans le rapport de leurs bases.

Cinq titres imprimés en 2025 par une maison d'édition de Jérusalem

Titre	Pages par exemplaire	Pages imprimées (en milliers)	Prix d'un exemplaire (₪)
Roman « Le Phare »	240	720	60
Guide « Galilée »	160	800	72
Album « Oiseaux »	?	300	75
Recueil « Poèmes »	120	360	48
Manuel « Cuisine »	300	900	80

Données inventées. La troisième colonne donne le nombre total de pages imprimées pour le titre, tous exemplaires réunis, en milliers. Le nombre de pages d'un exemplaire de l'album n'est pas donné. Les questions marquées « d'après le tableau » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

Le réservoir d'une voiture est plein aux $\frac{5}{8}$ . Après un trajet qui consomme $21$ litres d'essence, la jauge indique $\frac{1}{4}$ . Quelle est la capacité du réservoir, en litres ?

$14$
$84$
$56$
$33{,}6$

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Réponse : C $56$

Corrigé :

\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}

les 21 litres consommés valent la différence des deux fractions

\begin{aligned}\dfrac{3}{8}\,V &= 21 \;\Rightarrow\; V \\ &= 56\end{aligned}

la capacité

La bonne réponse : « $56$ ». « $33{,}6$ » divise $21$ par $\frac{5}{8}$ seulement, comme si le réservoir finissait vide. « $84$ » divise $21$ par $\frac{1}{4}$ seulement : on a pris le reste pour la consommation. « $14$ » est l'essence qui reste, $\frac{1}{4}$ de $56$ : ce n'est pas la question.

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Exercice 2

La vitesse d'un camion est égale à $k$ fois celle d'un tracteur. Un jour, le camion roule pendant les $\frac{2}{3}$ du temps que roule le tracteur. Les deux vitesses sont constantes. Quel est le rapport de la distance parcourue par le camion à celle parcourue par le tracteur ?

$\frac{2k}{3}$
$\frac{2}{3k}$
$\frac{3k}{2}$
$k$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{2k}{3}$

Corrigé :

d = v \times t

la distance est le produit de la vitesse et du temps

\begin{aligned}\dfrac{d_c}{d_t} &= \dfrac{v_c}{v_t} \times \dfrac{t_c}{t_t} \\ &= k \times \dfrac{2}{3}\end{aligned}

on multiplie les deux rapports

La bonne réponse : « $\frac{2k}{3}$ ». « $k$ » n'utilise que le rapport des vitesses, comme si les deux roulaient aussi longtemps. « $\frac{3k}{2}$ » inverse le rapport des temps : c'est le tracteur qui roule le plus longtemps. « $\frac{2}{3k}$ » inverse le rapport des vitesses. Testez $k = 3$ : le camion va trois fois plus vite pendant deux tiers du temps, il fait donc deux fois la distance du tracteur.

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Exercice 3

D'après le tableau, l'album « Oiseaux » a été imprimé au même nombre d'exemplaires que le roman « Le Phare ». Combien de pages compte un exemplaire de l'album ?

$100$
$60$
$3\,000$
$576$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $100$

Corrigé :

\dfrac{720\,000}{240} = 3\,000

les exemplaires du roman : pages imprimées sur pages par exemplaire

\dfrac{300\,000}{3\,000} = 100

le même nombre d'exemplaires pour l'album

240 \times \dfrac{300}{720} = 100

en une ligne : à nombre égal d'exemplaires, les pages par exemplaire suivent les totaux

La bonne réponse : « $100$ ». « $576$ » fait le rapport dans le mauvais sens, $240 \times \frac{720}{300}$ : l'album a moins de pages imprimées, ses exemplaires sont donc plus minces. « $60$ » prend la ligne du guide au lieu de celle du roman : $160 \times \frac{300}{800}$ . « $3\,000$ » est le nombre d'exemplaires : on s'est arrêté à la première étape.

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Exercice 4

D'après le tableau, le prix d'un exemplaire du roman « Le Phare » est égal aux $\frac{4}{5}$ du prix d'un exemplaire de quel titre ?

L'album « Oiseaux »
Le manuel « Cuisine »
Le guide « Galilée »
Le recueil « Poèmes »

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A L'album « Oiseaux »

Corrigé :

\begin{aligned}60 &= \tfrac{4}{5}\,X \;\Rightarrow\; X \\ &= 60 \times \tfrac{5}{4} \\ &= 75\end{aligned}

le prix cherché est plus grand que celui du roman

75 \text{ shekels} : \text{l'album}

on le lit dans la dernière colonne

La bonne réponse : « L'album « Oiseaux » ». « Le recueil… » inverse le sens du rapport : $48$ est les $\frac{4}{5}$ de $60$ , et non l'inverse. « Le guide… » traduit « les $\frac{4}{5}$ de $X$ » par « $X$ vaut $20\,\%$ de plus » : $60 \times 1{,}2 = 72$ . Or $60$ est à $20\,\%$ sous $X$ , et $X$ est à $25\,\%$ au-dessus de $60$ . « Le manuel… » confond $\frac{4}{5}$ et $\frac{3}{4}$ : $\frac{60}{3/4} = 80$ .

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Exercice 5

On appelle « coût par page » d'un titre le prix d'un exemplaire divisé par son nombre de pages. D'après le tableau, lequel de ces quatre titres a le plus petit coût par page ?

Le roman « Le Phare »
Le manuel « Cuisine »
Le recueil « Poèmes »
Le guide « Galilée »

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Le roman « Le Phare »

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{60}{240} &= 0{,}25 \quad \dfrac{72}{160} \\ &= 0{,}45\end{aligned}

le roman, le guide

\dfrac{48}{120} = 0{,}4 \quad \dfrac{80}{300} \approx 0{,}267

le recueil, le manuel

0{,}25 < 0{,}267 < 0{,}4 < 0{,}45

le roman a le plus petit coût par page

La bonne réponse : « Le roman « Le Phare » ». « Le guide… » a le plus grand coût par page : c'est le choix de qui inverse le rapport et cherche le minimum des pages par shekel. « Le recueil… » a le plus petit prix, sans regarder ses pages. « Le manuel… » a le plus de pages, mais son prix aussi est élevé : $\frac{80}{300} > \frac{60}{240}$ , car $80 \times 240 > 60 \times 300$ .

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Exercice 6

Le kibboutz A compte $n$ fois plus d'habitants que le kibboutz B. Le nombre de cyclistes de A est égal à $m$ fois celui de B. Quel est le rapport de la proportion de cyclistes parmi les habitants de A à la proportion de cyclistes parmi les habitants de B ?

$\frac{n}{m}$
$\frac{m}{n}$
$mn$
$m$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{m}{n}$

Corrigé :

\begin{aligned}p_A &= \dfrac{c_A}{h_A} \\ &= \dfrac{m\,c_B}{n\,h_B}\end{aligned}

chaque proportion : cyclistes sur habitants

\begin{aligned}\dfrac{p_A}{p_B} &= \dfrac{m\,c_B / (n\,h_B)}{c_B / h_B} \\ &= \dfrac{m}{n}\end{aligned}

le rapport des numérateurs divisé par le rapport des totaux

La bonne réponse : « $\frac{m}{n}$ ». « $m$ » oublie le rapport des totaux : il compare des nombres de cyclistes, pas des proportions. « $mn$ » multiplie par le rapport des totaux au lieu de diviser : plus d'habitants fait baisser la proportion. « $\frac{n}{m}$ » est le rapport inverse, de B à A. Testez $n = 4$ , $m = 2$ : A a deux fois plus de cyclistes pour quatre fois plus d'habitants, sa proportion est donc deux fois plus petite.

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Exercice 7

Pendant le même temps, Shira saisit $5$ pages quand Noam en saisit $3$ . Chacun saisit seul le même dossier, à son rythme constant. Noam y passe $4$ heures de plus que Shira. Combien d'heures Noam passe-t-il à saisir ce dossier ?

$20$
$6$
$10$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $10$

Corrigé :

v_S : v_N = 5 : 3

le rapport des rendements, lu sur le même temps

t_S : t_N = 3 : 5

même travail : les durées sont inverses des rendements

\begin{aligned}5 - 3 &= 2 \text{ parts} \\ &= 4 \text{ h} \;\Rightarrow\; 1 \text{ part} \\ &= 2 \text{ h}\end{aligned}

l'écart des durées

\begin{aligned}t_N &= 5 \times 2 \\ &= 10\end{aligned}

Noam, le plus lent, prend 5 parts

La bonne réponse : « $10$ ». « $6$ » inverse le rapport et donne à Noam les $3$ parts du plus rapide : c'est la durée de Shira, trop courte pour le plus lent. « $20$ » prend l'écart de $4$ heures pour une seule part : $5 \times 4$ . « $12$ » fait la même confusion avec les $3$ parts : $3 \times 4$ . Vérifiez : en $6$ heures Shira saisit $30$ « unités », et Noam aussi en $10$ heures, $3 \times 10 = 30$ .

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Exercice 8

Dans un bureau de change, un dollar coûte $3{,}6$ shekels, et le bureau ajoute une commission de $2{,}5\,\%$ du montant converti. Yossi dispose de $1\,476$ shekels en tout, commission comprise. Combien de dollars peut-il obtenir, au plus ?

$1\,440$
$399{,}75$
$410$
$400$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $400$

Corrigé :

3{,}6 \times 1{,}025 = 3{,}69

le coût réel d'un dollar, commission ajoutée

\dfrac{1\,476}{3{,}69} = 400

le budget divisé par ce coût

La bonne réponse : « $400$ ». « $399{,}75$ » retire la commission du budget, $1\,476 \times 0{,}975$ , puis divise par $3{,}6$ : la commission se calcule sur le montant converti, pas sur le budget. « $410$ » oublie la commission : $\frac{1\,476}{3{,}6}$ . « $1\,440$ » retire bien la commission, $\frac{1\,476}{1{,}025}$ , mais s'arrête là : ce sont des shekels, pas des dollars.

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Exercice 9

$ABCD$ est un trapèze de bases $AB = a$ et $CD = b$ ( $AB \parallel CD$ ). $P$ est un point du côté $CD$ , et $Q$ un point du côté $AB$ . Quel est le rapport de l'aire du triangle $ABP$ à l'aire du triangle $CDQ$ ?

$1$
$\frac{a}{b}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données.
$\frac{a^2}{b^2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{a}{b}$

Corrigé :

S_{ABP} = \tfrac{1}{2}\,a\,h

la base $AB$ ; $P$ est sur l'autre base, à la distance $h$ , la hauteur du trapèze

S_{CDQ} = \tfrac{1}{2}\,b\,h

la base $CD$ ; $Q$ est sur $AB$ , à la même distance $h$

\dfrac{S_{ABP}}{S_{CDQ}} = \dfrac{a}{b}

même hauteur : les aires suivent les bases

La bonne réponse : « $\frac{a}{b}$ ». « $1$ » confond avec deux triangles construits sur la même base : ici les bases diffèrent. « $\frac{a^2}{b^2}$ » traite les triangles comme semblables : ils ne le sont pas, et ils partagent une hauteur, pas une forme. « On ne peut pas le savoir… » réclame la hauteur ou la position de $P$ et $Q$ : la hauteur est la même pour les deux et se simplifie, et la position ne change rien.

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Exercice 10

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ , avec $BC = a$ et $AC = b$ . Un carré a un sommet en $C$ , deux côtés posés sur $CB$ et $CA$ , et son quatrième sommet sur l'hypoténuse $AB$ . Quelle est la longueur du côté du carré ?

$\frac{b^2}{a+b}$
$\frac{a+b}{ab}$
$\frac{a^2}{a+b}$
$\frac{ab}{a+b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{ab}{a+b}$

Corrigé :

s

le côté du carré

\dfrac{b - s}{s} = \dfrac{b}{a}

le petit triangle près de $A$ est semblable à $ABC$ : côté sur $CA$ contre côté parallèle à $CB$

\begin{aligned}a(b - s) &= bs \;\Rightarrow\; s \\ &= \dfrac{ab}{a+b}\end{aligned}

on isole $s$

La bonne réponse : « $\frac{ab}{a+b}$ ». « $\frac{b^2}{a+b}$ » associe les mauvais côtés homologues dans le triangle près de $A$ : $\frac{b-s}{s} = \frac{a}{b}$ . « $\frac{a^2}{a+b}$ » fait la même erreur dans le triangle près de $B$ . « $\frac{a+b}{ab}$ » est l'inverse de la bonne réponse : ce n'est même pas une longueur. Testez $a = 6$ , $b = 3$ : $s = 2$ , et le petit triangle près de $A$ a pour côtés $1$ et $2$ , dans le rapport $3 : 6$ .

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Exercices

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