Des pourcentages sans un seul montant

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Un tableau à double entrée clairsemé, où chaque case est une part du budget de sa ligne, et où aucun budget n'est écrit. Le geste qui décide : deux cases d'une même ligne ont la même base, deux cases d'une même colonne n'en ont pas. On ne soustrait, n'additionne ni ne compare deux pourcentages de bases différentes avant de les avoir changés en montants.

Cinq fondations privées financent des projets d'environnement. Chaque ligne correspond à une fondation, chaque colonne à un projet. Une case donne le pourcentage du budget annuel de la fondation de la ligne que celle-ci verse au projet de la colonne. Une case vide signifie que la fondation ne finance pas ce projet. Un même projet peut recevoir l'argent de plusieurs fondations, et le reste de chaque budget va à des actions absentes du tableau. Le tableau ne donne aucun budget : quand une question en a besoin, elle le fournit.

Part du budget de chaque fondation versée à chaque projet (en pourcentage)
FondationJardin partagéPiste cyclableNichoirs à chouettesToits solaires des écolesNettoyage des rivages
Carmel8612
Arava1422
Galilée5159
Néguev4207
Sharon10311

Une case vide : la fondation ne finance pas ce projet. Chaque pourcentage se lit par rapport au budget de sa ligne.

Par exemple : la fondation Arava verse 22  %22\;\% de son budget aux toits solaires des écoles ; si ce budget était de 500 000500\,000 shekels, cela ferait 110 000110\,000 shekels.

Chaque question se traite seule : une donnée qu'elle ajoute ne vaut que pour elle.

Exercices

Exercice 1

Le budget de la fondation Néguev est de 900 000900\,000 shekels. La fondation Carmel verse au nettoyage des rivages 21 00021\,000 shekels de plus que la fondation Néguev. Quel est le budget de la fondation Carmel ?

  1. 700 000700\,000 shekels
  2. 350 000350\,000 shekels
  3. 900 000900\,000 shekels
  4. 1 200 0001\,200\,000 shekels
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 700 000700\,000 shekels

Corrigé :

0,07×900 000=63 000{0{,}07 \times 900\,000 = 63\,000}

Néguev verse 7  %7\;\% de son propre budget aux rivages.

63 000+21 000=84 000{63\,000 + 21\,000 = 84\,000}

Le versement de Carmel, en shekels.

84 0000,12=700 000{\frac{84\,000}{0{,}12} = 700\,000}

Ces 84 00084\,000 shekels sont 12  %12\;\% du budget de Carmel, et non de celui de Néguev.

700 000700\,000 shekels. Les deux cases sont dans la même colonne, mais pas sur la même ligne : chacune se lit par rapport à son propre budget. 1 200 0001\,200\,000 divise les 84 00084\,000 shekels par le 7  %7\;\% de Néguev, c'est-à-dire par la mauvaise ligne. 900 000900\,000 suppose que les deux fondations ont la même base. 350 000350\,000 retranche les 21 00021\,000 shekels au lieu de les ajouter.

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Exercice 2

À la fondation Néguev, les toits solaires des écoles reçoivent 96 00096\,000 shekels de plus que la piste cyclable. Quel est le budget de la fondation Néguev ?

  1. 2 400 0002\,400\,000 shekels
  2. 480 000480\,000 shekels
  3. 600 000600\,000 shekels
  4. 400 000400\,000 shekels
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 600 000600\,000 shekels

Corrigé :

20 %−4 %=16 %{20\,\% - 4\,\% = 16\,\%}

Les deux cases sont sur la même ligne : leur écart est une part du même budget.

0,16×B=96 000{0{,}16 \times B = 96\,000}

Cette part vaut 96 00096\,000 shekels.

B=96 0000,16=600 000{B = \frac{96\,000}{0{,}16} = 600\,000}

Le budget de Néguev.

600 000600\,000 shekels. Sur une même ligne, on peut soustraire les pourcentages directement, parce qu'ils ont la même base. 480 000480\,000 divise l'écart par la seule case des toits solaires (20  %20\;\%), et 2 400 0002\,400\,000 par la seule case de la piste (4  %4\;\%). 400 000400\,000 additionne les deux cases (24  %24\;\%) au lieu de les soustraire.

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Exercice 3

Les budgets des fondations Carmel, Galilée et Sharon valent respectivement xx, 2x2x et 3x3x shekels. Quel montant total, en shekels, le jardin partagé reçoit-il ?

  1. 0,23x0{,}23x
  2. 1,38x1{,}38x
  3. 0,44x0{,}44x
  4. 0,48x0{,}48x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 0,48x0{,}48x

Corrigé :

Carmel:0,08×x=0,08x{\text{Carmel} : 0{,}08 \times x = 0{,}08x}

La colonne du jardin partagé a trois financeurs, et seulement trois : Carmel, Galilée et Sharon (88, 55 et 1010).

Galileˊe:0,05×2x=0,10x{\text{Galilée} : 0{,}05 \times 2x = 0{,}10x}

Chaque pourcentage s'applique au budget de sa ligne.

Sharon:0,10×3x=0,30x{\text{Sharon} : 0{,}10 \times 3x = 0{,}30x}

La plus grosse case tombe sur le plus gros budget.

0,08x+0,10x+0,30x=0,48x{0{,}08x + 0{,}10x + 0{,}30x = 0{,}48x}

On additionne des montants, pas des pourcentages.

0,48x0{,}48x. Une colonne ne s'additionne qu'une fois chaque case convertie en montant. 0,23x0{,}23x additionne les trois pourcentages (8+5+10=238 + 5 + 10 = 23) comme s'ils avaient tous la base xx : c'est oublier de pondérer. 0,44x0{,}44x pondère dans le mauvais ordre (3x3x pour Carmel, xx pour Sharon). 1,38x1{,}38x prend 23  %23\;\% de la somme des trois budgets, 6x6x.

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Exercice 4

Les fondations Carmel et Galilée versent le même montant aux nichoirs à chouettes. Complétez : la fondation qui a le plus gros budget est ___, et son budget vaut ___ fois celui de l'autre.

  1. Carmel ; 32\dfrac{3}{2}
  2. Carmel ; 52\dfrac{5}{2}
  3. Impossible à déterminer sans les budgets
  4. Galilée ; 52\dfrac{5}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Carmel ; 52\dfrac{5}{2}

Corrigé :

0,06×C=0,15×G{0{,}06 \times C = 0{,}15 \times G}

Le même montant, écrit avec la base de chacune : 6  %6\;\% du budget CC de Carmel, 15  %15\;\% du budget GG de Galilée.

CG=156=52{\frac{C}{G} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}}

L'égalité fixe le rapport des budgets, sans en donner la valeur.

C>G{C > G}

Pour verser la même somme avec une plus petite part, il faut un plus gros budget.

Carmel ; 52\dfrac{5}{2}. Aucun budget n'est donné, mais la phrase ne demande qu'un rapport, et l'égalité des montants le fixe. D'où le piège « impossible à déterminer », rendu plus tentant par la fondation Sharon, troisième financeur de la colonne, qui ne joue ici aucun rôle. « Galilée ; 52\dfrac{5}{2} » donne le plus gros budget à la plus grosse case, alors que la proportion est inverse. « Carmel ; 32\dfrac{3}{2} » divise l'écart des cases (15−6=915 - 6 = 9) par 66 : cela dit que le budget de Carmel dépasse celui de Galilée de 150  %150\;\%, et non qu'il vaut 32\dfrac{3}{2} fois ce budget.

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Exercice 5

Quel pourcentage de son budget la fondation Galilée verse-t-elle, en tout, aux projets du tableau ?

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Réponse : 29

Corrigé :

5+15+9=29{5 + 15 + 9 = 29}

Trois cases d'une même ligne : même base, elles s'additionnent.

29  %29\;\%. Le reste, 71  %71\;\%, va à des actions absentes du tableau.

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Exercice 6

La fondation Sharon finance plus de projets du tableau que la fondation Néguev.

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Réponse : Faux

Corrigé :

Sharon:3Neˊguev:3{\text{Sharon} : 3 \qquad \text{Néguev} : 3}

Trois cases pleines sur chaque ligne.

Faux : trois projets chacune. La question compte des cases, pas des pourcentages.

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Exercice 7

Le budget de la fondation Arava est de 800 000800\,000 shekels. Combien verse-t-elle à la piste cyclable ?

  1. 11 20011\,200 shekels
  2. 176 000176\,000 shekels
  3. 112 000112\,000 shekels
  4. 288 000288\,000 shekels
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 112 000112\,000 shekels

Corrigé :

14  %×800 000=112 000{14\;\% \times 800\,000 = 112\,000}

La case d'Arava sous la piste cyclable.

112 000112\,000 shekels. 176 000176\,000 prend la case des toits solaires ; 288 000288\,000 additionne les deux cases d'Arava.

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Exercice 8

Les fondations Néguev et Sharon ont chacune un budget de 600 000600\,000 shekels. Combien la piste cyclable reçoit-elle de ces deux fondations réunies ?

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Réponse : 42000

Corrigé :

4  %×600 000=24 000{4\;\% \times 600\,000 = 24\,000}

Néguev.

3  %×600 000=18 000{3\;\% \times 600\,000 = 18\,000}

Sharon.

24 000+18 000=42 000{24\,000 + 18\,000 = 42\,000}

Les deux.

42 00042\,000 shekels. Ici, les deux pourcentages d'une même colonne s'additionnent, mais seulement parce que les deux budgets sont égaux.

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Exercice 9

La fondation Galilée verse 45 00045\,000 shekels aux nichoirs à chouettes. Combien verse-t-elle aux toits solaires des écoles ?

  1. 75 00075\,000 shekels
  2. 405 000405\,000 shekels
  3. 27 00027\,000 shekels
  4. 45 00045\,000 shekels
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 27 00027\,000 shekels

Corrigé :

15  %×B=45 000 ⇒ B=300 000{15\;\% \times B = 45\,000 \ \Rightarrow \ B = 300\,000}

Le budget de Galilée.

9  %×300 000=27 000{9\;\% \times 300\,000 = 27\,000}

Les toits solaires.

27 00027\,000 shekels. Plus court : même ligne, même base, donc 45 000×915=27 00045\,000 \times \dfrac{9}{15} = 27\,000. 75 00075\,000 renverse le rapport.

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Exercice 10

Si les fondations Carmel et Sharon ont le même budget, Sharon verse plus que Carmel au jardin partagé.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

10  %>8  %{10\;\% > 8\;\%}

Même base, grâce à l'hypothèse : les pourcentages se comparent.

Vrai. Sans l'hypothèse du même budget, on ne pourrait rien dire : deux cases d'une même colonne n'ont pas la même base.

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