Douze semaines dans une case

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Une grille horaire résume plusieurs semaines : une case ne dit pas ce qui s'est passé une semaine donnée, seulement combien de semaines chaque activité a occupé ce créneau. Le geste décisif : se demander ce que la case permet — et ce qu'elle interdit — pour une seule semaine.

La salle polyvalente d'un centre communautaire de Kiryat Tivon accueille quatre activités : la danse, la chorale, le yoga et le théâtre. La grille résume une période de 1212 semaines. Chaque ligne est un créneau d'une heure, de 1515 h à 2222 h, et chaque colonne un jour, du dimanche au jeudi. Dans une case, chaque lettre désigne une activité, et le nombre qui la suit est le nombre de semaines, sur les 1212, où cette activité a occupé ce créneau. Une case vide signifie que le créneau n'a jamais été occupé. Règles : une semaine donnée, une seule activité occupe un créneau, et elle l'occupe pour l'heure entière.

Occupation de la salle polyvalente sur 12 semaines
CréneauDimancheLundiMardiMercrediJeudi
15 h – 16 hC 12D 6
16 h – 17 hD 4D 3D 5 · T 4T 8D 7
17 h – 18 hD 10D 7 · C 2D 8D 9 · Y 2
18 h – 19 hD 6 · T 6D 9C 10D 2 · C 9C 5
19 h – 20 hY 8Y 4 · T 3Y 9Y 5 · C 7Y 7
20 h – 21 hC 6T 11D 10C 7 · T 5
21 h – 22 hT 12C 4T 6

D : danse · C : chorale · Y : yoga · T : théâtre. Le nombre qui suit la lettre compte des semaines, sur les 1212 de la période.

Par exemple : le lundi de 1717 h à 1818 h, la salle a accueilli la danse pendant 77 semaines et la chorale pendant 22 semaines ; elle est donc restée vide 33 semaines.

Chaque question se traite seule : une donnée qu'elle ajoute ne vaut que pour elle.

Exercices

Exercice 1

Pendant combien des 1212 semaines la salle est-elle restée vide le mardi de 1616 h à 1717 h ?

  1. 88
  2. 77
  3. 33
  4. 99
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Réponse : C 33

Corrigé :

5+4=9{5 + 4 = 9}

La case du mardi de 1616 h à 1717 h porte deux activités : la danse 55 semaines, le théâtre 44 semaines. Une semaine ne compte qu'une activité par créneau, donc 99 semaines occupées.

12−9=3{12 - 9 = 3}

Le reste de la période, le créneau était libre.

33 semaines. La donnée n'est pas dans la case : elle se reconstruit par le complément à 1212, et le complément se prend sur toute la case. 77 (12−512 - 5) et 88 (12−412 - 4) ne retirent qu'une des deux activités. 99 est le nombre de semaines occupées, pas celui des semaines libres.

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Exercice 2

On appelle créneau plein une case de la grille où la salle a été occupée pendant les 1212 semaines de la période, toutes activités confondues. Combien de créneaux pleins la grille compte-t-elle ?

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Réponse : 5

Corrigé :

12{12}

Une seule activité, 1212 semaines : le lundi de 1515 h à 1616 h et le mardi de 2121 h à 2222 h.

6+6=12{6 + 6 = 12}

Le dimanche de 1818 h à 1919 h.

5+7=12{5 + 7 = 12}

Le mercredi de 1919 h à 2020 h, et le jeudi de 2020 h à 2121 h (7+57 + 5).

9+2=11{9 + 2 = 11}

Aucune autre case n'atteint 1212 : le jeudi de 1717 h à 1818 h s'arrête à 1111, comme le lundi de 2020 h à 2121 h et le mercredi de 1818 h à 1919 h (2+92 + 9).

2+3=5{2 + 3 = 5}

Deux cases à une seule lettre, trois cases à deux lettres.

55 créneaux. La définition oblige à parcourir les 3535 cases et à additionner chaque case à plusieurs lettres. Qui ne cherche que le nombre 1212 écrit seul dans une case en trouve 22 ; qui ne regarde que les cases doubles en trouve 33. Les trois cases à 1111 sont là pour qui compte à l'œil.

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Exercice 3

Au cours de l'une des 1212 semaines, un même jour, la salle a accueilli la danse trois heures de suite, puis immédiatement une heure de chorale. Complétez : c'était un ___, et l'heure de chorale commençait à ___.

  1. jeudi ; 1818 h
  2. mardi ; 1818 h
  3. dimanche ; 2020 h
  4. lundi ; 1515 h
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Réponse : B mardi ; 1818 h

Corrigé :

15 h→18 h:  D,D,D18 h:  C{15\text{ h} \to 18\text{ h} : \; D, D, D \qquad 18\text{ h} : \; C}

Mardi : la danse figure de 1515 h à 1818 h, sans trou, et la chorale de 1818 h à 1919 h. Les cases ne disent pas si ces heures tombent la même semaine sur les 1212, mais elles le permettent, et c'est le seul jour qui le permette.

19 h:  Y{19\text{ h} : \; Y}

Dimanche : trois heures de danse de 1616 h à 1919 h, mais le créneau suivant ne porte que du yoga ; la chorale n'arrive qu'à 2020 h.

15 h:  C{15\text{ h} : \; C}

Lundi : la chorale est bien présente, mais avant les trois heures de danse.

16 h→18 h:  D,D{16\text{ h} \to 18\text{ h} : \; D, D}

Jeudi : la chorale de 1818 h suit seulement deux heures de danse.

mardi ; 1818 h. On balaie chaque colonne verticalement, en cherchant la lettre D dans trois cases consécutives, puis la lettre C dans la case juste en dessous. Chaque distracteur casse une seule des conditions : une heure d'écart (dimanche ; 2020 h), l'ordre inversé (lundi ; 1515 h), une heure de danse en moins (jeudi ; 1818 h).

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Exercice 4

On appelle semaine zen une semaine où le yoga a occupé la salle de 1919 h à 2020 h les cinq jours. Au plus, combien de semaines zen la période a-t-elle pu compter ?

  1. 44
  2. 99
  3. 3333
  4. 33
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Réponse : A 44

Corrigé :

8,  4,  9,  5,  7{8, \; 4, \; 9, \; 5, \; 7}

Les nombres de semaines de yoga sur la ligne de 1919 h à 2020 h, du dimanche au jeudi.

min⁡(8,4,9,5,7)=4{\min(8, 4, 9, 5, 7) = 4}

Une semaine zen exige du yoga le lundi, et le lundi n'en a eu que 44 semaines.

4{4}

Et 44 est atteignable : il suffit que les 44 semaines de yoga du lundi figurent parmi les semaines de yoga des quatre autres jours.

44 semaines. Une borne sur une conjonction se lit sur le plus petit effectif : le jour le plus pauvre plafonne tous les autres. 3333 additionne les cinq cases, 99 prend la plus grande. 33 lit le plus petit nombre de la ligne, mais c'est celui du théâtre du lundi, pas du yoga.

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Exercice 5

L'une des 1212 semaines, le mercredi et le jeudi ont totalisé à eux deux 99 heures d'occupation de la salle. Au moins combien d'heures la salle a-t-elle été occupée ce jeudi-là ?

  1. 44
  2. 33
  3. 66
  4. 22
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Réponse : A 44

Corrigé :

16,  18,  19,  20,  21{16, \; 18, \; 19, \; 20, \; 21}

Le mercredi, seules cinq cases ne sont pas vides (les créneaux qui commencent à ces heures) : ce jour-là, la salle a été occupée au plus 55 heures.

9−5=4{9 - 5 = 4}

Cette semaine-là, parmi les 1212, le jeudi porte donc au moins le reste des 99 heures.

4≤6{4 \leq 6}

C'est compatible : le jeudi compte six cases non vides, donc jusqu'à 66 heures possibles.

44 heures. Une borne basse sur un jour s'obtient en donnant le maximum à l'autre, et ce maximum se compte en cases non vides, pas en créneaux de la grille. 22 (9−79 - 7) suppose que le mercredi pouvait remplir ses sept créneaux. 33 (9−69 - 6) compte les cases du mauvais jour. 66 est le nombre d'heures au plus du jeudi, pas au moins.

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Exercice 6

Combien d'heures de théâtre la salle a-t-elle accueillies en tout sur les 1212 semaines ?

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Réponse : 55

Corrigé :

4+8+6+3+11+5+12+6{4 + 8 + 6 + 3 + 11 + 5 + 12 + 6}

Chaque nombre qui suit un T est un nombre d'heures sur la période.

=55{= 55}

Huit cases.

5555 heures sur les 1212 semaines. Une case vaut une heure par semaine : TT 88, c'est 88 heures de théâtre sur la période.

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Exercice 7

Le dimanche de 1818 h à 1919 h, la salle a été occupée chaque semaine de la période.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

6+6=12{6 + 6 = 12}

De 1818 h à 1919 h : danse 66 semaines, théâtre 66 semaines, jamais en même temps.

Vrai. Une seule activité par semaine et par créneau : 6+6=126 + 6 = 12 semaines, toute la période.

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Exercice 8

Quelle activité a occupé la salle le plus grand nombre d'heures sur la période ?

  1. Le théâtre
  2. La chorale
  3. Le yoga
  4. La danse
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Réponse : D La danse

Corrigé :

D:6+19+34+17+10=86{D : 6 + 19 + 34 + 17 + 10 = 86}

La danse, ligne par ligne.

C:62T:55Y:35{C : 62 \qquad T : 55 \qquad Y : 35}

Les trois autres.

La danse : 8686 heures. Le théâtre a les plus grosses cases (1212, 1111), mais il en a peu : le plus gros élément n'est pas le plus gros total.

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Exercice 9

Au plus, pendant combien de semaines la chorale a-t-elle pu occuper la salle le mercredi de 1818 h à 2020 h, les deux heures de suite ?

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Réponse : 7

Corrigé :

18 h:C 919 h:C 7{18 \text{ h} : C\,9 \qquad 19 \text{ h} : C\,7}

Les deux créneaux du mercredi.

min⁡(9,7)=7{\min(9, 7) = 7}

Au mieux, les 77 semaines de 1919 h sont parmi les 99 de 1818 h.

77 semaines, au plus. Au moins, ce serait 9+7−12=49 + 7 - 12 = 4. Le tableau ne dit pas quelles semaines : la réponse est une borne.

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Exercice 10

Au plus, combien de semaines la salle a-t-elle pu être occupée le jeudi de 1616 h à 2222 h sans interruption ?

  1. 77
  2. 66
  3. 55
  4. 1212
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Réponse : C 55

Corrigé :

7, 11, 5, 7, 12, 6{7, \ 11, \ 5, \ 7, \ 12, \ 6}

Les semaines occupées des six créneaux du jeudi.

min⁡=5{\min = 5}

De 1616 h à 2222 h, le créneau de 1818 h ne l'a été que 55 semaines.

55 semaines. Une semaine sans interruption doit occuper chaque créneau : le plus faible fixe la limite. 1212 ne vaut que pour le créneau de 2020 h.

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