Des rangs qui glissent · Tableaux · Psychométriques

Un tableau de rangs ne donne pas des valeurs mais des places, et ces places bougent quand de nouveaux objets entrent dans le classement. Le geste décisif : lire l'écart de rang entre deux voisins du tableau. S'il n'a pas changé d'une édition à l'autre, rien n'est entré entre eux.

Un registre national recense les sentiers de randonnée balisés du pays et les classe par longueur : le rang $1$ est celui du plus long. Le tableau présente neuf de ces sentiers, avec leur région, leur longueur en kilomètres et leur rang dans quatre éditions successives du registre, parues en $2018$ , $2020$ , $2022$ et $2024$ . Entre deux éditions, de nouveaux sentiers sont balisés et entrent dans le classement ; aucun sentier n'en est jamais retiré, la longueur d'un sentier ne change pas, et deux sentiers n'ont jamais la même longueur. Les rangs qui manquent dans une colonne sont occupés par des sentiers qui ne figurent pas dans le tableau.

Neuf sentiers balisés et leur rang dans quatre éditions du registre

Sentier	Région	Longueur (km)	Rang 2018	Rang 2020	Rang 2022	Rang 2024
Sentier des Cratères	Néguev	96	1	1	2	2
Sentier des Sources	Galilée	83	3	5	6	8
Route des Acacias	Néguev	77	4	6	8	10
Sentier des Terrasses	Judée	64	9	11	13	16
Sentier des Palmiers	Arava	58	12	14	17	20
Sentier des Grottes	Judée	51	17	19	22	26
Sentier des Dunes	Arava	47	21	24	28	33
Sentier du Méron	Galilée	39	25	28	33	39
Sentier des Nabatéens	Néguev	32	30	34	40	47

Rang

1

: le plus long sentier du registre dans l'édition considérée.

Par exemple : le sentier des Terrasses, en Judée, mesure $64$ km ; il occupait le rang $9$ en $2018$ et le rang $16$ en $2024$ , ce qui veut dire que quinze sentiers plus longs que lui figuraient au registre en $2024$ .

Activité interactive

D'abord vous — refaire l'exemple

Sentier des Cratères

Sentier des Sources

Route des Acacias

Sentier des Terrasses

Sentier des Palmiers

Sentier des Grottes

Sentier des Dunes

Sentier du Méron

Sentier des Nabatéens

Combien de sentiers plus longs que celui des Terrasses sont entrés au registre entre 2018 et 2024 ? Touchez ses deux rangs.

En 2018 : rang $9$ , donc $8$ sentiers plus longs.

En 2024 : rang $16$ , donc $15$ sentiers plus longs, comme le dit l'exemple.

7

15

Voir la réponse et le corrigé

C'est le nombre de 2024. Huit d'entre eux étaient déjà là en 2018.

16

Voir la réponse et le corrigé

C'est son rang : le rang compte le sentier lui-même.

25

Voir la réponse et le corrigé

Vous avez additionné les deux rangs.

$15 - 8 = 7$ sentiers. Aucun sentier ne sort, aucune longueur ne change : chaque place perdue est un sentier plus long qui entre.

Faire l'activité sur elev

Chaque question se traite seule : une donnée qu'elle ajoute ne vaut que pour elle.

Exercices

Exercice 1

On appelle écart interrégional la différence de longueur entre deux sentiers du tableau qui n'appartiennent pas à la même région. Quel est le plus grand écart interrégional, en kilomètres ?

$44$
$57$
$51$
$64$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $57$

Corrigé :

{96 - 32 = 64}

Le plus long et le plus court du tableau sont tous deux dans le Néguev : cet écart est exclu par la définition.

{96 - 39 = 57}

On garde le plus long (Néguev) et on prend le plus court des sentiers d'une autre région : le Méron, en Galilée.

{83 - 32 = 51}

Ou on garde le plus court (Néguev) et on prend le plus long hors Néguev : les Sources, en Galilée.

{57 > 51}

Le plus grand des deux candidats l'emporte.

$57$ km. Un écart maximal sous contrainte se cherche en gardant une des deux extrémités et en remplaçant l'autre par la meilleure valeur admise ; il y a donc deux candidats à comparer. $64$ est l'écart brut entre le plus long et le plus court, piège de la même région. $51$ est l'autre candidat, moins bon. $44$ ( $83 - 39$ ) vient de qui écarte tout le Néguev, alors que les Sources et le Méron sont eux-mêmes dans la même région.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Le sentier des Caroubiers ne figure pas dans le tableau. Dans l'édition $2018$ , il occupait le rang $15$ . Quel était son rang dans l'édition $2022$ ?

$22$
$25$
$15$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $20$

Corrigé :

{12 < 15 < 17}

En $2018$ , le rang $15$ tombe entre les Palmiers (rang $12$ ) et les Grottes (rang $17$ ) : sa longueur est donc comprise entre les leurs, et il restera toujours entre ces deux sentiers.

{17 - 12 = 5 \quad\text{et}\quad 22 - 17 = 5}

L'écart de rang entre les deux voisins vaut $5$ en $2018$ comme en $2022$ : aucun sentier n'est entré entre eux.

{15 + (17 - 12) = 20}

Les Caroubiers ont donc subi exactement la même chute que les Palmiers, soit $5$ rangs.

Rang $20$ . La donnée n'est dans aucune case : elle se reconstruit par la règle du préambule. Tout sentier plus long que les Palmiers pousse aussi les Caroubiers, et aucun ne s'est glissé entre les deux voisins. $15$ oublie que des sentiers plus longs sont arrivés. $22$ recopie le rang du voisin du dessous. $25$ applique la chute du dernier sentier du tableau ( $30 \to 40$ ), qui compte aussi des arrivées plus courtes que les Caroubiers.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Au minimum, combien de nouveaux sentiers sont entrés dans le registre entre l'édition $2018$ et l'édition $2024$ ?

$7$
$17$
$38$
$1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $17$

Corrigé :

{\text{chute} = \text{nombre de nouveaux sentiers plus longs}}

Aucun sentier ne sort du registre : un sentier ne perd un rang que si un sentier plus long que lui y entre.

{47 - 30 = 17}

Les Nabatéens passent du rang $30$ en $2018$ au rang $47$ en $2024$ : au moins $17$ nouveaux sentiers, tous plus longs qu'eux.

{\text{les autres chutes} \leq 17}

Ces $17$ arrivées suffisent à expliquer toutes les autres chutes, qui sont plus petites.

$17$ sentiers. Chaque chute de rang est une borne basse du nombre d'arrivées, et la plus forte est la meilleure borne ; c'est toujours celle du sentier le plus court, puisqu'un nouveau venu pousse tous les sentiers plus courts que lui. $1$ est la chute des Cratères, une autre chute. $7$ ne regarde qu'une période ( $40 \to 47$ ). $38$ ( $47 - 9$ ) compte tous les sentiers absents du tableau en $2024$ , y compris ceux qui existaient déjà en $2018$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Quelle est la première édition du registre dans laquelle il est possible que les $5$ plus longs sentiers du pays aient tous appartenu à une même région ?

$2018$
$2024$
$2022$
$2020$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2022$

Corrigé :

{2018 : \; 1, 3, 4}

Les Cratères (Néguev), les Sources (Galilée) et les Acacias (Néguev) sont dans les cinq premiers : deux régions, impossible.

{2020 : \; 1, 5}

Les Cratères (Néguev) et les Sources (Galilée), au rang $5$ exactement : encore deux régions.

{2022 : \; 2}

Seuls les Cratères sont dans les cinq premiers ; les Sources sont au rang $6$ .

{1, 3, 4, 5 \mapsto \text{hors tableau}}

Les quatre autres places sont tenues par des sentiers absents du tableau, dont on ignore la région : ils peuvent tous être du Néguev.

$2022$ . « Possible » se décide sur ce que le tableau interdit : il suffit de deux sentiers connus de régions différentes parmi les cinq premiers pour fermer une édition, et les places vides ne ferment rien. $2020$ piège qui lit « les cinq premiers » en excluant le rang $5$ . $2024$ est possible aussi, mais ce n'est pas la première. $2018$ tombe pour qui ne regarde que le sentier classé premier.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Un sentier absent du tableau occupait le rang $26$ dans l'édition $2020$ . Complétez : sa longueur est comprise entre ___ km, et dans l'édition $2024$ son rang était au plus ___.

$32$ et $39$ ; $43$
$39$ et $47$ ; $37$
$39$ et $47$ ; $35$
$39$ et $47$ ; $38$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $39$ et $47$ ; $37$

Corrigé :

{24 < 26 < 28}

En $2020$ , le rang $26$ tombe entre les Dunes ( $47$ km, rang $24$ ) et le Méron ( $39$ km, rang $28$ ).

{39 - 28 = 11}

Le Méron descend de $11$ rangs jusqu'en $2024$ . Un sentier plus long que lui ne peut pas chuter davantage : tout nouveau venu qui le pousse pousse aussi le Méron.

{26 + 11 = 37}

D'où le rang maximal en $2024$ .

{26 + (33 - 24) = 35}

Et, symétriquement, le rang minimal, donné par la chute des Dunes.

$39$ et $47$ ; $37$ . Les deux trous sont liés : le premier fixe les deux voisins, le second se calcule avec la chute du voisin du dessous. $38$ ( $39 - 1$ ) croit que le sentier peut coller au Méron, en oubliant le sentier qui les séparait déjà en $2020$ (le rang $27$ ). $35$ est le rang minimal, pas le maximal. $32$ et $39$ lisent les voisins dans la colonne $2018$ au lieu de $2020$ , et $43$ en déduit la chute des Nabatéens.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Dans l'édition $2022$ , combien de sentiers du registre étaient plus longs que le sentier des Grottes ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

{\text{rang } 22}

Le rang du sentier des Grottes en 2022.

{22 - 1 = 21}

Le rang compte le sentier lui-même.

$21$ sentiers. Répondre $22$ , c'est compter le sentier des Grottes parmi ceux qui le devancent.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Entre les éditions $2020$ et $2022$ , un sentier plus long que le sentier des Cratères est entré au registre.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

{1 \to 2}

De 2020 à 2022, le sentier des Cratères perd une place.

Vrai. Aucun sentier ne sort et aucune longueur ne change : une place perdue, c'est un sentier plus long qui entre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Combien de sentiers plus courts que la Route des Acacias et plus longs que le sentier des Terrasses sont entrés au registre entre $2018$ et $2024$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $1$

Corrigé :

{2018 : 9 - 4 - 1 = 4}

Entre les rangs $4$ et $9$ : quatre sentiers.

{2024 : 16 - 10 - 1 = 5}

Entre les rangs $10$ et $16$ : cinq sentiers.

{5 - 4 = 1}

Un seul est entré entre eux.

$1$ sentier. $6$ est l'écart des rangs en 2024, qui compte aussi le sentier des Terrasses ; $5$ compte ceux qui y sont en 2024, entrés ou non.

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Exercice 9

Dans l'édition $2024$ , combien de sentiers du registre mesuraient entre $39$ et $47$ km, bornes non comprises ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

{\text{Dunes} : 47 \text{ km, rang } 33 \qquad \text{Méron} : 39 \text{ km, rang } 39}

Les deux bornes sont deux sentiers du tableau.

{39 - 33 - 1 = 5}

Les rangs $34$ à $38$ .

$5$ sentiers. Deux sentiers n'ont jamais la même longueur : chaque rang entre $33$ et $39$ est un sentier strictement entre $39$ et $47$ km. Répondre $6$ compte une borne.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

De quelle région est le sentier du tableau qui a perdu le plus de places entre $2018$ et $2024$ ?

La Judée
L'Arava
Le Néguev
La Galilée

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Le Néguev

Corrigé :

{\text{Nabatéens} : 47 - 30 = 17}

Du rang de 2018 à celui de 2024, le plus court du tableau perd le plus.

{\text{Méron} : 39 - 25 = 14}

Le deuxième, en Galilée.

Le Néguev, par le sentier des Nabatéens. Le Néguev a aussi le sentier qui perd le moins (les Cratères, une place) : une région n'est pas un sentier.

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Exercices

La suite se pratique sur elev