Deux paraboles

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

השיטה זהה: משווים בין שתי הפונקציות. ההבדל הוא במה שקורה אחר כך.

כשלשתי הפרבולות אותו מקדם aa, איברי ה-x2x^2 מתבטלים. נשארת משוואה ממעלה ראשונה — ולכן לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

כשהמקדמים שווים, אין כאן שורש בכלל — המשוואה ירדה למעלה ראשונה. לכן אין שום דרך לקבל שתי נקודות.

ומה אם גם ה-bb שווה? למשל y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=x2+3y = x^2 + 3.

Voir la réponse et le corrigé

אין חיתוך. משווים ומקבלים 1=31 = 3 — אין פתרון. אותה צורה בדיוק, אחת מעל השנייה, והן לא נפגשות.

אותו מקדם — חיתוך יחיד

מצאו את נקודת החיתוך של y=x2+2xy = x^2 + 2x ושל y=x2−4x+12y = x^2 - 4x + 12.

x2+2x=x2−4x+12x^2 + 2x = x^2 - 4x + 12

משווים

2x=−4x+122x = -4x + 12

ה-x2x^2 מתבטל משני האגפים

6x=126x = 12

מכנסים

x=2x = 2

ערך יחיד

y=4+4=8\begin{aligned}y &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים באחת הפרבולות

(2, 8)(2,\, 8)

נקודת החיתוך היחידה

וכשהמקדמים שונים — ה-x2x^2 לא מתבטל, נשארת משוואה ריבועית, וחוזרים למקרה המוכר: שתי נקודות, אחת, או אף אחת.

מקדמים שונים

מצאו את נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9.

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9

משווים

x2=9x^2 = 9

מעבירים — נשאר ריבועי

x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות — שני סימנים

y=2⋅9=18\begin{aligned}y &= 2 \cdot 9 \\ &= 18\end{aligned}

On remplace (מציבים)

(3, 18) , (−3, 18)(3,\, 18) \ , \ (-3,\, 18)

שתי נקודות

ציר הסימטריה

כזכור משלב הקודקוד, ציר הסימטריה הוא הקו האנכי שעובר דרך הקודקוד. המשוואה שלו:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

ולכן המרחק בין שני צירי סימטריה הוא פשוט הפרש שני ערכי ה-xx האלה — בערך מוחלט, כי מרחק לעולם אינו שלילי.

מרחק בין צירים

מהו המרחק בין צירי הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x ושל y=x2+6xy = x^2 + 6x?

x1=42=2\begin{aligned}x_1 &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

ציר הראשונה

x2=−62=−3\begin{aligned}x_2 &= \frac{-6}{2} \\ &= -3\end{aligned}

ציר השנייה

∣2−(−3)∣=5|2 - (-3)| = 5

המרחק ביניהם

הטעות של שתי פרבולות.

x2=9 ⇒ x=3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}
x2=9 ⇒ x=3  x=−3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש ריבועי במשוואה נותן שני פתרונות. גם (−3)2=9(-3)^2 = 9.

שתי פרבולות⇒תמיד שתי נקודות\text{שתי פרבולות} \Rightarrow \text{תמיד שתי נקודות}
אותו a⇒לכל היותר נקודה אחת\text{אותו } a \Rightarrow \text{לכל היותר נקודה אחת}

כשהמקדמים שווים ה-x2x^2 מתבטל, והמשוואה יורדת למעלה ראשונה.

איך מוצאים נקודות חיתוך של פרבולה וישר?

Voir la réponse et le corrigé

משווים: x2−2x=x+4x^2 - 2x = x + 4, מעבירים אגף ופותרים משוואה ריבועית. כל שורש — נקודת חיתוך.

כמה נקודות חיתוך אפשריות בין פרבולה לישר?

Voir la réponse et le corrigé

0, 1 או 2 — כמספר הפתרונות של משוואת החיתוך: שני פתרונות, פתרון אחד, או אף אחד.

Exercices

Exercice 1

מהי נקודת החיתוך של y=x2+2xy = x^2 + 2x ושל y=x2−4x+12y = x^2 - 4x + 12?

  1. (−2, 0)(-2,\, 0)
  2. (2, 8)(2,\, 8)
  3. אין נקודת חיתוך
  4. (2, 4)(2,\, 4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (2, 8)(2,\, 8)

Corrigé :

x2+2x=x2−4x+12x^2 + 2x = x^2 - 4x + 12

משווים

6x=126x = 12

ה-x2x^2 מתבטל

x=2x = 2

ערך יחיד

y=4+4=8\begin{aligned}y &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

On remplace (מציבים)

אותו מקדם aa — ולכן נקודה אחת בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2+3xy = x^2 + 3x ול-y=x2−x+8y = x^2 - x + 8?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

3x=−x+83x = -x + 8

ה-x2x^2 מתבטל

4x=8⇒x=2\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משוואה ממעלה ראשונה

ה-x2x^2 התבטל, ונשארה משוואה ממעלה ראשונה עם פתרון אחד — ולכן נקודה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהן נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9?

  1. (3, 18)(3,\, 18) בלבד
  2. (9, 162)(9,\, 162)
  3. אין נקודות חיתוך
  4. (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18)

Corrigé :

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9

משווים

x2=9x^2 = 9

נשאר ריבועי

x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני סימנים

y=18y = 18

אותו yy לשניהם

המקדמים שונים — ולכן ה-x2x^2 שרד, ויש שתי נקודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו ציר הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x? כתבו את ערך ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

הנוסחה

x=42=2\begin{aligned}x &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים a=1a = 1, b=−4b = -4

המינוס בנוסחה הופך את −4-4 ל-+4+4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו המרחק בין צירי הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x ושל y=x2+6xy = x^2 + 6x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x1=2x_1 = 2

ציר הראשונה

x2=−62=−3\begin{aligned}x_2 &= \frac{-6}{2} \\ &= -3\end{aligned}

ציר השנייה

∣2−(−3)∣=5|2 - (-3)| = 5

הפרש בערך מוחלט

מרחק לעולם אינו שלילי — ולכן ערך מוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

y=x2y = x^2 ו-y=9y = 9: כמה נקודות חיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x=±3x = \pm 3

ישר אופקי חותך פרבולה בשתי נקודות כשהוא מעל הקודקוד, באחת כשהוא נוגע בו, ובאף אחת מתחתיו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

y=x2y = x^2 ו-y=2xy = 2x: מצאו את נקודת החיתוך שאינה הראשית — מהו ה-x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2=2x  x(x−2)=0\begin{aligned}x^2 &= 2x \ \\ \ x(x-2) &= 0\end{aligned}

משווים את שני הביטויים ומפרקים. הראשית היא פתרון תמיד כאן — מבקשים את השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=xy = x: כמה חיתוכים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0

דיסקרימיננטה שלילית — אין

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

y=x2−3xy = x^2 - 3x ו-y=x−3y = x - 3: מהו סכום שיעורי ה-x של החיתוכים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0
1+3=41 + 3 = 4

משווים, מסדרים למשוואה ריבועית, ומפרקים. סכום השורשים אפשר גם לקרוא ישירות מהמקדמים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בנוסחת השורשים של משוואת החיתוך, מתחת לשורש יצא 00. כמה פתרונות יש?

  1. אף אחד
  2. אחד בדיוק
  3. אינסוף
  4. שניים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אחד בדיוק

Corrigé :

x1,2=−b±02a=−b2a\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{2a}\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס — אותו מספר

פתרון אחד, ולכן נקודת חיתוך אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שתי פרבולות עם אותו מקדם aa נחתכות תמיד בנקודה אחת בדיוק.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2+1=x2+3x^2 + 1 = x^2 + 3

למשל — אותו aa, וגם אותו bb

1=31 = 3

ה-x2x^2 מתבטל, ואין פתרון

אותו aa נותן לכל היותר נקודה אחת. אם גם bb שווה, הפרבולות לא נפגשות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מוצאים את נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9
x2=9x^2 = 9
x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=3x = 3 → x=3 , x=−3x = 3 \ , \ x = -3

Corrigé :

(−3)2=9(-3)^2 = 9

גם מינוס 3 בריבוע הוא 9

שורש ריבועי במשוואה נותן שני פתרונות. ולכן שתי נקודות חיתוך: (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe