Espérance

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בהגרלה יש כרטיסים של 50 שקלים (אחד מכל עשרה), כרטיסים של 10 שקלים (שלושה מכל עשרה), והשאר — כלום. כמה «שווה» כרטיס אחד? לא 50 ולא 0: אם נקנה הרבה כרטיסים, מה נקבל בממוצע לכרטיס? המספר הזה נקרא תוחלת.

E=50⋅110+10⋅310+0⋅610=5+3+0=8\begin{aligned}E &= 50 \cdot \frac{1}{10} + 10 \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10} \\ &= 5 + 3 + 0 \\ &= 8\end{aligned}

כל פרס כפול ההסתברות שלו, והכול מחובר. כרטיס «שווה» 8 שקלים.

שימו לב מה התוחלת איננה: אף כרטיס לא נותן 8 שקלים. התוחלת היא לא ניבוי של המקרה הבא — היא הממוצע של הרבה מאוד מקרים. זו בדיוק הסיבה שחברת ביטוח מרוויחה ושחקן קזינו מפסיד: שניהם חיים לאורך זמן, והתוחלת מנצחת תמיד לאורך זמן.

כרטיס בהגרלה שלנו עולה 10 שקלים. משתלם לקנות?

Voir la réponse et le corrigé

לא. משלמים 10 ומקבלים בממוצע 8 — הפסד ממוצע של 2 שקלים לכרטיס. מי שקונה אלף כרטיסים יפסיד בערך אלפיים שקלים.

משחק הוגן

משחק נקרא הוגן כשתוחלת הרווח היא בדיוק אפס: בממוצע לא מרוויחים ולא מפסידים. ברווח נספור גם את מה ששילמנו — פרס 50 בכרטיס שעלה 10 הוא רווח של 40, וכרטיס ריק הוא רווח של מינוס 10.

באיזה מחיר כרטיס ההגרלה שלנו הופך את המשחק להוגן?

Voir la réponse et le corrigé

במחיר 8 — בדיוק התוחלת. אז תוחלת הרווח היא 8−8=08 - 8 = 0.

שתי מלכודות של תוחלת.

E=50+10+03=20\begin{aligned}E &= \frac{50 + 10 + 0}{3} \\ &= 20\end{aligned}
E=∑x⋅p=8\begin{aligned}E &= \sum x \cdot p \\ &= 8\end{aligned}

ממוצע פשוט של הפרסים מתעלם מההסתברויות — כאילו פרס נדיר שכיח כמו פרס נפוץ.

p1+p2+p3=0.9p_1 + p_2 + p_3 = 0.9
∑p=1\sum p = 1

לפני כל חישוב, בדקו שההסתברויות מסתכמות ל-1. אם לא — חסרה תוצאה, או שיש טעות.

Exercices

Exercice 1

בהגרלה: פרס של 50 שקלים בהסתברות 110\frac{1}{10}, פרס של 10 שקלים בהסתברות 310\frac{3}{10}, ואפס אחרת. מהי התוחלת (בשקלים)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

E=50⋅110+10⋅310E = 50 \cdot \frac{1}{10} + 10 \cdot \frac{3}{10}

האפס לא תורם

E=5+3=8\begin{aligned}E &= 5 + 3 \\ &= 8\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בהגרלה אחרת: 100 שקלים בהסתברות 120\frac{1}{20}, 20 שקלים בהסתברות 14\frac{1}{4}, ואפס אחרת. מהי התוחלת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

E=100⋅120+20⋅14E = 100 \cdot \frac{1}{20} + 20 \cdot \frac{1}{4}
E=5+5=10\begin{aligned}E &= 5 + 5 \\ &= 10\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מטילים קובייה הוגנת ומקבלים בשקלים את המספר שיצא. מהי תוחלת הזכייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.5

Corrigé :

E=1+2+3+4+5+66E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6}

כל תוצאה בהסתברות 16\frac{1}{6}

E=216=3.5\begin{aligned}E &= \frac{21}{6} \\ &= 3.5\end{aligned}

עוד דוגמה שהתוחלת לא חייבת להיות תוצאה אפשרית: אין פאה של 3.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשחק: בהסתברות 0.3 מרוויחים 20 שקלים, בהסתברות 0.7 מפסידים 10. מהי תוחלת הרווח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

E=20⋅0.3+(−10)⋅0.7E = 20 \cdot 0.3 + (-10) \cdot 0.7

הפסד נכנס עם סימן מינוס

E=6−7=−1\begin{aligned}E &= 6 - 7 \\ &= -1\end{aligned}

תוחלת שלילית: לאורך זמן המשחק הזה מפסיד שקל למשחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו משחק הוגן?

  1. משחק שמנצחים בו חצי מהפעמים
  2. משחק בלי הפסדים
  3. משחק שהפרסים בו שווים
  4. משחק שתוחלת הרווח בו 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D משחק שתוחלת הרווח בו 0

Corrigé :

E=0E = 0

הוגנות היא עניין של תוחלת, לא של תדירות: אפשר לנצח לעיתים רחוקות סכום גדול — וזה עדיין הוגן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בהגרלת בית הספר כרטיס עולה 5 שקלים, והפרס היחיד — 40 שקלים — יוצא בהסתברות 110\frac{1}{10}. מהי תוחלת הרווח של קונה כרטיס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

E=(40−5)⋅110+(−5)⋅910E = (40 - 5) \cdot \frac{1}{10} + (-5) \cdot \frac{9}{10}

זוכה: רווח 35 ; מפסיד: מינוס 5

E=3.5−4.5=−1\begin{aligned}E &= 3.5 - 4.5 \\ &= -1\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

משתנה מקבל את הערך 4 בהסתברות pp ואת הערך 10 בהסתברות 1−p1-p. ידוע שהתוחלת היא 6. מהו pp? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.667

Corrigé :

4p+10(1−p)=64p + 10(1 - p) = 6
10−6p=610 - 6p = 6
p=46=23≈0.67\begin{aligned}p &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \approx 0.67\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בהגרלה: 14\frac{1}{4} לזכות ב-12 שקלים, 14\frac{1}{4} לזכות ב-4 שקלים, והשאר — כלום. באיזה מחיר כרטיס (בשקלים) המשחק הוגן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

E=12⋅14+4⋅14=3+1=4\begin{aligned}E &= 12 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

מחיר הוגן = התוחלת

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מכונה מייצרת חלק תקין בהסתברות 0.9. חלק תקין מכניס 8 שקלים, פגום עולה 12 שקלים (רווח שלילי). מהי תוחלת הרווח לחלק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

E=8⋅0.9+(−12)⋅0.1E = 8 \cdot 0.9 + (-12) \cdot 0.1
E=7.2−1.2=6\begin{aligned}E &= 7.2 - 1.2 \\ &= 6\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בקופסה שני פתקים: על אחד רשום 30 ועל השני 0. מוציאים פתק אחד. כמה הגרלות כאלה בממוצע נדרשות כדי שסך הזכיות יגיע ל-60?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

E=30⋅12=15\begin{aligned}E &= 30 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 15\end{aligned}

תוחלת להגרלה אחת

6015=4\frac{60}{15} = 4

בממוצע כל הגרלה «שווה» 15, ולכן ארבע הגרלות מצטברות ל-60.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe