L'inverse 1/f : domaine, signe et valeurs

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו חקרנו פונקציות אחת-אחת. בפרק הזה נבנה פונקציה חדשה מפונקציה מוכרת: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. לכל xx לוקחים את הגובה של ff והופכים אותו. לא צריך נגזרת ולא צריך טבלה: כל מה שצריך נמצא בגרף של ff. התחילו מהשרטוט, ורק אחר כך קראו את הכללים.

הישר f והגרף של 1/f
x = 2(3, 1)(1, −1)(4, 2)(4, ½)-3-2-10123456-4-3-2-11234xy
  • f(x) = x − 2
  • g(x) = 1/f(x)
קראו את הגרף לאורך קו אנכי אחד בכל פעם. ב-x=4x=4 הגובה של ff הוא 22, והגובה של gg הוא 12\frac{1}{2}. ב-x=2.5x=2.5 זה הפוך: ff בגובה 12\frac{1}{2}, ו-gg בגובה 22. ב-x=3x=3 וב-x=1x=1 שני הגרפים נפגשים. וב-x=2x=2, שם ff מתאפסת, ל-gg אין ערך בכלל.

לפי השרטוט, f(4)=2f(4)=2. מהו g(4)g(4)? ואם f(a)=10f(a)=10, מה אפשר לומר על g(a)g(a)?

Voir la réponse et le corrigé

g(4)=12g(4)=\frac{1}{2}. ואם f(a)=10f(a)=10, אז g(a)=110g(a)=\frac{1}{10}: גובה גדול של ff נותן גובה קטן של gg, קרוב לציר ה-xx.

ארבעה דברים שקוראים ישר מהגרף של ff

g(x)=1f(x)f(x)≠0\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x)} \quad \\ \quad f(x) \neq 0\end{aligned}
f(a)=0f(a)=0

תחום: x=ax=a אינו בתחום ההגדרה של gg. מוציאים מהתחום את כל האפסים של ff, ורק אותם

f(a)>0⇒g(a)>0f(a)>0 \Rightarrow g(a)>0

סימן: ל-gg ול-ff אותו סימן בכל נקודה. מספר והמספר ההופכי לו תמיד באותו צד של האפס

∣f(a)∣>1⇔∣g(a)∣<1|f(a)|>1 \Leftrightarrow |g(a)|<1

גודל: גובה רחוק מהציר הופך לגובה קרוב לציר, ולהפך

f(a)=±1⇒g(a)=f(a)\begin{aligned}f(a) &= \pm 1 \Rightarrow g(a) \\ &= f(a)\end{aligned}

מפגש: 11 ו-−1-1 הם המספרים היחידים ששווים להופכי שלהם. שם שני הגרפים נפגשים

ויש דבר אחד ש-gg לא עושה לעולם: היא לא מתאפסת. שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, והמונה כאן הוא 11.

מהו תחום ההגדרה של g(x)=1x2−9g(x)=\frac{1}{x^2-9}?

Voir la réponse et le corrigé

מוציאים את האפסים של x2−9x^2-9: x=3x=3 ו-x=−3x=-3. התחום: כל xx פרט ל-x=±3x=\pm 3. שאר המספרים, גם השליליים, בתחום.

כש-ff היא פרבולה: שלושה מקרים של תחום

פרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות, נוגעת בו בנקודה אחת, או לא פוגשת אותו כלל. לכן לפונקציה 1f\frac{1}{f} יש שתי נקודות מחוץ לתחום, אחת, או אף אחת. את מספר האפסים נותנת הדיסקרימיננטה.

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

שני אפסים: התחום הוא כל xx פרט ל-11 ול-33

x2−4x+4=(x−2)2x^2-4x+4=(x-2)^2

אפס אחד: התחום הוא כל xx פרט ל-22

x2−4x+5=(x−2)2+1x^2-4x+5=(x-2)^2+1

אין אפסים: gg מוגדרת לכל xx

תחום, סימן וחיתוך עם ציר ה-yy — בלי שרטוט

נתונה f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מצאו את תחום ההגדרה של gg, את התחומים שבהם gg חיובית ושלילית, ואת נקודת החיתוך של gg עם ציר ה-yy.

x2−2x−8=(x−4)(x+2)x^2-2x-8=(x-4)(x+2)

מפרקים. האפסים של ff: x=4x=4 ו-x=−2x=-2

x≠−2, x≠4x \neq -2 ,\ x \neq 4

תחום ההגדרה של gg

x<−2 או x>4: g>0x<-2 \ \text{או} \ x>4 : \ g>0

הפרבולה פתוחה למעלה: ff חיובית מחוץ לאפסים, ולכן גם gg

−2<x<4: g<0-2<x<4 : \ g<0

בין האפסים ff שלילית, ולכן גם gg

g(0)=1f(0)=1−8=−18\begin{aligned}g(0) &= \frac{1}{f(0)} \\ &= \frac{1}{-8} \\ &= -\frac{1}{8}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, −18)\left(0,\,-\frac{1}{8}\right). שלילי, כמו שקבענו

האם ייתכן ש-g(x)=1x2+1g(x)=\frac{1}{x^2+1} מקבלת ערך גדול מ-11?

Voir la réponse et le corrigé

לא. x2+1≥1x^2+1 \geq 1 לכל xx, והמספר ההופכי למספר שגדול או שווה ל-11 הוא לכל היותר 11. הערך 11 מתקבל רק ב-x=0x=0, שם f(0)=1f(0)=1.

סדר העבודה בכל שאלה על 1f\frac{1}{f}: (1) האפסים של ff — הם מחוץ לתחום. (2) הסימן של ff בין האפסים — זה גם הסימן של gg. (3) הנקודות שבהן f=±1f=\pm 1 — שם הגרפים נפגשים.

שלוש טעויות שחוזרות בשאלות על 1f\frac{1}{f}.

f(−2)=0⇒g(−2)=0\begin{aligned}f(-2) &= 0 \Rightarrow g(-2) \\ &= 0\end{aligned}
f(−2)=0⇒x=−2∉Dg\begin{aligned}f(-2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2 \notin D_g\end{aligned}

האפס של ff הוא הנקודה שבה gg לא מוגדרת, לא אפס של gg. ל-gg אין אפסים בכלל.

1x2+4: x≠±2\frac{1}{x^2+4}: \ x \neq \pm 2
1x2+4: כל x\frac{1}{x^2+4}: \ \text{כל } x

x2+4x^2+4 אינו מתאפס: x2=−4x^2=-4 אין לה פתרון. ±2\pm 2 שייכים ל-x2−4x^2-4.

f(a)=−4⇒g(a)=4\begin{aligned}f(a) &= -4 \Rightarrow g(a) \\ &= 4\end{aligned}
f(a)=−4⇒g(a)=−14\begin{aligned}f(a) &= -4 \Rightarrow g(a) \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

ההופכי שומר על הסימן ומחליף רק את הגודל. 44 הוא הנגדי, לא ההופכי.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של g(x)=1x2−4xg(x)=\frac{1}{x^2-4x}?

  1. כל xx פרט ל-x=4x=4
  2. x>4x>4
  3. כל xx פרט ל-x=−4x=-4 ול-x=0x=0
  4. כל xx פרט ל-x=0x=0 ול-x=4x=4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כל xx פרט ל-x=0x=0 ול-x=4x=4

Corrigé :

x2−4x=x(x−4)x^2-4x=x(x-4)

מפרקים

x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

האפסים של המכנה

הנכונה: כל xx פרט ל-00 ול-44. מי ששכח את x=0x=0 לא פירק עד הסוף. x>4x>4 היא טעות של שורש: כאן אין שורש, ומספרים שליליים מותרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2−3x+6f(x)=x^2-3x+6 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. חשבו את g(2)g(2). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

f(2)=4−6+6=4\begin{aligned}f(2) &= 4-6+6 \\ &= 4\end{aligned}

קודם ff

g(2)=14=0.25\begin{aligned}g(2) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

ואז ההופכי

מחשבים את כל הגובה של ff ורק אז הופכים. 14−16+16\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6} היא טעות: ההופכי של סכום אינו סכום ההופכיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2−9f(x)=x^2-9 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מיינו את הערכים של xx לפי הסימן של g(x)g(x).

  • g(x)>0g(x)>0
  • g(x)<0g(x)<0
  • x=−1x=-1
  • x=−3.5x=-3.5
  • x=−4x=-4
  • x=0x=0
  • x=2x=2
  • x=5x=5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−4x=-4 — g(x)>0g(x)>0 · x=5x=5 — g(x)>0g(x)>0 · x=−3.5x=-3.5 — g(x)>0g(x)>0 · x=0x=0 — g(x)<0g(x)<0 · x=2x=2 — g(x)<0g(x)<0 · x=−1x=-1 — g(x)<0g(x)<0

Corrigé :

f(−4)=7>0 f(5)=16>0 f(−3.5)=3.25>0\begin{aligned}f(-4) &= 7>0 \\ \ f(5) &= 16>0 \\ \ f(-3.5) &= 3.25>0\end{aligned}

מחוץ לאפסים ±3\pm 3

f(0)=−9 f(2)=−5 f(−1)=−8\begin{aligned}f(0) &= -9 \\ \ f(2) &= -5 \\ \ f(-1) &= -8\end{aligned}

בין האפסים: שליליים

הסימן של gg הוא הסימן של ff. לא צריך לחשב את gg עצמה: מספיק לדעת אם xx בין האפסים −3-3 ו-33 או מחוצה להם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f
(−1, 0)(3, 0)(0, 3)(1, 4)-2-101234-2-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה ff ונקודות מסומנות עליו. g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

g(1)=g(1)= ____ ; מספר הערכים של xx שאינם בתחום ההגדרה של gg: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : g(1)=g(1)= 0.25 ; מספר הערכים של xx שאינם בתחום ההגדרה של gg: 2

Corrigé :

f(1)=4⇒g(1)=14=0.25\begin{aligned}f(1) &= 4 \Rightarrow g(1) \\ &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

קוראים את הגובה בקודקוד

f(−1)=f(3)=0\begin{aligned}f(-1) &= f(3) \\ &= 0\end{aligned}

שני אפסים: שני ערכים מחוץ לתחום

את התחום של gg קוראים מנקודות החיתוך של ff עם ציר ה-xx, לא מהקודקוד. הקודקוד (1,4)(1,4) נותן רק את הערך g(1)=14g(1)=\frac{1}{4}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקטע מסוים מתקיים f(x)>1f(x)>1. לכן באותו קטע מתקיים 0<1f(x)<10<\frac{1}{f(x)}<1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)>1>0⇒1f(x)>0f(x)>1>0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0

אותו סימן

f(x)>1⇒1f(x)<1f(x)>1 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}<1

מספר גדול מ-11 — ההופכי שלו קטן מ-11

הטענה נכונה. גובה רחוק מהציר (יותר מ-11) הופך לגובה קרוב לציר (פחות מ-11), והסימן לא משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1. מה נכון לגבי g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. gg מוגדרת לכל x≠1x \neq 1, וחיובית בכל תחום ההגדרה שלה
  2. gg מוגדרת לכל x≠−1x \neq -1, שלילית משמאל ל-−1-1 וחיובית מימין
  3. gg מוגדרת לכל x≠−1x \neq -1, וחיובית בכל תחום ההגדרה שלה
  4. gg מוגדרת לכל xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C gg מוגדרת לכל x≠−1x \neq -1, וחיובית בכל תחום ההגדרה שלה

Corrigé :

f(x)=(x+1)2f(x)=(x+1)^2

ריבוע שלם

f(x)≥0 f(−1)=0\begin{aligned}f(x) \geq 0 \\ \ f(-1) &= 0\end{aligned}

אפס אחד, ובשאר המקומות חיובית

הנכונה: x≠−1x \neq -1, ו-gg חיובית. הפרבולה רק נוגעת בציר, ולכן ff לא מחליפה סימן, וגם gg לא. מי שכתב x≠1x \neq 1 טעה בסימן של האפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה g(x)=1x2−6x+cg(x)=\frac{1}{x^2-6x+c}. ידוע שיש בדיוק ערך אחד של xx שאינו בתחום ההגדרה של gg. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

x2−6x+c=0x^2-6x+c=0

אפס אחד בדיוק

Δ=36−4c=0\begin{aligned}\Delta &= 36-4c \\ &= 0\end{aligned}

דיסקרימיננטה אפס

c=9c=9

ואז x2−6x+9=(x−3)2x^2-6x+9=(x-3)^2

«ערך אחד מחוץ לתחום» פירושו שהמכנה נוגע בציר: דיסקרימיננטה אפס. אם c<9c<9 יש שני ערכים, ואם c>9c>9 אין אף אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה g=1fg=\frac{1}{f}. התאימו לכל נתון על ff את המסקנה על gg.

  • f(a)=0f(a)=0
  • f(a)=1f(a)=1
  • f(a)=−4f(a)=-4
  • f(a)=13f(a)=\frac{1}{3}
  • aa אינו בתחום של gg
  • g(a)=−14g(a)=-\frac{1}{4}
  • g(a)=1g(a)=1
  • g(a)=3g(a)=3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(a)=0f(a)=0 — aa אינו בתחום של gg · f(a)=1f(a)=1 — g(a)=1g(a)=1 · f(a)=−4f(a)=-4 — g(a)=−14g(a)=-\frac{1}{4} · f(a)=13f(a)=\frac{1}{3} — g(a)=3g(a)=3

Corrigé :

g(a)=1f(a)g(a)=\frac{1}{f(a)}

הופכים את הגובה

11/3=3\frac{1}{1/3}=3

הופכי של שבר

ההופכי שומר על הסימן: −4-4 הופך ל-−14-\frac{1}{4}, לא ל-44. ואפס של ff אינו ערך של gg בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=2x−3f(x)=2x-3. הגרפים של ff ושל g=1fg=\frac{1}{f} נפגשים בשתי נקודות. מהו סכום שיעורי ה-xx של נקודות המפגש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(x)=1⇒2x−3=1⇒x=2\begin{aligned}f(x) &= 1 \Rightarrow 2x-3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מפגש ראשון

f(x)=−1⇒2x−3=−1⇒x=1\begin{aligned}f(x) &= -1 \Rightarrow 2x-3 \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מפגש שני

2+1=32+1=3

הסכום

הגרפים נפגשים היכן ש-f=1ff=\frac{1}{f}, כלומר f2=1f^2=1: גם f=1f=1 וגם f=−1f=-1. מי ששוכח את −1-1 מוצא רק את x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

הערכים שאינם בתחום של gg: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול) ; g(1)=g(1)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הערכים שאינם בתחום של gg: x=x= -1 (הקטן) ו-x=x= 3 (הגדול) ; g(1)=g(1)= -0.25

Corrigé :

x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

האפסים של ff

f(1)=1−2−3=−4\begin{aligned}f(1) &= 1-2-3 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה ב-x=1x=1

g(1)=−14=−0.25\begin{aligned}g(1) &= -\frac{1}{4} \\ &= -0.25\end{aligned}

ההופכי, עם אותו סימן

g(1)g(1) שלילי: x=1x=1 נמצא בין האפסים, שם f<0f<0. מי שכתב 0.250.25 איבד את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe