1/f : variations, extremums et asymptotes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשיעור הקודם הפכנו גובה אחד בכל פעם. עכשיו נסתכל על הצורה של הגרף: איפה g=1fg=\frac{1}{f} עולה, איפה היא יורדת, איפה יש לה נקודת קיצון, ומה קורה ליד הנקודות שבהן ff מתאפסת. שוב, הכול נקרא מהגרף של ff.

הפרבולה f והגרף של 1/f
x = −1x = 3(1, −4)(1, −¼)-3-2-1012345-5-4-3-2-112345xy
  • f(x) = x² − 2x − 3
  • g(x) = 1/f(x)
עקבו אחרי הקודקוד (1,−4)(1,-4) של ff: הוא הנקודה הנמוכה ביותר של ff, ומעליו gg מגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה בין האסימפטוטות, (1,−14)\left(1,-\frac{1}{4}\right). ליד x=−1x=-1 ו-x=3x=3 הגרף של gg בורח למעלה או למטה בלי סוף. ורחוק משם, כש-ff גדלה מאוד, gg נצמדת לציר ה-xx.

בשרטוט, ff יורדת בתחום x<1x<1. מה עושה gg באותו תחום?

Voir la réponse et le corrigé

gg עולה, אבל בשני חלקים נפרדים: ב-x<−1x<-1 וב-−1<x<1-1<x<1. ב-x=−1x=-1 יש אסימפטוטה, ושם הגרף של gg נקטע. לא כותבים «gg עולה ב-x<1x<1».

עלייה וירידה מתהפכות

נניח ש-ff חיובית ועולה: f(a)=2f(a)=2 ו-f(b)=5f(b)=5. אז g(a)=12g(a)=\frac{1}{2} ו-g(b)=15g(b)=\frac{1}{5}, ו-gg ירדה. ככל שהמכנה גדל, השבר קטן. כך גם כש-ff שלילית: ff עולה מ-−5-5 ל-−2-2, ו-gg יורדת מ-−15-\frac{1}{5} ל-−12-\frac{1}{2}.

f↗ ⇒ g↘f \nearrow \ \Rightarrow \ g \searrow

בכל קטע שבו ff עולה ואינה מתאפסת, gg יורדת — ולהפך

min⁡f=(a, b) b≠0\begin{aligned}\min f &= (a,\,b) \\ \ b \neq 0\end{aligned}

הופך למקסימום של gg בנקודה (a, 1b)\left(a,\,\frac{1}{b}\right)

max⁡f=(a, b) b≠0\begin{aligned}\max f &= (a,\,b) \\ \ b \neq 0\end{aligned}

הופך למינימום של gg בנקודה (a, 1b)\left(a,\,\frac{1}{b}\right)

לכן את נקודת הקיצון של 1f\frac{1}{f}, כש-ff היא פרבולה, מוצאים מהקודקוד של הפרבולה — בלי לגזור. שיעור ה-xx נשאר, שיעור ה-yy מתהפך, וסוג הקיצון מתחלף.

אסימפטוטות — אנכיות ואופקית

ליד אפס של ff הגובה של ff קטן מאוד, ולכן הגובה של gg גדול מאוד בערכו המוחלט. הגרף של gg מתקרב לישר האנכי x=ax=a ואינו נוגע בו: זו אסימפטוטה אנכית. הסימן של ff משני צדי האפס קובע אם gg בורחת למעלה או למטה.

ורחוק מהראשית פרבולה (או ישר שאינו אופקי) גדלה בערכה המוחלט בלי גבול. לכן gg מתקרבת ל-00, והגרף נצמד לציר ה-xx: הישר y=0y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.

(x−1)(x−3)(x-1)(x-3)

שני אפסים: שתי אסימפטוטות אנכיות, x=1x=1 ו-x=3x=3. בין שתיהן gg שלילית

(x−2)2(x-2)^2

אפס אחד שבו הפרבולה נוגעת בציר: אסימפטוטה אחת, x=2x=2, ו-gg חיובית משני צדיה

(x−2)2+1(x-2)^2+1

אין אפסים: אין אסימפטוטה אנכית, ו-gg חסומה

נתונה f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2. מה עושה הגרף של g=1fg=\frac{1}{f} כש-xx מתקרב ל-22 משמאל ומימין?

Voir la réponse et le corrigé

משני הצדדים ff חיובית וקטנה מאוד, ולכן gg חיובית וגדולה מאוד משני הצדדים: הגרף עולה למעלה לאורך x=2x=2 גם משמאל וגם מימין.

תיאור מלא של 1f\frac{1}{f} כשאין ל-ff אפסים

נתונה f(x)=x2+2x+2f(x)=x^2+2x+2 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מצאו את תחום ההגדרה של gg, את האסימפטוטות, את נקודת הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של gg.

Δ=4−8=−4<0\begin{aligned}\Delta &= 4-8 \\ &= -4<0\end{aligned}

ל-ff אין אפסים, והיא פתוחה למעלה: f>0f>0 לכל xx

Dg: כל xD_g: \ \text{כל } x

תחום ההגדרה. ולכן אין אסימפטוטה אנכית

f(x)=(x+1)2+1⇒min⁡f=(−1, 1)\begin{aligned}f(x) &= (x+1)^2+1 \Rightarrow \min f \\ &= (-1,\,1)\end{aligned}

הקודקוד של ff

max⁡g=(−1, 11)=(−1, 1)\begin{aligned}\max g &= \left(-1,\,\frac{1}{1}\right) \\ &= (-1,\,1)\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg

x<−1: g↗x>−1: g↘x<-1: \ g \nearrow \qquad x>-1: \ g \searrow

ff יורדת ואז עולה, ולכן gg עולה ואז יורדת

y=0y=0

אסימפטוטה אופקית: רחוק מהראשית ff גדלה מאוד

בשאלה על 1f\frac{1}{f} ציירו קודם את האסימפטוטות האנכיות בקו מקווקו. הן מחלקות את הציר לקטעים, ובכל קטע עובדים לחוד: סימן, עלייה או ירידה, וקיצון.

שלוש טעויות בצורה של 1f\frac{1}{f}.

min⁡f=(1, −4)⇒min⁡g=(1, −14)\begin{aligned}\min f &= (1,\,-4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(1,\,-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}
max⁡g=(1, −14)\max g=\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)

סוג הקיצון מתחלף. בשרטוט רואים זאת: מעל הקודקוד של ff, gg נמצאת בנקודה הגבוהה ביותר שלה בין האסימפטוטות.

x<1: g↗x<1: \ g \nearrow
x<−1 וגם −1<x<1: g↗x<-1 \ \text{וגם} \ -1<x<1: \ g \nearrow

אסימפטוטה קוטעת את הגרף. תחום עלייה לא עובר דרך נקודה שאינה בתחום.

f(x)=(x−2)2⇒min⁡g=(2, 0)\begin{aligned}f(x) &= (x-2)^2 \Rightarrow \min g \\ &= (2,\,0)\end{aligned}
x=2 אסימפטוטהx=2 \ \text{אסימפטוטה}

המינימום של ff כאן הוא אפס, ואפס אין להפוך. במקום נקודת קיצון מקבלים אסימפטוטה אנכית.

Exercices

Exercice 1

לפונקציה ff נקודת מקסימום (2, 5)(2,\,5). מה ידוע על g=1fg=\frac{1}{f} ב-x=2x=2?

  1. ל-gg מקסימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)
  2. ל-gg מקסימום (2, 5)(2,\,5)
  3. ל-gg מינימום (2, −5)(2,\,-5)
  4. ל-gg מינימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ל-gg מינימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)

Corrigé :

g(2)=15g(2)=\frac{1}{5}

הופכים את הגובה

max⁡f⇒min⁡g\max f \Rightarrow \min g

הסוג מתחלף

הנכונה: מינימום (2,15)\left(2,\frac{1}{5}\right). סביב x=2x=2 הערכים של ff קטנים מ-55, ולכן ההופכיים שלהם גדולים מ-15\frac{1}{5}. −5-5 הוא הנגדי, לא ההופכי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8. מהי נקודת הקיצון של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} בין האסימפטוטות, ומה סוגה?

  1. מקסימום (3, 1)(3,\,1)
  2. מינימום (3, 1)(3,\,1)
  3. מקסימום (3, −1)(3,\,-1)
  4. מינימום (3, −1)(3,\,-1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מקסימום (3, −1)(3,\,-1)

Corrigé :

xv=62=3 f(3)=9−18+8=−1\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \ f(3) &= 9-18+8 \\ &= -1\end{aligned}

קודקוד הפרבולה: מינימום (3,−1)(3,-1)

g(3)=1−1=−1\begin{aligned}g(3) &= \frac{1}{-1} \\ &= -1\end{aligned}

ההופכי של −1-1 הוא −1-1

הנכונה: מקסימום (3,−1)(3,-1). שיעור ה-yy לא השתנה כי 1−1=−1\frac{1}{-1}=-1, אבל הסוג השתנה: מינימום של ff הוא מקסימום של gg.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2+4x+8f(x)=x^2+4x+8. מהו הערך הגדול ביותר של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

f(x)=(x+2)2+4f(x)=(x+2)^2+4

השלמה לריבוע

min⁡f=4 (x=−2)\min f=4 \ (x=-2)

f≥4>0f \geq 4>0

max⁡g=14=0.25\begin{aligned}\max g &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg

ff חיובית לכל xx, ולכן gg מוגדרת בכל מקום וחסומה. הערך הגדול ביותר של gg מתקבל היכן ש-ff הכי קטנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מיינו את הקטעים: באילו gg עולה ובאילו gg יורדת?

  • gg עולה
  • gg יורדת
  • 0<x<20<x<2
  • 2<x<42<x<4
  • x<0x<0
  • x>4x>4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x<0x<0 — gg עולה · 0<x<20<x<2 — gg עולה · 2<x<42<x<4 — gg יורדת · x>4x>4 — gg יורדת

Corrigé :

f(x)=x(x−4) min⁡f=(2, −4)\begin{aligned}f(x) &= x(x-4) \\ \ \min f &= (2,\,-4)\end{aligned}

אפסים 00 ו-44, קודקוד ב-x=2x=2

x<2:f↘⇒g↗x<2: f \searrow \Rightarrow g \nearrow

משני צדי האסימפטוטה x=0x=0

x>2:f↗⇒g↘x>2: f \nearrow \Rightarrow g \searrow

משני צדי האסימפטוטה x=4x=4

שני הקטעים הראשונים הם שני תחומי עלייה נפרדים. ביניהם האסימפטוטה x=0x=0, ולכן לא מאחדים אותם ל-x<2x<2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה g(x)=1x2−9g(x)=\frac{1}{x^2-9}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: x=x= ____ (השמאלית) ו-x=x= ____ (הימנית) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטות אנכיות: x=x= -3 (השמאלית) ו-x=x= 3 (הימנית) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= 0

Corrigé :

x2−9=0⇒x=±3\begin{aligned}x^2-9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

האפסים של המכנה

∣x∣→∞⇒x2−9→∞⇒g→0|x| \to \infty \Rightarrow x^2-9 \to \infty \Rightarrow g \to 0

רחוק מהראשית

האסימפטוטה האופקית היא ציר ה-xx, y=0y=0. היא לא y=−9y=-9 ולא y=1y=1: רחוק מהראשית המכנה גדל, והשבר קטן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2. כש-xx מתקרב ל-11, משני הצדדים, g=1fg=\frac{1}{f} מקבלת ערכים חיוביים גדולים מאוד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)=(x−1)2>0 x≠1\begin{aligned}f(x) &= (x-1)^2>0 \\ \ x \neq 1\end{aligned}

חיובית משני הצדדים

f(x)→0+⇒g(x)→+∞f(x) \to 0^+ \Rightarrow g(x) \to +\infty

קטנה וחיובית — ההופכי גדול וחיובי

הטענה נכונה. הפרבולה נוגעת בציר ואינה חוצה אותו, ולכן ff לא מחליפה סימן, וגם gg לא: שני הענפים עולים למעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

עבור איזו מהפונקציות ff אין לגרף של g=1fg=\frac{1}{f} אסימפטוטה אנכית?

  1. f(x)=x2−2x+1f(x)=x^2-2x+1
  2. f(x)=x2−1f(x)=x^2-1
  3. f(x)=x2+1f(x)=x^2+1
  4. f(x)=x2f(x)=x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f(x)=x2+1f(x)=x^2+1

Corrigé :

x2+1≥1x^2+1 \geq 1

אין אפסים

x2−1, x2, (x−1)2x^2-1 ,\ x^2 ,\ (x-1)^2

לשלושתן יש אפס

הנכונה: x2+1x^2+1. אסימפטוטה אנכית של 1f\frac{1}{f} נמצאת בכל אפס של ff. גם אפס שבו הפרבולה רק נוגעת בציר (x2x^2, (x−1)2(x-1)^2) נותן אסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f
(−1, −2)-4-3-2-1012-3-2-11234xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה ff, והקודקוד שלה (−1, −2)(-1,\,-2). לפונקציה g=1fg=\frac{1}{f} יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.5

Corrigé :

min⁡f=(−1, −2)\min f=(-1,\,-2)

קוראים את הקודקוד

g(−1)=1−2=−0.5\begin{aligned}g(-1) &= \frac{1}{-2} \\ &= -0.5\end{aligned}

ההופכי, עם אותו סימן

max⁡g=(−1, −0.5)\max g=(-1,\,-0.5)

מקסימום, בין שתי האסימפטוטות

שיעור ה-yy הוא −12-\frac{1}{2}, לא 12\frac{1}{2} ולא 22: הקודקוד מתחת לציר, ולכן גם הקיצון של gg מתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל תיאור של ff בקטע (בלי אפסים בקטע) את התיאור של g=1fg=\frac{1}{f} באותו קטע.

  • ff יורדת וחיובית
  • ff עולה ושלילית
  • ff עולה וחיובית
  • ff יורדת ושלילית
  • gg יורדת וחיובית
  • gg יורדת ושלילית
  • gg עולה וחיובית
  • gg עולה ושלילית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ff יורדת וחיובית — gg עולה וחיובית · ff עולה ושלילית — gg יורדת ושלילית · ff עולה וחיובית — gg יורדת וחיובית · ff יורדת ושלילית — gg עולה ושלילית

Corrigé :

−5→−2 ⇒ −15→−12-5 \to -2 \ \Rightarrow \ -\tfrac{1}{5} \to -\tfrac{1}{2}

דוגמה: ff עולה ושלילית, gg יורדת

2→5 ⇒ 12→152 \to 5 \ \Rightarrow \ \tfrac{1}{2} \to \tfrac{1}{5}

דוגמה: ff עולה וחיובית, gg יורדת

שני כללים בכל שורה: הסימן נשמר והכיוון מתהפך. כדאי לבדוק כל שורה בשני מספרים, כמו בפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=−x2+2x+8f(x)=-x^2+2x+8 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות של gg: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של gg: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטות אנכיות של gg: x=x= -2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של gg: 1

Corrigé :

−x2+2x+8=−(x−4)(x+2)-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)

האפסים: −2-2 ו-44

xv=−2−2=1 f(1)=9\begin{aligned}x_v &= \frac{-2}{-2} \\ &= 1 \\ \ f(1) &= 9\end{aligned}

מקסימום של ff: (1, 9)(1,\,9)

min⁡g=(1, 19)\min g=\left(1,\,\frac{1}{9}\right)

מינימום של gg

הפרבולה פתוחה למטה, ולכן הקודקוד שלה הוא מקסימום, ובין האסימפטוטות gg חיובית ויש לה מינימום. שיעור ה-xx של הקיצון זהה לזה של הקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe