Transformations et asymptotes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכיתה י הזזנו, שיקפנו ומתחנו את x2x^2 ואת x\sqrt{x}. עכשיו נשתמש באותן פעולות על פרבולות כלליות ועל 1f\frac{1}{f}. השאלה החדשה היא אחת: לאן הולכות האסימפטוטות? התחילו מהווידג׳ט.

אחרי הפעולות בווידג׳ט התקבלה f(x)=(x−1)2−4f(x)=(x-1)^2-4. היכן נמצאות האסימפטוטות האנכיות של 1f\frac{1}{f}?

Voir la réponse et le corrigé

באפסים של ff: (x−1)2=4(x-1)^2=4, כלומר x−1=±2x-1=\pm 2. האסימפטוטות הן x=−1x=-1 ו-x=3x=3. אלה האפסים ±2\pm 2 של x2−4x^2-4, אחרי הזזה של 11 ימינה.

תזכורת: מה כל פעולה עושה לנקודה (a, b)(a,\,b)

f(x)+kf(x)+k

(a, b+k)(a,\,b+k): הזזה אנכית. האפסים משתנים

f(x−p)f(x-p)

(a+p, b)(a+p,\,b): הזזה אופקית. גם האפסים זזים ב-pp

−f(x)-f(x)

(a, −b)(a,\,-b): שיקוף בציר ה-xx. האפסים נשארים

f(−x)f(-x)

(−a, b)(-a,\,b): שיקוף בציר ה-yy. אפס aa עובר ל-−a-a

c⋅f(x), c>0c \cdot f(x) ,\ c>0

(a, cb)(a,\,cb): מתיחה אנכית. האפסים נשארים

האסימפטוטות זזות עם הגרף

y=ax−p+k:x=p  y=k\begin{aligned}y &= \frac{a}{x-p}+k \quad : \quad x \\ &= p \\ \ \ y &= k\end{aligned}

pp הוא ההזזה האופקית, ולכן הוא האסימפטוטה האנכית. kk הוא ההזזה האנכית, ולכן הוא האסימפטוטה האופקית. המספר aa לא מזיז כלום: הוא מותח את הגרף, ואם a<0a<0 הוא גם משקף אותו.

מהן האסימפטוטות של y=3x+4−1y=\frac{3}{x+4}-1?

Voir la réponse et le corrigé

x+4=x−(−4)x+4=x-(-4), ולכן p=−4p=-4 ו-k=−1k=-1. האסימפטוטות: x=−4x=-4 ו-y=−1y=-1. המספר 33 לא משפיע עליהן.

הזזה של 1f\frac{1}{f} כש-ff היא פרבולה

נתונה g(x)=1x2−4g(x)=\frac{1}{x^2-4} ו-h(x)=g(x−1)+2h(x)=g(x-1)+2. מצאו את האסימפטוטות של hh ואת h(1)h(1).

g: x=±2 y=0\begin{aligned}g: \ x &= \pm 2 \\ \ y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של gg: האפסים של x2−4x^2-4, וציר ה-xx

x−1 ⇒ 1 ימינהx-1 \ \Rightarrow \ 1 \ \text{ימינה}

האסימפטוטות האנכיות זזות ב-11 ימינה

h: x=−1 x=3\begin{aligned}h: \ x &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

−2+1=−1-2+1=-1 ו-2+1=32+1=3

+2 ⇒ y=2+2 \ \Rightarrow \ y=2

האסימפטוטה האופקית עולה מ-y=0y=0 ל-y=2y=2

h(1)=g(0)+2=−14+2=1.75\begin{aligned}h(1) &= g(0)+2 \\ &= -\frac{1}{4}+2 \\ &= 1.75\end{aligned}

הצבה: g(0)=1−4g(0)=\frac{1}{-4}

לפני ההיפוך או אחריו?

הזזה אנכית אחרי ההיפוך, 1f(x)+k\frac{1}{f(x)}+k, מזיזה את כל הגרף של 1f\frac{1}{f} ב-kk. אבל הזזה לפני ההיפוך, 1f(x)+k\frac{1}{f(x)+k}, משנה את המכנה: האפסים של המכנה משתנים, והאסימפטוטות משתנות איתם. זו פונקציה אחרת לגמרי.

1x2+1\frac{1}{x^2}+1

הגרף של 1x2\frac{1}{x^2} עלה ב-11. אסימפטוטות: x=0x=0 ו-y=1y=1

1x2+1\frac{1}{x^2+1}

המכנה אינו מתאפס: אין אסימפטוטה אנכית, והערך הגדול ביותר הוא 11

−1f(x)=1−f(x)-\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{-f(x)}

כאן הסדר לא משנה: שיקוף בציר ה-xx לפני ההיפוך או אחריו נותן אותו גרף

נתונה f(x)=x2−1f(x)=x^2-1. האם לפונקציה 1f(x)+1\frac{1}{f(x)+1} יש אותן אסימפטוטות אנכיות כמו ל-1f(x)\frac{1}{f(x)}?

Voir la réponse et le corrigé

לא. 1f(x)=1x2−1\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x^2-1} עם אסימפטוטות x=±1x=\pm 1. אבל 1f(x)+1=1x2\frac{1}{f(x)+1}=\frac{1}{x^2}, ולה אסימפטוטה אנכית אחת: x=0x=0.

שלוש טעויות בהזזה של היפרבולות.

y=1x+3: x=3\begin{aligned}y &= \frac{1}{x+3}: \ x \\ &= 3\end{aligned}
y=1x+3: x=−3\begin{aligned}y &= \frac{1}{x+3}: \ x \\ &= -3\end{aligned}

האסימפטוטה נמצאת היכן שהמכנה מתאפס: x+3=0x+3=0. בדיקה מהירה: x=3x=3 נותן 16\frac{1}{6}, ערך רגיל.

y=2x−1+5: y=2\begin{aligned}y &= \frac{2}{x-1}+5: \ y \\ &= 2\end{aligned}
y=2x−1+5: y=5\begin{aligned}y &= \frac{2}{x-1}+5: \ y \\ &= 5\end{aligned}

המונה 22 הוא מתיחה. האסימפטוטה האופקית היא המספר שמוסיפים לשבר.

1x2+1=1x2+1\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{x^2}+1
1x2+1≠1x2+1\frac{1}{x^2+1} \neq \frac{1}{x^2}+1

הופכי של סכום אינו סכום של הופכיים. בדיקה: ב-x=1x=1 צד שמאל 12\frac{1}{2}, וצד ימין 22.

Exercices

Exercice 1

מהן האסימפטוטות של y=1x−3+2y=\frac{1}{x-3}+2?

  1. x=3x=3 ו-y=−2y=-2
  2. x=−3x=-3 ו-y=2y=2
  3. x=2x=2 ו-y=3y=3
  4. x=3x=3 ו-y=2y=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=3x=3 ו-y=2y=2

Corrigé :

x−3=0⇒x=3\begin{aligned}x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

+2⇒y=2+2 \Rightarrow y=2

ההזזה האנכית

הנכונה: x=3x=3 ו-y=2y=2. 1x\frac{1}{x} זזה 33 ימינה ו-22 למעלה. מי שבחר x=−3x=-3 הפך את כיוון ההזזה האופקית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה y=−2x+1+4y=-\frac{2}{x+1}+4. השלימו.

אסימפטוטה אנכית: x=x= ____ ; אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטה אנכית: x=x= -1 ; אסימפטוטה אופקית: y=y= 4

Corrigé :

x+1=0⇒x=−1\begin{aligned}x+1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

המכנה מתאפס

y=4y=4

המספר שמוסיפים לשבר

המינוס והמספר 22 במונה לא מזיזים את האסימפטוטות: הם משקפים ומותחים את הגרף סביבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

את הגרף של y=x2y=x^2 מזיזים 22 יחידות שמאלה ו-11 יחידה למטה. מהי הפונקציה שמתקבלת?

  1. y=(x−2)2−1y=(x-2)^2-1
  2. y=(x+2)2−1y=(x+2)^2-1
  3. y=(x+2)2+1y=(x+2)^2+1
  4. y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=(x+2)2−1y=(x+2)^2-1

Corrigé :

שמאלה 2: x→x+2\text{שמאלה} \ 2: \ x \to x+2

הזזה אופקית הפוכה לסימן

למטה 1: −1\text{למטה} \ 1: \ -1

הזזה אנכית ישירה

הנכונה: (x+2)2−1(x+2)^2-1. בדיקה: הקודקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, x=−2x=-2, כלומר שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4 ו-h(x)=f(x−3)h(x)=f(x-3). מהו סכום האפסים של hh?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f: x=±2f: \ x=\pm 2

האפסים של ff

h: −2+3=1 2+3=5\begin{aligned}h: \ -2+3 &= 1 \\ \ 2+3 &= 5\end{aligned}

הזזה של 33 ימינה

1+5=61+5=6

הסכום

כל אפס זז ב-33 ימינה. מי שמקבל −6-6 הזיז שמאלה: x−3x-3 פירושו ימינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לגרף של y=3f(x)y=3f(x) יש אותם אפסים כמו לגרף של ff.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(a)=0⇒3f(a)=0\begin{aligned}f(a) &= 0 \Rightarrow 3f(a) \\ &= 0\end{aligned}

שלוש פעמים אפס הוא אפס

3f(a)=0⇒f(a)=0\begin{aligned}3f(a) &= 0 \Rightarrow f(a) \\ &= 0\end{aligned}

וגם בכיוון ההפוך

הטענה נכונה. מתיחה אנכית לא מזיזה נקודות על ציר ה-xx. לכן גם האסימפטוטות האנכיות של 13f\frac{1}{3f} הן בדיוק אלה של 1f\frac{1}{f}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לפונקציה g=1fg=\frac{1}{f} אסימפטוטות אנכיות x=−1x=-1 ו-x=5x=5. היכן נמצאות האסימפטוטות האנכיות של k(x)=1f(x+2)k(x)=\frac{1}{f(x+2)}?

  1. x=1x=1 ו-x=7x=7
  2. x=−2x=-2 ו-x=10x=10
  3. x=−1x=-1 ו-x=5x=5
  4. x=−3x=-3 ו-x=3x=3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=−3x=-3 ו-x=3x=3

Corrigé :

f(−1)=f(5)=0\begin{aligned}f(-1) &= f(5) \\ &= 0\end{aligned}

האפסים של ff

x+2=−1⇒x=−3x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x+2 &= -1 \Rightarrow x \\ &= -3 \\ \quad x+2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

f(x+2)=0f(x+2)=0

הנכונה: x=−3x=-3 ו-x=3x=3. x+2x+2 פירושו הזזה של 22 שמאלה. x=1x=1 ו-x=7x=7 הם הזזה ימינה, בכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של g(x)=1x−2g(x)=\frac{1}{x-2} עבר פעולה. מיינו: באילו מהפונקציות האסימפטוטה האנכית נשארת x=2x=2?

  • נשארת x=2x=2
  • זזה
  • −1x−2-\frac{1}{x-2}
  • 1−x−2\frac{1}{-x-2}
  • 1x−2+5\frac{1}{x-2}+5
  • 1x−5\frac{1}{x-5}
  • 1x+2\frac{1}{x+2}
  • 3x−2\frac{3}{x-2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1x−2+5\frac{1}{x-2}+5 — נשארת x=2x=2 · −1x−2-\frac{1}{x-2} — נשארת x=2x=2 · 3x−2\frac{3}{x-2} — נשארת x=2x=2 · 1x−5\frac{1}{x-5} — זזה · 1−x−2\frac{1}{-x-2} — זזה · 1x+2\frac{1}{x+2} — זזה

Corrigé :

x−2=0x-2=0

שלוש הראשונות: אותו מכנה

−x−2=0⇒x=−2\begin{aligned}-x-2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

שיקוף בציר ה-yy מעביר את 22 ל-−2-2

האסימפטוטה האנכית תלויה רק במכנה. הזזה אנכית, שיקוף בציר ה-xx ומתיחה לא נוגעים בו. שיקוף בציר ה-yy והזזה אופקית כן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של y=ax−1+2y=\frac{a}{x-1}+2 עובר בנקודה (3, 5)(3,\,5). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

5=a3−1+25=\frac{a}{3-1}+2

מציבים את הנקודה

a2=3⇒a=6\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 3 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

On résout

aa אינו משנה את האסימפטוטות x=1x=1 ו-y=2y=2. הוא קובע כמה רחוק הגרף מהן. בדיקה: 62+2=5\frac{6}{2}+2=5 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x. מהו הקודקוד של הגרף של y=−f(x)y=-f(x)?

  1. (−1, −1)(-1,\,-1)
  2. (1, 1)(1,\,1)
  3. (1, −1)(1,\,-1)
  4. (−1, 1)(-1,\,1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (1, 1)(1,\,1)

Corrigé :

xv=1 f(1)=−1\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= -1\end{aligned}

הקודקוד של ff: (1, −1)(1,\,-1)

(a, b)→(a, −b)(a,\,b) \to (a,\,-b)

שיקוף בציר ה-xx

הנכונה: (1,1)(1,1), והוא נקודת מקסימום. (−1,−1)(-1,-1) הוא שיקוף בציר ה-yy: המינוס שם היה בתוך הסוגריים, לא מחוץ לפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה h(x)=1x2−2x−3+1h(x)=\frac{1}{x^2-2x-3}+1. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטות אנכיות: x=x= -1 ו-x=x= 3 (מהקטנה לגדולה) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= 1

Corrigé :

x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

האפסים של המכנה

1x2−2x−3→0⇒h→1\frac{1}{x^2-2x-3} \to 0 \Rightarrow h \to 1

רחוק מהראשית

ה-+1+1 נמצא מחוץ לשבר, ולכן הוא מזיז רק את האסימפטוטה האופקית. אילו היה בתוך המכנה, 1x2−2x−2\frac{1}{x^2-2x-2}, היו משתנות האנכיות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe