Valeur absolue et reconnaissance de graphes · Pré-analyse · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

טרנספורמציה אחרונה: ערך מוחלט. $y=|f(x)|$ לוקחת את הגובה של $f$ ומוחקת את הסימן שלו. גובה חיובי נשאר, גובה שלילי הופך לחיובי. הסתכלו מה זה עושה לפרבולה.

הפרבולה f והגרף של |f|

f(x) = x² − 2x − 3
y = |f(x)|

מה שמעל ציר ה-

x

נשאר במקומו. מה שמתחתיו משתקף למעלה: הקודקוד

(1,-4)

עובר ל-

(1,4)

, ונעשה נקודת מקסימום מקומי. באפסים

x=-1

ו-

x=3

הגרף נוגע בציר בפינה חדה: אלה נקודות מינימום. והישר המקווקו

y=2

חותך את הגרף בארבע נקודות.

באילו ערכים של $x$ הגרף של $|f|$ זהה לגרף של $f$ בשרטוט?

Voir la réponse et le corrigé

היכן ש- $f \geq 0$ : ב- $x \leq -1$ וב- $x \geq 3$ . שם $|f(x)|=f(x)$ . בין $-1$ ל- $3$ , $f$ שלילית, ו- $|f(x)|=-f(x)$ .

מה קורה לכל חלק של הגרף

f(x) \geq 0

$|f(x)|=f(x)$ : החלק נשאר

f(x)<0

$|f(x)|=-f(x)$ : החלק משתקף בציר ה- $x$ ועולה מעליו

f(a)=0

$(a,\,0)$ נשארת, ונעשית נקודת מינימום של $|f|$ — הגרף לא יורד מתחת לאפס

\begin{aligned}\min f &= (a,\,b) \\ \ b<0\end{aligned}

הופך למקסימום מקומי $(a,\,-b)$ של $|f|$

הגרף של $|f|$ לעולם אינו יורד מתחת לציר ה- $x$ . ואם $f$ חיובית בכל מקום, למשל $x^2+1$ , אז $|f|=f$ ושום דבר לא משתנה.

כמה פתרונות יש ל- $|f(x)|=c$ ?

שאלה שחוזרת בבגרות: כמה פתרונות יש למשוואה $|f(x)|=c$ ? את המשוואה לא פותרים. מעבירים ישר אופקי $y=c$ וסופרים את נקודות החיתוך שלו עם הגרף של $|f|$ . בשרטוט, עם $f(x)=x^2-2x-3$ והמקסימום המקומי $(1,4)$ :

c<0

אין פתרונות: $|f|$ אינה שלילית

c=0

שני פתרונות: האפסים $x=-1$ ו- $x=3$

0<c<4

ארבעה פתרונות: שניים בענפים החיצוניים, ושניים בכיפה שהשתקפה

c=4

שלושה פתרונות: הישר נוגע בקצה הכיפה

c>4

שני פתרונות: הישר עובר מעל הכיפה

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-2x-3|=2$ ? היעזרו בשרטוט.

Voir la réponse et le corrigé

$0<2<4$ , ולכן ארבעה פתרונות. בדיקה אלגברית: $x^2-2x-3=2$ נותנת $x=1\pm\sqrt{6}$ , ו- $x^2-2x-3=-2$ נותנת $x=1\pm\sqrt{2}$ .

לזהות את הגרף של $\frac{1}{f}$ לפי שלושה סימנים

הפרבולה $f(x)=-x^2+4$ נתונה. תלמידה שרטטה גרף ואמרה שזה הגרף של $g=\frac{1}{f}$ . אילו שלושה דברים היא צריכה לבדוק בגרף שלה?

f(x)=-(x-2)(x+2)

אפסים: $\pm 2$ . בגרף של $g$ חייבות להיות אסימפטוטות $x=-2$ ו- $x=2$

-2<x<2: \ f>0 \Rightarrow g>0

סימן: בין האסימפטוטות $g$ מעל הציר, ומחוצה להן מתחת

\begin{aligned}\max f &= (0,\,4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(0,\,\frac{1}{4}\right)\end{aligned}

קיצון: בין האסימפטוטות יש ל- $g$ נקודת מינימום $\left(0,\frac{1}{4}\right)$

בשאלות «התאימו גרף» אל תחפשו את כל הפרטים. בדקו קודם את האסימפטוטות האנכיות (האפסים של $f$ ). אחר כך את הסימן בכל קטע. ברוב המקרים שני אלה מספיקים לפסול את כל הגרפים השגויים.

שלוש טעויות עם ערך מוחלט.

|f|: \ \min f=(1,\,-4) \to \min (1,\,4)

\max (1,\,4)

הקודקוד שהיה הכי נמוך הופך לנקודה הכי גבוהה בכיפה. המינימומים של $|f|$ נמצאים באפסים.

|f(x)|: \ (a,\,b) \to (-a,\,b)

|f(x)|: \ (a,\,b) \to (a,\,|b|)

ערך מוחלט פועל על הגובה, לא על $x$ . שום חלק של הגרף לא עובר מימין לשמאל.

|x^2-4|=-1: \ 2 \ \text{פתרונות}

|x^2-4|=-1: \ \varnothing

ערך מוחלט לעולם אינו שלילי. לפני שסופרים חיתוכים, בודקים את הסימן של $c$ .

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=x^2-6x+5$ . מהו הערך של $|f(3)|$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

קודם $f$

|-4|=4

ואז ערך מוחלט

$x=3$ הוא קודקוד הפרבולה, מתחת לציר. בגרף של $|f|$ הוא הופך לנקודת המקסימום המקומי $(3,\,4)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4$

Corrigé :

\begin{aligned}x^2-4 &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{7}\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}x^2-4 &= -3 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

עוד שניים

הנכונה: $4$ . המקסימום המקומי של $|x^2-4|$ הוא $(0,\,4)$ , ו- $0<3<4$ . מי שפותר רק $x^2-4=3$ מקבל שניים ושוכח את הכיפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=x^2-2x-8$ . לגרף של $|f|$ יש נקודת מקסימום מקומי אחת. השלימו את שיעוריה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=$ 1 , $y=$ 9

Corrigé :

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= 1-2-8 \\ &= -9\end{aligned}

הקודקוד של $f$ : $(1,\,-9)$

|{-9}|=9

הקודקוד השלילי משתקף

המקסימום המקומי של $|f|$ הוא הקודקוד של $f$ אחרי שיקוף: $(1,9)$ . המינימומים נמצאים באפסים $x=-2$ ו- $x=4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לכל פונקציה $f$ ולכל $x$ מתקיים $|f(x)| \geq f(x)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x) \geq 0: \ |f(x)|=f(x)

שוויון

f(x)<0: \ |f(x)|>0>f(x)

גדול ממש

הטענה נכונה. הגרף של $|f|$ נמצא תמיד על הגרף של $f$ או מעליו. הם מתלכדים היכן ש- $f \geq 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

עבור איזה ערך של $c$ יש למשוואה $|x^2-6x+5|=c$ בדיוק שלושה פתרונות?

$c=5$
$c=2$
$c=0$
$c=4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $c=4$

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= (x-3)^2-4 \\ \ \min f &= (3,\,-4)\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

\max |f|=(3,\,4)

מקסימום מקומי של $|f|$

c=4

הישר נוגע בקצה הכיפה

הנכונה: $c=4$ . $c=5$ הוא הערך של $f(0)$ , והוא לא קשור לכיפה. $c=2$ נותן ארבעה פתרונות, ו- $c=0$ שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה $f(x)=x^2-9$ . מיינו את הערכים של $x$ : באילו $|f(x)|=f(x)$ ובאילו $|f(x)| \neq f(x)$ ?

$|f(x)|=f(x)$
$|f(x)| \neq f(x)$

$x=-1$
$x=-4$
$x=0$
$x=2$
$x=3$
$x=5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=-4$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=3$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=5$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=0$ — $|f(x)| \neq f(x)$ · $x=2$ — $|f(x)| \neq f(x)$ · $x=-1$ — $|f(x)| \neq f(x)$

Corrigé :

\begin{aligned}f(-4) &= 7 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(5) &= 16\end{aligned}

לא שליליים

\begin{aligned}f(0) &= -9 \\ \ f(2) &= -5 \\ \ f(-1) &= -8\end{aligned}

שליליים

$|f(x)|=f(x)$ בדיוק כש- $f(x) \geq 0$ . הנקודה $x=3$ נכללת: $|0|=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל פונקציה את מה שקורה לגרף של $f$ .

$y=|f(x)|$
$y=-f(x)$
$y=f(-x)$
$y=f(x)-3$

כל הגרף יורד ב- $3$
כל הגרף משתקף בציר ה- $x$
כל הגרף משתקף בציר ה- $y$
רק החלק שמתחת לציר ה- $x$ משתקף למעלה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y=|f(x)|$ — רק החלק שמתחת לציר ה- $x$ משתקף למעלה · $y=-f(x)$ — כל הגרף משתקף בציר ה- $x$ · $y=f(-x)$ — כל הגרף משתקף בציר ה- $y$ · $y=f(x)-3$ — כל הגרף יורד ב- $3$

Corrigé :

|f| \geq 0

ערך מוחלט פועל רק על החלק השלילי

-f: \ (a,\,b) \to (a,\,-b)

מינוס מחוץ לפונקציה

ההבדל בין $|f|$ ל- $-f$ : ב- $-f$ כל הגרף מתהפך, גם מה שהיה מעל הציר. ב- $|f|$ מה שמעל הציר לא זז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f

בשרטוט: הגרף של $f(x)=-x^2+4$ . מה נכון לגבי $g=\frac{1}{f}$ ?

ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מינימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$
$g$ מתאפסת ב- $x=\pm 2$ , ויש לה מקסימום $(0,\,4)$
ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מקסימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$
$g$ חיובית לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מינימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$

Corrigé :

f(\pm 2)=0

אסימפטוטות

\begin{aligned}\max f &= (0,\,4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(0,\,\frac{1}{4}\right)\end{aligned}

הקיצון מתחלף

|x|>2: f<0 \Rightarrow g<0

לכן $g$ לא חיובית בכל התחום

הנכונה: אסימפטוטות $x=\pm 2$ ומינימום $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ . « $g$ מתאפסת» היא הטעות הקלאסית, ו«חיובית לכל $x$ » שוכחת את הענפים שמחוץ לאפסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה $f(x)=x^2+2x-3$ . לכמה ערכים שלמים של $c$ יש למשוואה $|f(x)|=c$ בדיוק ארבעה פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= (x+1)^2-4 \\ \ \min f &= (-1,\,-4)\end{aligned}

הקודקוד

0<c<4

ארבעה פתרונות

\begin{aligned}c &= 1 \\ \ 2 \\ \ 3\end{aligned}

שלושה ערכים שלמים

$c=0$ נותן שני פתרונות ו- $c=4$ שלושה, ולכן שני הקצוות לא נכללים. נשארים $1$ , $2$ ו- $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

אם לפרבולה $f$ אין אפסים, אז הגרף של $|f|$ זהה לגרף של $f$ או לגרף של $-f$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\Delta<0 \Rightarrow f>0 \ \text{או} \ f<0

פרבולה בלי אפסים לא מחליפה סימן

\begin{aligned}f>0: |f| &= f \qquad f<0: |f| \\ &= -f\end{aligned}

שני המקרים

הטענה נכונה. ערך מוחלט «שובר» את הגרף רק באפסים. בלי אפסים, או שאין מה לשקף, או שמשקפים את כל הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

מה קורה לכל חלק של הגרף

כמה פתרונות יש ל-∣f(x)∣=c|f(x)|=c∣f(x)∣=c?

Exercices

La suite se pratique sur elev

כמה פתרונות יש ל- $|f(x)|=c$ ?