On résout ensemble · Pré-analyse · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון שאלון 35471. בבחינה הנושא הזה מופיע כסעיף בתוך שאלה על פונקציה: «נתונה $g=\frac{1}{f}$ », « $g(x)=-f(x)+k$ », « $g(x)=f(x-3)$ », « $g=|f|$ ». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בשאלות האלה כמעט הכול נקרא מהאפסים ומהקודקוד של הפרבולה שבמכנה.

1 — חקירה של $\frac{1}{f}$ בלי נגזרת

Activité interactive

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+5}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של $f$ המקבילות לצירים. ג. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ .

f(x)=\frac{1}{x^2-6x+5}

לחצו «להתחיל». נקרא למכנה $q(x)=x^2-6x+5$ , וכל התשובות יבואו ממנו.

א. תחום

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= (x-1)(x-5) \ \Rightarrow \ x \neq 1 \\ \ x \neq 5\end{aligned}

מוציאים את האפסים של המכנה.

ב. אנכיות

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5\end{aligned}

בכל אפס של המכנה, והמונה $1$ אינו מתאפס.

ב. אופקית

y=0

רחוק מהראשית המכנה גדל מאוד, והשבר מתקרב ל- $0$ .

ג. הקודקוד

\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \quad q(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

למכנה מינימום $(3,\,-4)$ .

ג. קיצון

\begin{aligned}f(3) &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4} \ \Rightarrow \ \max\left(3,\,-\tfrac{1}{4}\right)\end{aligned}

מינימום של המכנה הוא מקסימום של השבר.

ד. עלייה

x<1 \ ,\ 1<x<3

שם המכנה יורד, ולכן $f$ עולה. שני קטעים נפרדים.

ד. ירידה

3<x<5 \ ,\ x>5

שם המכנה עולה, ולכן $f$ יורדת.

בכל הפתרון לא גזרנו אף פעם: הקודקוד של המכנה נתן את הקיצון, וכיוון העלייה של המכנה נתן, הפוך, את כיוון העלייה של $f$ .

Faire l'activité sur elev

האם הנקודה $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$ היא הערך הגדול ביותר של $f$ בכל התחום?

Voir la réponse et le corrigé

לא. היא מקסימום רק בין האסימפטוטות. ב- $x<1$ וב- $x>5$ המכנה חיובי, ולכן $f$ חיובית, למשל $f(0)=\frac{1}{5}>-\frac{1}{4}$ . זו נקודת מקסימום מקומי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: $g(x)=-f(x)+k$

Activité interactive

מציאת k מהאסימפטוטה

נתונה $f(x)=\frac{3}{x-2}$ , ו- $g(x)=-f(x)+k$ . לגרף של $g$ אסימפטוטה אופקית $y=1$ . מצאו את $k$ , ואת נקודות החיתוך של $g$ עם הצירים.

$k=1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$

$k=-1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,0.5)$

$k=1$ ; $(-1,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$

$k=1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,-0.5)$

מהי האסימפטוטה האופקית של $-f$ ?

$y=0$

Voir la réponse et le corrigé

שיקוף בציר ה- $x$ משאיר את ציר ה- $x$ במקומו.

$y=-3$

Voir la réponse et le corrigé

המונה $3$ הוא מתיחה, לא הזזה.

\begin{aligned}-f(x) &= -\frac{3}{x-2} \ : \ y \\ &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $-f$ : $x=2$ ו- $y=0$

אז מה עושה ה- $+k$ ?

מזיז את $y=0$ ל- $y=k$ , ולכן $k=1$

Voir la réponse et le corrigé

הזזה אנכית מזיזה גם את האסימפטוטה האופקית.

מזיז את $x=2$ ל- $x=2+k$

Voir la réponse et le corrigé

$k$ נמצא מחוץ לשבר: הוא לא נוגע במכנה.

\begin{aligned}y &= 0+k \\ &= 1 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

$g(x)=-\frac{3}{x-2}+1$

איך מוצאים את החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

פותרים $g(x)=0$

Voir la réponse et le corrigé

נקודה על ציר ה- $x$ : $y=0$ .

מציבים $x=0$

Voir la réponse et le corrigé

זה החיתוך עם ציר ה- $y$ .

\begin{aligned}\frac{3}{x-2} &= 1 \ \Rightarrow \ x-2 \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה $(5,\,0)$

ומה החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$g(0)=-\frac{3}{-2}+1=2.5$

Voir la réponse et le corrigé

מינוס כפול מינוס.

$g(0)=-\frac{3}{2}+1=-0.5$

Voir la réponse et le corrigé

$0-2=-2$ , ולכן $-\frac{3}{-2}=+\frac{3}{2}$ .

\begin{aligned}g(0) &= \frac{3}{2}+1 \\ &= 2.5\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2.5)$

Voir la réponse et le corrigé

$k=1$ , והנקודות $(5,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$ . בדיקה: $g(5)=-\frac{3}{3}+1=0$ ✓

Faire l'activité sur elev

מהי האסימפטוטה האנכית של $g$ , והאם ה- $k$ השפיע עליה?

Voir la réponse et le corrigé

$x=2$ , כמו של $f$ . לא: $k$ ו-המינוס נמצאים מחוץ לשבר, והאסימפטוטה האנכית תלויה רק במכנה $x-2$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — הזזה אופקית: $g(x)=f(x-3)$

Activité interactive

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$ , ו- $g(x)=f(x-3)$ . א. מצאו את האסימפטוטות של $g$ המקבילות לצירים. ב. חשבו את $g(3)$ . ג. הפונקציה $f$ זוגית. האם גם $g$ זוגית? נמקו.

\begin{aligned}g(x) &= f(x-3) \\ &= \frac{1}{(x-3)^2-4}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הזזה אופקית מזיזה כל נקודה, וגם כל אסימפטוטה אנכית.

א. של $f$

\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $f$ .

א. הזזה

x-3 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{ימינה}

כל אסימפטוטה אנכית זזה ב- $3$ .

א. של $g$

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

$-2+3=1$ ו- $2+3=5$ . האופקית לא זזה בהזזה אופקית.

ב.

\begin{aligned}g(3) &= f(0) \\ &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הקודקוד של המכנה זז גם הוא: מ- $x=0$ ל- $x=3$ .

ג.

\begin{aligned}x &= 1 \notin D_g \\ \quad x &= -1 \in D_g\end{aligned}

$g(-1)=f(-4)=\frac{1}{12}$ , אבל $g(1)$ לא מוגדר.

ג. מסקנה

g(-x) \neq g(x)

התחום שלה אינו סימטרי סביב $0$ . הגרף סימטרי סביב $x=3$ , לא סביב ציר ה- $y$ .

בשאלות «האם $g$ זוגית» מספיקה דוגמה נגדית אחת: נקודה $a$ שבה $g(a) \neq g(-a)$ , או ש- $a$ בתחום ו- $-a$ לא.

Faire l'activité sur elev

אילו היו שואלים על $h(x)=f(x)+3$ במקום $f(x-3)$ : אילו אסימפטוטות היו משתנות?

Voir la réponse et le corrigé

רק האופקית: $y=0$ הופכת ל- $y=3$ . האנכיות $x=\pm 2$ נשארות, כי הזזה אנכית לא משנה את המקומות שבהם $f$ לא מוגדרת.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — $|f|$ ומספר הפתרונות של $|f(x)|=k$

Activité interactive

נתונה $f(x)=x^2+2x-8$ , ו- $g(x)=|f(x)|$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ ואת הקודקוד שלה. ב. מצאו את נקודות הקיצון של $g$ וקבעו את סוגן. ג. עבור אילו ערכים של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק ארבעה פתרונות? ד. ועבור אילו ערכים בדיוק שני פתרונות?

g(x)=|x^2+2x-8|

לחצו «להתחיל». את $g$ משרטטים מ- $f$ : מה שמתחת לציר עולה למעלה.

א. אפסים

\begin{aligned}x^2+2x-8 &= (x+4)(x-2) \ \Rightarrow \ x \\ &= -4 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$(-4,\,0)$ ו- $(2,\,0)$ .

א. קודקוד

\begin{aligned}x_v &= -1 \\ \quad f(-1) &= 1-2-8 \\ &= -9\end{aligned}

הקודקוד $(-1,\,-9)$ , מתחת לציר.

ב. מינימום

(-4,\,0) ,\ (2,\,0)

באפסים $g=0$ , והיא לא יורדת מתחת לאפס.

ב. מקסימום

(-1,\,-9) \to (-1,\,9)

הקודקוד משתקף ונעשה מקסימום מקומי.

ג.

0<k<9

ישר אופקי בין $0$ ל- $9$ חותך את שני הענפים ואת הכיפה: ארבע נקודות.

ד.

k=0 \ \text{או} \ k>9

ב- $k=0$ : רק האפסים. מעל $9$ : רק שני הענפים. וב- $k=9$ שלוש נקודות.

המספר $9$ הוא גובה הכיפה, כלומר הערך המוחלט של $f$ בקודקוד. הוא מפריד בין «ארבעה פתרונות» ל«שניים».

Faire l'activité sur elev

כמה פתרונות יש ל- $g(x)=-2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

אף אחד. $g=|f|$ אינה שלילית לעולם, ולכן הישר $y=-2$ לא פוגש את הגרף שלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מסכמת: מפגש של $f$ עם $\frac{1}{f}$ .

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-8x+12}$ . השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: $x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטנה לגדולה) ; נקודת הקיצון: $x=$ ____ , $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטות אנכיות: $x=$ 2 ו- $x=$ 6 (מהקטנה לגדולה) ; נקודת הקיצון: $x=$ 4 , $y=$ -0.25

Corrigé :

x^2-8x+12=(x-2)(x-6)

האפסים של המכנה

\begin{aligned}x_v &= 4 \\ \ q(4) &= 16-32+12 \\ &= -4\end{aligned}

קודקוד המכנה

f(4)=-\frac{1}{4}

מקסימום מקומי

שיעור ה- $y$ של הקיצון הוא ההופכי של גובה הקודקוד, $-\frac{1}{4}$ , לא $-4$ . והסוג: מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=\frac{4}{x+1}$ , ו- $g(x)=-f(x)+k$ . לגרף של $g$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ . השלימו.

$k=$ ____ ; נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $k=$ 2 ; נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ : $x=$ 1

Corrigé :

\begin{aligned}-f: \ y &= 0 \ \Rightarrow \ g: \ y \\ &= k \\ &= 2\end{aligned}

הזזה אנכית

\begin{aligned}-\frac{4}{x+1}+2 &= 0 \Rightarrow x+1 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

האסימפטוטה האופקית של $-f$ היא $y=0$ , ולכן $k$ הוא האסימפטוטה החדשה. בדיקה: $g(1)=-2+2=0$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$ , ו- $g(x)=f(x+2)$ . מהן האסימפטוטות האנכיות של $g$ ?

$x=-1$ ו- $x=5$
$x=-5$ ו- $x=1$
$x=-3$ ו- $x=3$
$x=-7$ ו- $x=11$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x=-5$ ו- $x=1$

Corrigé :

f: \ x=\pm 3

האפסים של $x^2-9$

\begin{aligned}x+2 &= \pm 3 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= -5\end{aligned}

הזזה של $2$ שמאלה

הנכונה: $x=-5$ ו- $x=1$ . $x+2$ מזיז שמאלה. $x=-1$ ו- $x=5$ הם הזזה ימינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה $f(x)=x^2-2x-15$ , ו- $g(x)=|f(x)|$ . עבור איזה ערך של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק שלושה פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= 1-2-15 \\ &= -16\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

\max g=(1,\,16)

הכיפה

k=16

הישר נוגע בקצה הכיפה

שלושה פתרונות מתקבלים רק כשהישר נוגע בקצה הכיפה: שתי נקודות בענפים ונקודה אחת בקודקוד שהשתקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=x^2+1$ . הגרפים של $f$ ושל $\frac{1}{f}$ נפגשים בנקודה אחת בדיוק.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= 1 \Rightarrow x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת מפגש אחת

\begin{aligned}f(x) &= -1 \Rightarrow x^2 \\ &= -2\end{aligned}

אין פתרון

הטענה נכונה. הגרפים נפגשים היכן ש- $f=1$ או $f=-1$ . כאן $f \geq 1$ , ולכן רק $(0,\,1)$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה של 1f\frac{1}{f}f1​ בלי נגזרת

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: g(x)=−f(x)+kg(x)=-f(x)+kg(x)=−f(x)+k

3 — הזזה אופקית: g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3)g(x)=f(x−3)

4 — ∣f∣|f|∣f∣ ומספר הפתרונות של ∣f(x)∣=k|f(x)|=k∣f(x)∣=k

Exercices

La suite se pratique sur elev

1 — חקירה של $\frac{1}{f}$ בלי נגזרת

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: $g(x)=-f(x)+k$

3 — הזזה אופקית: $g(x)=f(x-3)$

4 — $|f|$ ומספר הפתרונות של $|f(x)|=k$