Dériver les fonctions trigonométriques composées

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הסתכלו על הגל y=sin⁡xy=\sin x לפני כל נוסחה. איפה הוא עולה הכי תלול? איפה הוא שטוח לרגע? עכשיו השוו לגל המקווקו y=cos⁡xy=\cos x: בכל מקום שבו הגל הרציף שטוח, הגל המקווקו חוצה את ציר ה-xx.

y = sin x ו-y = cos x
פסגהשפל0π0.5π1π1.5π2π-1.5-1-0.500.511.5xy
  • y = sin x
  • y = cos x
הציר האופקי מסומן בכפולות של π\pi. בפסגה (x=π2x=\frac{\pi}{2}) ובשפל (x=3π2x=\frac{3\pi}{2}) של sin⁡x\sin x הערך של cos⁡x\cos x הוא 00. ב-x=0x=0, שם sin⁡x\sin x עולה הכי מהר, cos⁡x\cos x מגיע ל-11: הגל המקווקו הוא השיפוע של הגל הרציף.

לפי הגרף: מה השיפוע של y=sin⁡xy=\sin x בנקודה x=πx=\pi?

Voir la réponse et le corrigé

ב-x=πx=\pi הגל יורד הכי תלול, ו-cos⁡π=−1\cos\pi=-1. השיפוע הוא −1-1: המשיק שם יורד בזווית של 45∘45^\circ.

רדיאנים, ושלוש נוסחאות יסוד

בחשבון דיפרנציאלי הזווית נמדדת ברדיאנים: π\pi רדיאנים הם 180∘180^\circ, ו-π6\frac{\pi}{6} הם 30∘30^\circ. רק ברדיאנים מתקיים הגבול lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, ועליו נשענת הנוסחה (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x. במעלות היה מופיע המקדם π180\frac{\pi}{180} בכל נגזרת.

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(tan⁡x)′=1cos⁡2x\begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \qquad (\cos x)' \\ &= -\sin x \qquad (\tan x)' \\ &= \frac{1}{\cos^2 x}\end{aligned}

שלוש הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות. המינוס בנגזרת של cos⁡x\cos x הוא מקור רוב הטעויות.

הראו בעזרת כלל המנה ש-(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.

Voir la réponse et le corrigé

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, ולכן (tan⁡x)′=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}. הזהות sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1 סוגרת את החישוב.

ארגומנט ליניארי, חזקה ושורש

(sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)

הנגזרת הפנימית aa יוצאת החוצה כמקדם

(cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)

גם כאן aa בחוץ, והמינוס נשאר

(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x\begin{aligned}(\sin^2 x)' &= 2\sin x\cos x \\ &= \sin 2x\end{aligned}

שרשרת: החזקה היא הפונקציה החיצונית, הסינוס הוא הפנימית

(cos⁡x)′=−sin⁡x2cos⁡x\left(\sqrt{\cos x}\right)'=\frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}

שורש של פונקציה טריגונומטרית: 12u\frac{1}{2\sqrt{u}} כפול u′u'

משוואת משיק לפונקציה שהיא מכפלה

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=xcos⁡2xf(x)=x\cos 2x בנקודה שבה x=π4x=\frac{\pi}{4}.

f(π4)=π4cos⁡π2=0\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= \tfrac{\pi}{4}\cos\tfrac{\pi}{2} \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה: (π4, 0)\left(\frac{\pi}{4},\,0\right)

f′(x)=cos⁡2x−2xsin⁡2xf'(x)=\cos 2x-2x\sin 2x

כלל המכפלה, ובגורם השני שרשרת: (cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)'=-2\sin 2x

f′(π4)=cos⁡π2−π2sin⁡π2=−π2\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= \cos\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\sin\tfrac{\pi}{2} \\ &= -\tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

השיפוע

y=−π2(x−π4)=−π2x+π28\begin{aligned}y &= -\tfrac{\pi}{2}\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right) \\ &= -\tfrac{\pi}{2}x+\tfrac{\pi^2}{8}\end{aligned}

משוואת המשיק

שלוש טעויות גזירה שחוזרות בבגרות.

(cos⁡3x)′=−sin⁡3x(\cos 3x)'=-\sin 3x
(cos⁡3x)′=−3sin⁡3x(\cos 3x)'=-3\sin 3x

נשכחה הנגזרת הפנימית 33.

(sin⁡2x)′=2cos⁡x(\sin^2 x)'=2\cos x
(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x(\sin^2 x)'=2\sin x\cos x

גוזרים את החזקה וגם את הסינוס שבתוכה.

f(x)=sin⁡x⇒f′(30)=cos⁡30∘\begin{aligned}f(x) &= \sin x \Rightarrow f'(30) \\ &= \cos 30^\circ\end{aligned}
f′(π6)=cos⁡π6=32\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= \cos\tfrac{\pi}{6} \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הנוסחאות נכונות רק ברדיאנים. 30∘30^\circ הם π6\frac{\pi}{6}, ו-f′(30)f'(30) הוא ערך בנקודה אחרת לגמרי.

לפני שגוזרים, שאלו על הביטוי: מכפלה? מנה? שרשרת? ואם יש שרשרת, כמה שכבות יש בה. ב-sin⁡2(3x)\sin^2(3x) יש שלוש: חזקה, סינוס, 3x3x.

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡(3x−π4)f(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)?

  1. 3sin⁡(3x−π4)3\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
  2. 3cos⁡(3x−π4)3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
  3. cos⁡(3x−π4)\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
  4. −3cos⁡(3x−π4)-3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 3cos⁡(3x−π4)3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)

Corrigé :

(sin⁡u)′=cos⁡u⋅u′(\sin u)'=\cos u\cdot u'

שרשרת

u=3x−π4⇒u′=3\begin{aligned}u &= 3x-\tfrac{\pi}{4} \Rightarrow u' \\ &= 3\end{aligned}

הנגזרת הפנימית

הנכונה: 3cos⁡(3x−π4)3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right). הקבוע −π4-\frac{\pi}{4} אינו משפיע על הנגזרת הפנימית. מי שבחר cos⁡(… )\cos(\dots) בלי 33 שכח את השרשרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי הנגזרת של f(x)=tan⁡2xf(x)=\tan 2x?

  1. −2cos⁡22x-\dfrac{2}{\cos^2 2x}
  2. 2cos⁡22x\dfrac{2}{\cos^2 2x}
  3. 2sin⁡22x\dfrac{2}{\sin^2 2x}
  4. 1cos⁡22x\dfrac{1}{\cos^2 2x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2cos⁡22x\dfrac{2}{\cos^2 2x}

Corrigé :

(tan⁡u)′=u′cos⁡2u(\tan u)'=\frac{u'}{\cos^2 u}

הנוסחה עם שרשרת

u=2x⇒u′=2\begin{aligned}u &= 2x \Rightarrow u' \\ &= 2\end{aligned}

הנכונה: 2cos⁡22x\frac{2}{\cos^2 2x}. הנגזרת של tan⁡\tan חיובית תמיד: אין בה מינוס, ובמכנה מופיע cos⁡\cos ולא sin⁡\sin.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos^2 x. חשבו את f′(π12)f'\left(\frac{\pi}{12}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.5

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=−sin⁡2x\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x\cdot(-\sin x) \\ &= -\sin 2x\end{aligned}

שרשרת, ואז זהות הזווית הכפולה

f′(π12)=−sin⁡π6=−12\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{12}\right) &= -\sin\tfrac{\pi}{6} \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f′(π12)=−0.5f'\left(\frac{\pi}{12}\right)=-0.5. בלי הזהות 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin 2x צריך לחשב sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}, שאינו ערך מוכר. המינוס בא מהנגזרת של cos⁡x\cos x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x. חשבו את f′(π)f'(\pi). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3.14

Corrigé :

f′(x)=sin⁡x+xcos⁡xf'(x)=\sin x+x\cos x

כלל המכפלה

f′(π)=0+π⋅(−1)=−π≈−3.14\begin{aligned}f'(\pi) &= 0+\pi\cdot(-1) \\ &= -\pi\approx -3.14\end{aligned}

f′(π)=−π≈−3.14f'(\pi)=-\pi\approx-3.14. מי שכתב f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x גזר רק גורם אחד, וקיבל −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡x1+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} (בתחום שבו cos⁡x≠−1\cos x\neq -1)?

  1. 11+cos⁡x\dfrac{1}{1+\cos x}
  2. −11+cos⁡x-\dfrac{1}{1+\cos x}
  3. −cos⁡xsin⁡x-\dfrac{\cos x}{\sin x}
  4. cos⁡x1+cos⁡x\dfrac{\cos x}{1+\cos x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 11+cos⁡x\dfrac{1}{1+\cos x}

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x(1+cos⁡x)−sin⁡x⋅(−sin⁡x)(1+cos⁡x)2f'(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x\cdot(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}

כלל המנה

=cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(1+cos⁡x)2=cos⁡x+1(1+cos⁡x)2=\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2}

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

=11+cos⁡x=\frac{1}{1+\cos x}

מצמצמים

הנכונה: 11+cos⁡x\frac{1}{1+\cos x}. −cos⁡xsin⁡x-\frac{\cos x}{\sin x} מתקבל כשגוזרים מונה ומכנה בנפרד, וזה אסור. בלי הזהות הפיתגורית הצמצום לא נראה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=5−4cos⁡xf(x)=\sqrt{5-4\cos x}. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=4sin⁡x25−4cos⁡x=2sin⁡x5−4cos⁡x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4\sin x}{2\sqrt{5-4\cos x}} \\ &= \frac{2\sin x}{\sqrt{5-4\cos x}}\end{aligned}

שורש של פונקציה: הנגזרת הפנימית היא 4sin⁡x4\sin x

f′(π3)=2⋅325−2=33=1\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= \frac{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{5-2}} \\ &= \frac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f′(π3)=1f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=1. הנגזרת של −4cos⁡x-4\cos x היא +4sin⁡x+4\sin x: שני מינוסים. מי שמאבד אחד מהם מקבל −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=2sin⁡x+cos⁡2xf(x)=2\sin x+\cos 2x בנקודה שבה x=0x=0.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= 2 x+x+ 1

Corrigé :

f(0)=0+1=1\begin{aligned}f(0) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה (0, 1)(0,\,1)

f′(x)=2cos⁡x−2sin⁡2x⇒f′(0)=2\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x-2\sin 2x \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−1=2(x−0)⇒y=2x+1\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \Rightarrow y \\ &= 2x+1\end{aligned}

y=2x+1y=2x+1. הנקודה נלקחת מ-ff והשיפוע מ-f′f'. cos⁡0=1\cos 0=1 ולא 00: מי שמחליף ביניהם מקבל y=2xy=2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של f(x)=sin⁡2x+cos⁡2xf(x)=\sin^2 x+\cos^2 x היא 00 לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x(−sin⁡x)=0\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים כל מחובר בשרשרת

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

ובלי לגזור: הפונקציה קבועה

הטענה נכונה. f(x)=1f(x)=1 לכל xx, ונגזרת של קבוע היא 00. הגזירה מאשרת את הזהות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • sin⁡2x\sin 2x
  • cos⁡x2\cos\frac{x}{2}
  • tan⁡(x+1)\tan(x+1)
  • sin⁡3x\sin^3 x
  • −12sin⁡x2-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}
  • 1cos⁡2(x+1)\frac{1}{\cos^2(x+1)}
  • 2cos⁡2x2\cos 2x
  • 3sin⁡2xcos⁡x3\sin^2 x\cos x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡2x\sin 2x — 2cos⁡2x2\cos 2x · cos⁡x2\cos\frac{x}{2} — −12sin⁡x2-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} · tan⁡(x+1)\tan(x+1) — 1cos⁡2(x+1)\frac{1}{\cos^2(x+1)} · sin⁡3x\sin^3 x — 3sin⁡2xcos⁡x3\sin^2 x\cos x

Corrigé :

(cos⁡x2)′=−sin⁡x2⋅12(\cos\tfrac{x}{2})'=-\sin\tfrac{x}{2}\cdot\tfrac{1}{2}

הנגזרת הפנימית היא 12\frac12

(sin⁡3x)′=3sin⁡2x⋅cos⁡x(\sin^3 x)'=3\sin^2 x\cdot\cos x

החזקה בחוץ, הסינוס בפנים

ב-tan⁡(x+1)\tan(x+1) הנגזרת הפנימית היא 11, ולכן אין מקדם. ב-sin⁡3x\sin^3 x שוכחים לעתים את cos⁡x\cos x, הנגזרת של הפונקציה הפנימית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x+cos⁡2xf(x)=x+\cos 2x בקטע 0≤x≤π0\le x\le\pi. בכמה נקודות בקטע המשיק לגרף מקביל לישר y=xy=x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=1−2sin⁡2xf'(x)=1-2\sin 2x

הנגזרת

1−2sin⁡2x=1⇒sin⁡2x=0\begin{aligned}1-2\sin 2x &= 1 \Rightarrow \sin 2x \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע 11, כמו הישר

0≤2x≤2π⇒2x=0 π 2π\begin{aligned}0\le 2x\le 2\pi \Rightarrow 2x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

כל הפתרונות בקטע של 2x2x

x=0 π2 π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

שלוש נקודות

שלוש נקודות. כש-xx עובר על [0,π][0,\pi], הזווית 2x2x עוברת על [0,2π][0,2\pi]: הקטע מוכפל. מי שפותר sin⁡2x=0\sin 2x=0 רק ב-[0,π][0,\pi] מאבד את x=πx=\pi.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe