Étude sur un intervalle donné

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

פונקציה טריגונומטרית חוזרת על עצמה, ולכן יש לה אינסוף נקודות קיצון. לכן בבגרות היא נחקרת תמיד בקטע נתון. הנה הגרף של f(x)=sin⁡2x−2sin⁡xf(x)=\sin 2x-2\sin x בקטע −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi. לפני כל חישוב, קראו בו את הקיצון, את האפסים ואת הסימטריה.

y = sin 2x − 2 sin x
מקסימוםמינימום(0,0)-1π-0.75π-0.5π-0.25π0π0.25π0.5π0.75π1π-3-2-1123xy
הציר האופקי מסומן בכפולות של π\pi. הגרף סימטרי לראשית. ליד x=0x=0 הוא נעשה שטוח לרגע ובכל זאת ממשיך לרדת.

לפי הגרף: כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש בקטע, ומה קורה לגרף ב-x=0x=0?

Voir la réponse et le corrigé

שלוש: x=−πx=-\pi, x=0x=0 ו-x=πx=\pi. ב-x=0x=0 המשיק אופקי, אבל הגרף יורד לפניו וגם אחריו. זו אינה נקודת קיצון.

שלבי החקירה בקטע

11

תחום הגדרה: שורש, מכנה, tan⁡\tan. מה שנשאר מהקטע הנתון

22

זוגיות ומחזור: מציבים −x-x. פונקציה זוגית או אי-זוגית חוסכת חצי מהעבודה

33

חיתוך עם הצירים: משוואה טריגונומטרית, ורק הפתרונות שבקטע

44

נגזרת ומשוואה f′(x)=0f'(x)=0 בקטע, לרוב אחרי פירוק לגורמים

55

טבלת סימנים, כולל הקצוות של הקטע

66

סקיצה: קצוות, קיצון, אפסים, אסימפטוטות

חקירה מלאה בקטע סימטרי

נתונה f(x)=sin⁡2x−2sin⁡xf(x)=\sin 2x-2\sin x בקטע −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi. חקרו את הפונקציה.

f(−x)=sin⁡(−2x)−2sin⁡(−x)=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \sin(-2x)-2\sin(-x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

אי-זוגית: הגרף סימטרי לראשית

f(x)=2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡x=2sin⁡x(cos⁡x−1)\begin{aligned}f(x) &= 2\sin x\cos x-2\sin x \\ &= 2\sin x(\cos x-1)\end{aligned}

מפרקים לגורמים

sin⁡x=0 או cos⁡x=1⇒x=−π 0 π\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \text{או}\ \cos x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -\pi \\ \ 0 \\ \ \pi\end{aligned}

אפסים

f′(x)=2cos⁡2x−2cos⁡x=2(2cos⁡2x−cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x-2\cos x \\ &= 2(2\cos^2 x-\cos x-1)\end{aligned}

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1

2(2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)=0⇒x=±2π3 0\begin{aligned}2(2\cos x+1)(\cos x-1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3} \\ \ 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-cos⁡x\cos x

f(2π3)=−32−3=−332\begin{aligned}f\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) &= -\tfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt3 \\ &= -\tfrac{3\sqrt3}{2}\end{aligned}

ומאי-הזוגיות: f(−2π3)=332f\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt3}{2}

למה x=0x=0 אינה נקודת קיצון, אף ש-f′(0)=0f'(0)=0?

Voir la réponse et le corrigé

משני צדי x=0x=0 הנגזרת שלילית: cos⁡x−1<0\cos x-1<0 ו-2cos⁡x+1>02\cos x+1>0. הפונקציה יורדת לפני 00 וגם אחריו. נגזרת אפס בלי החלפת סימן אינה קיצון.

זוגיות ומחזור

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x): פונקציה זוגית, סימטרית לציר ה-yy. f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x): אי-זוגית, סימטרית לראשית. כדי להוכיח מציבים −x-x ומשתמשים ב-cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x וב-sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x. המחזור של sin⁡(ax+b)\sin(ax+b) ושל cos⁡(ax+b)\cos(ax+b) הוא 2π∣a∣\frac{2\pi}{|a|}, ושל tan⁡(ax+b)\tan(ax+b) הוא π∣a∣\frac{\pi}{|a|}.

האם f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהן?

Voir la réponse et le corrigé

f(−x)=(−x)sin⁡(−x)=(−x)(−sin⁡x)=xsin⁡x=f(x)f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x). זוגית. מכפלה של שתי פונקציות אי-זוגיות היא זוגית.

אסימפטוטה אנכית או «חור»

tan⁡x\tan x, ומנה שבמכנה שלה cos⁡x\cos x או sin⁡x\sin x, אינן מוגדרות כשהמכנה מתאפס. בכל נקודה כזאת בודקים את המונה. אם המונה אינו מתאפס, יש אסימפטוטה אנכית. אם גם המונה מתאפס, מצמצמים ובודקים שוב: לפעמים נשארת רק נקודה חסרה.

שלוש טעויות בחקירה בקטע.

f′(0)=0⇒קיצוןf'(0)=0 \Rightarrow \text{קיצון}
f′: −→0→−⇒איןf':\ -\to 0\to - \Rightarrow \text{אין}

נגזרת אפס היא רק נקודה חשודה. קיצון יש רק כש-f′f' מחליפה סימן, וטבלת הסימנים מכריעה.

cos⁡x=12⇒x=π3\begin{aligned}\cos x &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{3}\end{aligned}
x=π3 או x=5π3\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3} \ \text{או}\ x \\ &= \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

בכל סיבוב יש שני פתרונות. בודקים את כל הקטע.

f(x)=sin⁡2xcos⁡x: x=π2 אסימפטוטה\begin{aligned}f(x) &= \frac{\sin 2x}{\cos x}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}
2sin⁡xcos⁡xcos⁡x=2sin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x

גם המונה מתאפס ב-π2\frac{\pi}{2}. אחרי הצמצום נשארת נקודה חסרה, לא אסימפטוטה.

בקטע סגור, הקצוות שייכים לחקירה: הם נכנסים לטבלת הסימנים, והערכים שם יכולים להיות הגדולים או הקטנים ביותר.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=32cos⁡x+1f(x)=\dfrac{3}{2\cos x+1} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באילו נקודות של הקטע ff אינה מוגדרת?

  1. x=π3x=\frac{\pi}{3} ו-x=5π3x=\frac{5\pi}{3}
  2. x=2π3x=\frac{2\pi}{3} ו-x=4π3x=\frac{4\pi}{3}
  3. היא מוגדרת בכל הקטע
  4. x=2π3x=\frac{2\pi}{3} בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=2π3x=\frac{2\pi}{3} ו-x=4π3x=\frac{4\pi}{3}

Corrigé :

2cos⁡x+1=0⇒cos⁡x=−12\begin{aligned}2\cos x+1 &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

המכנה מתאפס

x=2π3 4π3\begin{aligned}x &= \tfrac{2\pi}{3} \\ \ \tfrac{4\pi}{3}\end{aligned}

שני פתרונות בסיבוב

הנכונה: 2π3\frac{2\pi}{3} ו-4π3\frac{4\pi}{3}. π3\frac{\pi}{3} ו-5π3\frac{5\pi}{3} פותרים cos⁡x=+12\cos x=+\frac12: טעות בסימן. «2π3\frac{2\pi}{3} בלבד» שוכחת את הפתרון השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

0≤2x≤4π0\le 2x\le 4\pi

הקטע של הזווית 2x2x

2x=0 π 2π 3π 4π\begin{aligned}2x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi \\ \ 3\pi \\ \ 4\pi\end{aligned}

sin⁡\sin מתאפס בכפולות של π\pi

x=0 π2 π 3π2 2π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ 2\pi\end{aligned}

חמש נקודות

חמש נקודות, כולל שני הקצוות. מי שעונה 33 פתר sin⁡x=0\sin x=0 ושכח שהמחזור של sin⁡2x\sin 2x הוא π\pi.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}. חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3333

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x(2+cos⁡x)+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2 x}{(2+\cos x)^2} \\ &= \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}\end{aligned}

כלל המנה ו-sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

f′(0)=39=13≈0.33\begin{aligned}f'(0) &= \frac{3}{9} \\ &= \frac13\approx 0.33\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f′(0)=13≈0.33f'(0)=\frac13\approx 0.33. בכלל המנה (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x, ולכן מופיע +sin⁡2x+\sin^2 x. מי שכותב −sin⁡2x-\sin^2 x מקבל אותו ערך ב-x=0x=0, אבל נוסחה שגויה בכל נקודה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מיינו את הפונקציות: זוגית או אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • cos⁡3x\cos 3x
  • sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}
  • sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x
  • tan⁡x\tan x
  • xsin⁡xx\sin x
  • x2sin⁡xx^2\sin x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : cos⁡3x\cos 3x — זוגית · xsin⁡xx\sin x — זוגית · sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} — זוגית · x2sin⁡xx^2\sin x — אי-זוגית · tan⁡x\tan x — אי-זוגית · sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x — אי-זוגית

Corrigé :

sin⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡(−x)=cos⁡x\begin{aligned}\sin(-x) &= -\sin x \\ \quad \cos(-x) &= \cos x\end{aligned}

מציבים −x-x

(−x)2sin⁡(−x)=−x2sin⁡x(-x)^2\sin(-x)=-x^2\sin x

זוגית כפול אי-זוגית: אי-זוגית

sin⁡(−x)−x=sin⁡xx\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}

אי-זוגית חלקי אי-זוגית: זוגית

הכלל כמו בכפל סימנים: זוגית כפול זוגית, או אי-זוגית כפול אי-זוגית, נותנת זוגית. אחרת אי-זוגית. sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac12\sin 2x, ולכן אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x−2sin⁡xf(x)=x-2\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. נקודות הקיצון הפנימיות הן ב-x=kπx=k\pi. מלאו את kk (אפשר לכתוב שבר, למשל 2/3).

מינימום: x=x= ____ π\pi ; מקסימום: x=x= ____ π\pi

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: x=x= 0.3333333333333333 π\pi ; מקסימום: x=x= 1.6666666666666667 π\pi

Corrigé :

f′(x)=1−2cos⁡x=0⇒cos⁡x=12\begin{aligned}f'(x) &= 1-2\cos x \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= \tfrac12\end{aligned}

נקודות חשודות

x=π3 5π3\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

בקטע

f′(0)=−1<0f′(π)=3>0f′(2π)=−1<0\begin{aligned}f'(0) &= -1<0 \\ \quad f'(\pi) &= 3>0 \\ \quad f'(2\pi) &= -1<0\end{aligned}

סימן הנגזרת בכל תחום

min⁡ x=π3max⁡ x=5π3\begin{aligned}\min\ x &= \tfrac{\pi}{3} \\ \qquad \max\ x &= \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

מ-−- ל-++ מינימום, מ-++ ל-−- מקסימום

המינימום ב-π3\frac{\pi}{3} והמקסימום ב-5π3\frac{5\pi}{3}. מי שמחליף ביניהם לא בדק את הסימן של f′f': הפתרונות של cos⁡x=12\cos x=\frac12 לבדם לא אומרים איזה סוג קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף של f(x)=sin⁡2xcos⁡xf(x)=\dfrac{\sin 2x}{\cos x} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

  1. שתיים: x=π2x=\frac{\pi}{2} ו-x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
  2. אין אף אחת
  3. אחת: x=π2x=\frac{\pi}{2}
  4. אחת: x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין אף אחת

Corrigé :

cos⁡x=0⇒x=π2 3π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

הפונקציה אינה מוגדרת שם

2sin⁡xcos⁡xcos⁡x=2sin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x

גם המונה מתאפס: מצמצמים

f(x)→2,f(x)→−2f(x)\to 2,\quad f(x)\to -2

הגבולות ב-π2\frac{\pi}{2} וב-3π2\frac{3\pi}{2} סופיים

הנכונה: אין. הגרף הוא y=2sin⁡xy=2\sin x עם שתי נקודות חסרות. מי שעונה «שתיים» בדק רק את המכנה ולא את המונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. מהו הערך הגדול ביותר של ff? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5774

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2=0⇒cos⁡x=−12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2} \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

x=2π3: f=3232=33≈0.58\begin{aligned}x &= \tfrac{2\pi}{3}:\ f \\ &= \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac32} \\ &= \frac{\sqrt3}{3}\approx 0.58\end{aligned}

מקסימום: f′f' עוברת מ-++ ל-−-

x=4π3: f=−33\begin{aligned}x &= \tfrac{4\pi}{3}:\ f \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned}

מינימום

f(0)=f(2π)=0\begin{aligned}f(0) &= f(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}

הקצוות

הערך הגדול ביותר 33≈0.58\frac{\sqrt3}{3}\approx 0.58, ב-x=2π3x=\frac{2\pi}{3}. הוא לא ב-x=π2x=\frac{\pi}{2}, שם sin⁡x\sin x מקסימלי: גם המכנה משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=1−cos⁡x⇒f′(0)=0\begin{aligned}f'(x) &= 1-\cos x \Rightarrow f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה

1−cos⁡x≥01-\cos x\ge 0

הנגזרת אינה שלילית אף פעם

f′(−0.1)>0,f′(0.1)>0f'(-0.1)>0,\quad f'(0.1)>0

אין החלפת סימן

הטענה לא נכונה. הפונקציה עולה משני הצדדים של x=0x=0. f′(0)=0f'(0)=0 לבדו אינו מספיק לקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו המחזור של f(x)=sin⁡2x+cos⁡3xf(x)=\sin 2x+\cos 3x?

  1. 2π2\pi
  2. 2π3\frac{2\pi}{3}
  3. π\pi
  4. 6π6\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2π2\pi

Corrigé :

T1=2π2=πT2=2π3\begin{aligned}T_1 &= \tfrac{2\pi}{2} \\ &= \pi \\ \qquad T_2 &= \tfrac{2\pi}{3}\end{aligned}

המחזור של כל מחובר

2π=2T1=3T2\begin{aligned}2\pi &= 2T_1 \\ &= 3T_2\end{aligned}

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר

הנכונה: 2π2\pi. צריך מספר ששני הגלים חוזרים בו יחד: 2π2\pi הוא שני מחזורים של הראשון ושלושה של השני. 6π6\pi הוא מכפלה ולא הכפולה הקטנה ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=2sin⁡x+xf(x)=2\sin x+x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}
  2. 0<x<2π30<x<\frac{2\pi}{3}
  3. π2<x<3π2\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}
  4. π3<x<5π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡x+1<0⇒cos⁡x<−12f'(x)=2\cos x+1<0 \Rightarrow \cos x<-\tfrac12

יורדת כשהנגזרת שלילית

2π3<x<4π3\tfrac{2\pi}{3}<x<\tfrac{4\pi}{3}

הקשת שבה cos⁡x<−12\cos x<-\frac12

הנכונה: 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}. π2<x<3π2\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2} הוא התחום שבו cos⁡x<0\cos x<0, ושם שוכחים את המחובר +1+1 בנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe