Paramètre, graphe de f′ et aire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלת החקירה של הבגרות, החקירה עצמה היא רק ההתחלה. אחריה באים פרמטר שנקבע מנתון, זיהוי הגרף של f′f', מספר הפתרונות של f(x)=kf(x)=k ושטח. הנה f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2 x (רציף) והנגזרת שלה f′(x)=sin⁡2xf'(x)=\sin 2x (מקווקו), על אותם צירים.

f(x) = sin²x ו-f′(x) = sin 2x
maxmaxmin0π0.5π1π1.5π2π-1.5-1-0.500.511.5xy
  • f
  • f′
הציר האופקי מסומן בכפולות של π\pi. בכל מקסימום של ff הגרף של f′f' חוצה את הציר מלמעלה למטה, ובכל מינימום מלמטה למעלה. במקום שבו ff עולה הכי מהר, f′f' בשיא.

לפי הגרף: מה הסימן של f′f' בתחום π2<x<π\frac{\pi}{2}<x<\pi, ומה עושה שם ff?

Voir la réponse et le corrigé

f′f' שלילית שם, כי 2x2x נמצא בין π\pi ל-2π2\pi. לכן ff יורדת, מ-11 ב-π2\frac{\pi}{2} עד 00 ב-π\pi.

פרמטר מנתון

כל נתון הופך למשוואה. נקודה על הגרף: f(x0)=y0f(x_0)=y_0. קיצון ב-x0x_0: f′(x0)=0f'(x_0)=0. משיק מקביל לישר: f′(x0)=mf'(x_0)=m. ציר ה-xx משיק בקיצון: f′(x0)=0f'(x_0)=0 וגם f(x0)=0f(x_0)=0. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו שהקיצון באמת קיצון.

פרמטר מקיצון

לפונקציה f(x)=acos⁡x+sin⁡2xf(x)=a\cos x+\sin 2x יש נקודת קיצון ב-x=π6x=\frac{\pi}{6}. מצאו את aa ואת סוג הקיצון.

f′(x)=−asin⁡x+2cos⁡2xf'(x)=-a\sin x+2\cos 2x

הנגזרת

f′(π6)=−a2+2⋅12=0⇒a=2\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= -\tfrac{a}{2}+2\cdot\tfrac12 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

f′(0)=2>0f′(π2)=−2−2=−4<0\begin{aligned}f'(0) &= 2>0 \\ \qquad f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= -2-2 \\ &= -4<0\end{aligned}

בודקים סימנים משני הצדדים

f(π6)=3+32=332\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= \sqrt3+\tfrac{\sqrt3}{2} \\ &= \tfrac{3\sqrt3}{2}\end{aligned}

מקסימום

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=k

מעבירים על הסקיצה ישר אופקי y=ky=k וסופרים את נקודות החיתוך. מספר החיתוכים משתנה רק כשהישר עובר בערך קיצון או בערך של קצה. לכן אלה המספרים שקובעים את התשובה.

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡2x=14\sin^2 x=\frac14 בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

sin⁡x=12\sin x=\frac12 או sin⁡x=−12\sin x=-\frac12. לכל אחת שני פתרונות בסיבוב: π6,5π6,7π6,11π6\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}. ארבעה פתרונות. מי ששוכח את −12-\frac12 מקבל רק שניים.

אינטגרלים מיידיים ושטח

∫sin⁡(ax+b) dx=−1acos⁡(ax+b)+C∫cos⁡(ax+b) dx=1asin⁡(ax+b)+C\begin{aligned}\int\sin(ax+b)\,dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C \qquad \int\cos(ax+b)\,dx \\ &= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\end{aligned}

בגזירה aa יוצא החוצה ככפל. באינטגרל הוא יוצא כחילוק.

שטח בשני חלקים

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=sin⁡2xy=\sin 2x וציר ה-xx בקטע 0≤x≤π0\le x\le\pi.

sin⁡2x≥0 ב- 0≤x≤π2,sin⁡2x≤0 ב- π2≤x≤π\sin 2x\ge 0 \ \text{ב-}\ 0\le x\le\tfrac{\pi}{2},\qquad \sin 2x\le 0 \ \text{ב-}\ \tfrac{\pi}{2}\le x\le\pi

הגרף חוצה את הציר ב-π2\frac{\pi}{2}

∫0π/2sin⁡2x dx=[−12cos⁡2x]0π/2=12+12=1\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx &= \left[-\tfrac12\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= \tfrac12+\tfrac12 \\ &= 1\end{aligned}

החלק שמעל הציר

∫π/2πsin⁡2x dx=−1\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx=-1

החלק שמתחת לציר: אינטגרל שלילי

S=1+∣−1∣=2\begin{aligned}S &= 1+|-1| \\ &= 2\end{aligned}

השטח הוא סכום הערכים המוחלטים

∫0π/2f′(x) dx=f(π2)−f(0)=1−0\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx &= f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0) \\ &= 1-0\end{aligned}

ובדרך אחרת: sin⁡2x\sin 2x היא הנגזרת של sin⁡2x\sin^2 x

שלוש טעויות באינטגרל ובשטח.

∫sin⁡x dx=cos⁡x+C\int\sin x\,dx=\cos x+C
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C

בדיקה בגזירה: (−cos⁡x)′=sin⁡x(-\cos x)'=\sin x.

∫cos⁡2x dx=2sin⁡2x+C\int\cos 2x\,dx=2\sin 2x+C
∫cos⁡2x dx=12sin⁡2x+C\int\cos 2x\,dx=\tfrac12\sin 2x+C

המקדם 22 מתחלק, הוא לא מוכפל.

S=∫02πsin⁡x dx=0\begin{aligned}S &= \int_0^{2\pi}\sin x\,dx \\ &= 0\end{aligned}
S=2∫0πsin⁡x dx=4\begin{aligned}S &= 2\int_0^{\pi}\sin x\,dx \\ &= 4\end{aligned}

החלק שמעל הציר והחלק שמתחתיו מתקזזים באינטגרל. שטח מחשבים בנפרד בכל חלק.

כשהשאלה מבקשת שטח מתחת לגרף של f′f', אין צורך למצוא אינטגרל: ∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a). כל מה שצריך הוא ערכי ff בשני הקצוות.

Exercices

Exercice 1

הגרף של f(x)=asin⁡x+cos⁡2xf(x)=a\sin x+\cos 2x עובר בנקודה (π2, 3)\left(\frac{\pi}{2},\,3\right). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(π2)=a⋅1+cos⁡π=a−1\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= a\cdot 1+\cos\pi \\ &= a-1\end{aligned}

מציבים את xx של הנקודה

a−1=3⇒a=4\begin{aligned}a-1 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל-yy של הנקודה

a=4a=4. cos⁡π=−1\cos\pi=-1 ולא 11: מי שטועה בזה מקבל a=2a=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לפונקציה f(x)=asin⁡2x+cos⁡xf(x)=a\sin 2x+\cos x יש נקודת קיצון ב-x=π6x=\frac{\pi}{6}. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f′(x)=2acos⁡2x−sin⁡xf'(x)=2a\cos 2x-\sin x

שרשרת: 22 יוצא מ-sin⁡2x\sin 2x

f′(π6)=2a⋅12−12=a−12=0\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= 2a\cdot\tfrac12-\tfrac12 \\ &= a-\tfrac12 \\ &= 0\end{aligned}

קיצון

a=12a=\tfrac12

a=0.5a=0.5. מי ששוכח את הנגזרת הפנימית 22 מקבל a=1a=1. הנתון «קיצון» הוא נתון על f′f', לא על ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=2cos⁡x−cos⁡2x+af(x)=2\cos x-\cos 2x+a בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. ציר ה-xx משיק לגרף של ff בנקודת המינימום שלו. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=−2sin⁡x+2sin⁡2x=2sin⁡x(2cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin x+2\sin 2x \\ &= 2\sin x(2\cos x-1)\end{aligned}

הנגזרת, מפורקת

x=0 π3 π 5π3 2π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3} \\ \ \pi \\ \ \tfrac{5\pi}{3} \\ \ 2\pi\end{aligned}

נקודות חשודות וקצוות

f(π)=−2−1+a=a−3\begin{aligned}f(\pi) &= -2-1+a \\ &= a-3\end{aligned}

הערך הקטן ביותר, ב-x=πx=\pi

a−3=0⇒a=3\begin{aligned}a-3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משיק לציר ה-xx: הערך המינימלי הוא 00

a=3a=3. בנקודת המינימום f′=0f'=0 לכל aa, ולכן התנאי החדש הוא f=0f=0 שם. ב-x=π3x=\frac{\pi}{3} יש מקסימום, לא מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

y = f′(x)
0π0.5π1π1.5π2π-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5xy

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של פונקציה ff, בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. איזו מהפונקציות יכולה להיות ff?

  1. f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos 2x
  2. f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x
  3. f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2 x
  4. f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos^2 x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos^2 x

Corrigé :

f′(0)=0f′(x)<0  (0<x<π2)\begin{aligned}f'(0) &= 0 \\ \qquad f'(x)<0 \ \ (0<x<\tfrac{\pi}{2})\end{aligned}

קוראים מהגרף: יוצא מ-00 ויורד

(cos⁡2x)′=−2cos⁡xsin⁡x=−sin⁡2x\begin{aligned}(\cos^2 x)' &= -2\cos x\sin x \\ &= -\sin 2x\end{aligned}

מתאים: גובה 11 ומחזור π\pi

(cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)'=-2\sin 2x

גובה 22: לא מתאים

הנכונה: cos⁡2x\cos^2 x. (sin⁡2x)′=sin⁡2x(\sin^2 x)'=\sin 2x מתחילה בעלייה. (cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)'=-2\sin 2x מגיעה עד 22, והגרף מגיע רק עד 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

y = f(x)
1.5−31.50π0.5π1π1.5π2π-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52xy

בשרטוט הגרף של f(x)=2cos⁡x−cos⁡2xf(x)=2\cos x-\cos 2x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.2f(x)=1.2 בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(0)=1 f(π3)=1.5 f(π)=−3 f(5π3)=1.5 f(2π)=1\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \ f\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= 1.5 \\ \ f(\pi) &= -3 \\ \ f\left(\tfrac{5\pi}{3}\right) &= 1.5 \\ \ f(2\pi) &= 1\end{aligned}

ערכי הקיצון והקצוות

1<1.2<1.51<1.2<1.5

הישר עובר בין ערך הקצה לערך המקסימום

44

חיתוך אחד בכל אחד מארבעת הקטעים המונוטוניים

ארבעה פתרונות. הישר y=1.2y=1.2 נמצא מעל ערכי הקצוות (11), ולכן הוא חותך גם ליד x=0x=0 וגם ליד x=2πx=2\pi. מי שסופר רק את הירידה הגדולה עונה 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

y = f(x)
1.5−31.50π0.5π1π1.5π2π-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52xy

בשרטוט הגרף של f(x)=2cos⁡x−cos⁡2xf(x)=2\cos x-\cos 2x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות בקטע?

  1. −3<k<1-3<k<1
  2. −3<k<1.5-3<k<1.5
  3. −3<k<1-3<k<1 או k=1.5k=1.5
  4. −3≤k≤1-3\le k\le 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −3<k<1-3<k<1 או k=1.5k=1.5

Corrigé :

−3<k<1-3<k<1

הישר חותך רק את הירידה אל −3-3 ואת העלייה ממנה

k=1.5k=1.5

הישר עובר בשתי נקודות המקסימום בדיוק

k=1: 41<k<1.5: 4k=−3: 1\begin{aligned}k &= 1:\ 4 \\ \qquad 1<k<1.5:\ 4 \\ \qquad k &= -3:\ 1\end{aligned}

הערכים האחרים

הנכונה: −3<k<1-3<k<1 או k=1.5k=1.5. ב-k=1k=1 יש ארבעה פתרונות, כי גם הקצוות x=0x=0 ו-x=2πx=2\pi נחשבים. ו-k=1.5k=1.5 נשכח בקלות: שתי נקודות משיקה הן שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: ∫0π/4sin⁡2x dx\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

∫sin⁡2x dx=−12cos⁡2x+C\int\sin 2x\,dx=-\tfrac12\cos 2x+C

אינטגרל מיידי עם ארגומנט ליניארי

[−12cos⁡2x]0π/4=−12cos⁡π2+12cos⁡0=0+12\begin{aligned}\left[-\tfrac12\cos 2x\right]_0^{\pi/4} &= -\tfrac12\cos\tfrac{\pi}{2}+\tfrac12\cos 0 \\ &= 0+\tfrac12\end{aligned}

0.50.5. מי שכותב −2cos⁡2x-2\cos 2x מכפיל במקום לחלק, ומקבל 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=sin⁡xy=\sin x וציר ה-xx בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=1+1=2\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sin x\,dx &= [-\cos x]_0^{\pi} \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

מעל הציר

∫π2πsin⁡x dx=−2\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=-2

מתחת לציר

S=2+2=4\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

השטח 44. האינטגרל על כל הקטע הוא 00, כי שני החלקים מתקזזים. שטח אינו אינטגרל אחד כשהגרף חוצה את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2 x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=π2x=\frac{\pi}{2}, בקטע 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=sin⁡2x≥0 ב- 0≤x≤π2f'(x)=\sin 2x\ge 0 \ \text{ב-}\ 0\le x\le\tfrac{\pi}{2}

הגרף של f′f' מעל הציר

S=∫0π/2f′(x) dx=f(π2)−f(0)=1−0=1\begin{aligned}S &= \int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx \\ &= f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0) \\ &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

המשפט היסודי

השטח 11. לא צריך למצוא אינטגרל של sin⁡2x\sin 2x: השטח מתחת ל-f′f' הוא ההפרש בין ערכי ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו או הפריכו: ∫02πcos⁡x dx=0\int_0^{2\pi}\cos x\,dx=0, ולכן השטח המוגבל על ידי הגרף של y=cos⁡xy=\cos x וציר ה-xx בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi הוא 00.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∫02πcos⁡x dx=[sin⁡x]02π=0\begin{aligned}\int_0^{2\pi}\cos x\,dx &= [\sin x]_0^{2\pi} \\ &= 0\end{aligned}

החלק הראשון נכון

∫0π/2cos⁡x dx=1\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1

אבל השטח: מחלקים לפי האפסים π2\frac{\pi}{2} ו-3π2\frac{3\pi}{2}

S=1+2+1=4\begin{aligned}S &= 1+2+1 \\ &= 4\end{aligned}

הטענה לא נכונה. האינטגרל אכן 00, אבל השטח הוא 44. אינטגרל סופר שטח מתחת לציר בסימן שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe