La fonction objectif · Programmation linéaire · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הנגרייה מרוויחה $500$ ש״ח על ארון ו- $300$ ש״ח על שידה. פונקציית המטרה היא הרווח: $f = 500x + 300y$ . רוצים למצוא את הנקודה בתחום שבה $f$ הכי גדולה.

המקסימום נמצא בקודקוד

בתכנון ליניארי, הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פונקציית המטרה מתקבלים תמיד בקודקודים של התחום. לכן מספיק להציב את הקודקודים.

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

הרווח בכל קודקוד

$f = 500x + 300y$

O(0,\ 0):\ f = 0

A(7,\ 0):\ f = 3500

\begin{aligned}B(4,\ 6):\ f &= 2000 + 1800 \\ &= 3800\end{aligned}

C(0,\ 10):\ f = 3000

\max f = 3800\ \text{ב-}\ B

$4$ ארונות ו- $6$ שידות

למה לא לייצר רק ארונות, שהם הרווחיים יותר?

Voir la réponse et le corrigé

כי ארון דורש פי $2$ ימי עבודה. ב- $14$ ימים יוצאים רק $7$ ארונות ( $3{,}500$ ש״ח). שילוב נותן יותר.

מינימום בתחום פתוח

בבעיית הוצאות מחפשים מינימום. לפעמים התחום פתוח: הוא לא נסגר. אז יש מינימום, אבל אין מקסימום.

תחום פתוח: הוא ממשיך בלי סוף למעלה ולימין.

הדיאטה

עלות מנה א $4$ ש״ח, מנה ב $5$ ש״ח. $c = 4x + 5y$ , עם $x + 2y \ge 8$ ו- $3x + y \ge 9$ .

A(0,\ 9):\ c = 45

\begin{aligned}B(2,\ 3):\ c &= 8 + 15 \\ &= 23\end{aligned}

חיתוך שני האילוצים

C(8,\ 0):\ c = 32

\min c = 23

$2$ מנות א ו- $3$ מנות ב

שתי טעויות בפונקציית המטרה.

\max\ \text{בנקודה}\ (5,\ 5)

\max\ \text{בקודקוד}

בודקים רק קודקודים, ורק כאלה שבתחום.

\text{תחום פתוח}:\ \max = \ldots

\text{אין מקסימום}

בתחום פתוח אפשר להגדיל את $x$ ו- $y$ בלי סוף.

Exercices

Exercice 1

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

נגרייה: $f = 500x + 300y$ . מה הרווח בקודקוד $(7,\ 0)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3500

Corrigé :

500 \cdot 7 = 3500

$3{,}500$ ש״ח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

אם הרווח היה $f = 300x + 400y$ באותו תחום, מה היה הרווח המקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4000

Corrigé :

\begin{aligned}A:\ 2100 \\ \ B:\ 1200 + 2400 &= 3600 \\ \ C:\ 4000\end{aligned}

$4{,}000$ ב- $C(0,\ 10)$ : עכשיו השידות רווחיות יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

תחום עם הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(6,\ 0)$ , $(4,\ 3)$ , $(0,\ 5)$ , ופונקציית מטרה $f = 3x + 5y$ . השלימו.

המקסימום: ____ ; בנקודה: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המקסימום: 27 ; בנקודה: ( 4 , 3 )

Corrigé :

(6,\ 0):\ 18,\ (4,\ 3):\ 27,\ (0,\ 5):\ 25

$27$ ב- $(4,\ 3)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותו תחום: המינימום של $g = 2x - y$ .

המינימום: ____ ; בנקודה: ( 0 , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המינימום: -5 ; בנקודה: ( 0 , 5 )

Corrigé :

(0,\ 0):\ 0,\ (6,\ 0):\ 12,\ (4,\ 3):\ 5,\ (0,\ 5):\ -5

$-5$ ב- $(0,\ 5)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

תחום פתוח: הוא ממשיך בלי סוף למעלה ולימין.

הדיאטה ( $c = 4x + 5y$ ): מה העלות בקודקוד $(8,\ 0)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

32

$32$ ש״ח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בתחום הפתוח של הדיאטה, מה אפשר לומר על העלות?

יש גם וגם
אין אף אחד
יש מינימום ואין מקסימום
יש מקסימום ואין מינימום

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C יש מינימום ואין מקסימום

Corrigé :

\text{פתוח למעלה ולימין}

אפשר לקנות יותר ויותר, והעלות גדלה בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נכון או לא נכון: אם פונקציית המטרה מקבלת את אותו ערך מקסימלי בשני קודקודים סמוכים, היא מקבלת אותו ערך בכל הצלע ביניהם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f\ \text{ליניארית}

נכון. אז יש אינסוף פתרונות אופטימליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(10,\ 0)$ , $(6,\ 4)$ , $(0,\ 8)$ . פונקציית המטרה $f = 2x + 3y$ . מה המקסימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

20,\ 24,\ 24

24

ב- $(6,\ 4)$ וב- $(0,\ 8)$

$24$ , בשני קודקודים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מוצאים מקסימום של $f = 4x + y$ בקודקודים $(0,\ 0)$ , $(5,\ 0)$ , $(3,\ 4)$ , $(0,\ 6)$ . איזו שורה שגויה?

f(5,\ 0) = 20

\begin{aligned}f(3,\ 4) &= 12 + 4 \\ &= 16\end{aligned}

\max f = 16

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\max f = 16$ → $\max f = 20$

Corrigé :

20 > 16

המקסימום $20$ , ב- $(5,\ 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית תכנון ליניארי.

בוחרים את הערך הגדול או הקטן
כותבים את האילוצים
מוצאים את הקודקודים
מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה
מציירים את התחום

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כותבים את האילוצים · מציירים את התחום · מוצאים את הקודקודים · מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה · בוחרים את הערך הגדול או הקטן

Corrigé :

\text{אילוצים} \to \text{תחום} \to \text{קודקודים} \to f

מציבים רק בקודקודים, ובוחרים לפי מה שהשאלה מבקשת: מקסימום או מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

המקסימום נמצא בקודקוד

מינימום בתחום פתוח

Exercices

La suite se pratique sur elev