On résout ensemble · Loi normale et score z · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: אחוז מתוך העקומה, מציאת ממוצע וסטיית תקן, השוואה בעזרת ציון תקן, ובקרת איכות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה.

בבחינה כתבו כל שלב: איזו שנתה, אילו רצועות, ואיזה חשבון. כשהשאלה מבקשת «על פי גרף ההתפלגות הנורמלית», השתמשו באחוזים של הנוסחאון בלבד.

1 — חשבונות המים

Activité interactive

חשבונות המים של משפחות בעיר מתפלגים נורמלית. סטיית התקן היא $40$ ש״ח, ו- $16\%$ מהחשבונות נמוכים מ- $180$ ש״ח. א. מצאו את הממוצע. ב. כמה אחוזים מהחשבונות בין $200$ ל- $300$ ש״ח? ג. בעיר $5{,}000$ משפחות. כמה משפחות משלמות יותר מ- $300$ ש״ח? ד. ציון התקן של משפחת לוי הוא $1.2$ . האם היא משלמת יותר מ- $260$ ש״ח?

\begin{aligned}\bar{x} &= ? \quad S \\ &= 40\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם מתרגמים את $16\%$ לשנתה.

א.

16\% \Rightarrow \bar{x} - S

$16\%$ מתחת: ארבע רצועות משמאל.

א.

\begin{aligned}\bar{x} - 40 &= 180 \Rightarrow \bar{x} \\ &= 220\end{aligned}

הממוצע: $220$ ש״ח.

ב.

\begin{aligned}200 &= \bar{x} - 0.5S \\ \quad 300 &= \bar{x} + 2S\end{aligned}

$20 = 0.5 \cdot 40$ ו- $80 = 2 \cdot 40$ .

ב.

19 + 19 + 15 + 9 + 5 = 67

$67\%$ מהחשבונות.

ג.

1.5\% + 0.5\% = 2\%

מעל $\bar{x} + 2S$ .

ג.

5000 \cdot 0.02 = 100

$100$ משפחות.

ד.

\begin{aligned}x &= 220 + 1.2 \cdot 40 \\ &= 268\end{aligned}

מתרגמים את ציון התקן לסכום.

ד.

268 > 260

כן, משפחת לוי משלמת יותר מ- $260$ ש״ח.

שני מקומות שבהם השאלה «תופסת»: $16\%$ הם $\bar{x} - S$ ולא $\bar{x} - 16$ , ובסעיף ג צריך מספר משפחות, לא אחוז.

Faire l'activité sur elev

ואם היו שואלים כמה אחוזים מהחשבונות בין $140$ ל- $180$ ש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

$140 = \bar{x} - 2S$ ו- $180 = \bar{x} - S$ . בין שתי השנתות: $5\% + 9\% = 14\%$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שני אחוזים, שני נעלמים

Activité interactive

ציוני מבחן ארצי מתפלגים נורמלית. $69\%$ מהתלמידים קיבלו פחות מ- $80$ , ו- $7\%$ קיבלו פחות מ- $56$ . א. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן. ב. כמה אחוזים קיבלו בין $68$ ל- $92$ ? ג. בבית ספר $400$ תלמידים. כמה מהם קיבלו יותר מ- $86$ , אם ההתפלגות בבית הספר זהה?

69\%:\ 80 \qquad 7\%:\ 56

לחצו «להתחיל». כל אחוז נותן משוואה.

א.

\bar{x} + 0.5S = 80

$69\% = 50\% + 19\%$

א.

\bar{x} - 1.5S = 56

$7\% = 0.5\% + 1.5\% + 5\%$

א.

\begin{aligned}2S &= 24 \Rightarrow S \\ &= 12\end{aligned}

מחסרים את המשוואות.

א.

\begin{aligned}\bar{x} &= 80 - 6 \\ &= 74\end{aligned}

מציבים.

ב.

\begin{aligned}68 &= \bar{x} - 0.5S \\ \quad 92 &= \bar{x} + 1.5S\end{aligned}

ב.

19 + 19 + 15 + 9 = 62

$62\%$

ג.

86 = \bar{x} + S \Rightarrow 16\%

ג.

400 \cdot 0.16 = 64

$64$ תלמידים.

בין $56$ ל- $80$ יש שתי סטיות תקן: מ- $\bar{x} - 1.5S$ עד $\bar{x} + 0.5S$ .

Faire l'activité sur elev

איך בודקים שהממוצע וסטיית התקן נכונים?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים בחזרה: $74 + 0.5 \cdot 12 = 80$ ✓, ו- $74 - 1.5 \cdot 12 = 56$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מי הצליחה יותר?

Activité interactive

רונה רצה $100$ מטר ב- $13.2$ שניות. בקבוצה שלה הזמנים מתפלגים נורמלית עם ממוצע $14$ שניות וסטיית תקן $0.4$ שניות. ליאור שחתה $50$ מטר ב- $31$ שניות. בקבוצה שלה הממוצע $33$ שניות וסטיית התקן $1.6$ שניות. א. מצאו את ציון התקן של כל אחת. ב. מי הצליחה יותר ביחס לקבוצה שלה? נמקו. ג. כמה אחוזים מהרצות בקבוצה של רונה מהירות ממנה?

z = \frac{x - \bar{x}}{S}

לחצו «להתחיל». שימו לב: כאן זמן קצר הוא טוב.

א.

\begin{aligned}z_{\text{רונה}} &= \frac{13.2 - 14}{0.4} \\ &= -2\end{aligned}

א.

\begin{aligned}z_{\text{ליאור}} &= \frac{31 - 33}{1.6} \\ &= -1.25\end{aligned}

ב.

-2 < -1.25

שתיהן מהירות מהממוצע, אבל רונה בשתי סטיות תקן. רונה הצליחה יותר.

ג.

\begin{aligned}z &= -2 \Rightarrow 1.5\% + 0.5\% \\ &= 2\%\end{aligned}

רק $2\%$ מהרצות מהירות מרונה.

בזמנים, ציון תקן שלילי הוא הישג. מי שבחר את ציון התקן הגדול יותר בחר את האיטית.

Faire l'activité sur elev

האם אפשר למצוא באותה דרך כמה אחוזים מהשחיינות מהירות מליאור?

Voir la réponse et le corrigé

לא בעזרת הנוסחאון בלבד: $-1.25$ אינו כפולה של $0.5$ . אפשר רק לומר שהאחוז בין $7\%$ ל- $16\%$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — בקבוקים שנפסלים

Activité interactive

מכונה ממלאת בקבוקי מים. הנפח מתפלג נורמלית עם ממוצע $500$ מ״ל וסטיית תקן $4$ מ״ל. בקבוק שנפחו פחות מ- $494$ מ״ל נפסל. א. כמה אחוזים מהבקבוקים נפסלים? ב. כמה בקבוקים נפסלים מתוך $3{,}000$ ? ג. המפעל רוצה שרק $2\%$ מהבקבוקים ייפסלו. סטיית התקן לא משתנה. לאיזה ממוצע צריך לכוון את המכונה?

\begin{aligned}\bar{x} &= 500 \quad S \\ &= 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}494 &= 500 - 6 \\ &= \bar{x} - 1.5S\end{aligned}

א.

0.5 + 1.5 + 5 = 7

$7\%$ נפסלים.

ב.

3000 \cdot 0.07 = 210

$210$ בקבוקים.

ג.

2\% \Rightarrow \bar{x} - 2S = 494

הגבול צריך להיות שתי סטיות תקן מתחת לממוצע.

ג.

\begin{aligned}\bar{x} &= 494 + 8 \\ &= 502\end{aligned}

מכוונים ל- $502$ מ״ל.

בסעיף ג הגבול $494$ קבוע, והממוצע זז. מזיזים את כל הפעמון ימינה.

Faire l'activité sur elev

למה המפעל לא מכוון פשוט ל- $510$ מ״ל, ואז כמעט אף בקבוק לא נפסל?

Voir la réponse et le corrigé

כי כל מיליליטר מעל $500$ הוא מים שהמפעל נותן בחינם. הוא מחפש את הממוצע הקטן ביותר שעומד בדרישה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

שאלה 1. משך השיחות במוקד מתפלג נורמלית. סטיית התקן $50$ שניות, ו- $16\%$ מהשיחות קצרות מ- $300$ שניות. השלימו.

הממוצע: ____ שניות ; אחוז השיחות בין $325$ ל- $400$ שניות: ____% ; מתוך $2{,}000$ שיחות, מספר השיחות הארוכות מ- $400$ שניות: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע: 350 שניות ; אחוז השיחות בין $325$ ל- $400$ שניות: 53% ; מתוך $2{,}000$ שיחות, מספר השיחות הארוכות מ- $400$ שניות: 320

Corrigé :

\begin{aligned}\bar{x} - 50 &= 300 \Rightarrow \bar{x} \\ &= 350\end{aligned}

$16\%$ הם $\bar{x} - S$

\begin{aligned}325 &= \bar{x} - 0.5S \\ \ 400 &= \bar{x} + S \Rightarrow 19 + 19 + 15 \\ &= 53\end{aligned}

\begin{aligned}400 &= \bar{x} + S \Rightarrow 16\% \\ \ 2000 \cdot 0.16 &= 320\end{aligned}

כמו בשאלה 1 של הדרך: האחוז הופך לשנתה, השנתה הופכת למשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שאלה 2. גובה שתילים במשתלה מתפלג נורמלית. $84\%$ מהשתילים נמוכים מ- $64$ ס״מ, ו- $2\%$ מהם נמוכים מ- $34$ ס״מ. השלימו.

סטיית התקן: ____ ; הממוצע: ____ ; מתוך $600$ שתילים, מספר השתילים בין $49$ ל- $74$ ס״מ: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : סטיית התקן: 10 ; הממוצע: 54 ; מתוך $600$ שתילים, מספר השתילים בין $49$ ל- $74$ ס״מ: 402

Corrigé :

\begin{aligned}\bar{x} + S &= 64 \\ \ \ \bar{x} - 2S &= 34\end{aligned}

$84\%$ ו- $2\%$

\begin{aligned}3S &= 30 \Rightarrow S \\ &= 10\end{aligned}

מחסרים

\begin{aligned}\bar{x} &= 64 - 10 \\ &= 54\end{aligned}

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}49 &= \bar{x} - 0.5S \\ \ 74 &= \bar{x} + 2S \Rightarrow 67\%\end{aligned}

600 \cdot 0.67 = 402

מספר השתילים

בין $34$ ל- $64$ יש שלוש סטיות תקן: מ- $\bar{x} - 2S$ עד $\bar{x} + S$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שאלה 3. נועם רץ $400$ מטר ב- $48$ שניות; בקבוצה שלו ממוצע $52$ וסטיית תקן $2$ . עדי רכבה מסלול ב- $95$ שניות; בקבוצה שלה ממוצע $100$ וסטיית תקן $4$ . השלימו. בסעיף האחרון כתבו $1$ אם נועם הצליח יותר, ו- $2$ אם עדי.

ציון התקן של נועם: ____ ; ציון התקן של עדי: ____ ; מי הצליח יותר: ____ ; אחוז הרצים בקבוצה של נועם שמהירים ממנו: ____%

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ציון התקן של נועם: -2 ; ציון התקן של עדי: -1.25 ; מי הצליח יותר: 1 ; אחוז הרצים בקבוצה של נועם שמהירים ממנו: 2%

Corrigé :

\begin{aligned}z &= \frac{48 - 52}{2} \\ &= -2\end{aligned}

נועם

\begin{aligned}z &= \frac{95 - 100}{4} \\ &= -1.25\end{aligned}

עדי

-2 < -1.25

בזמנים, ציון תקן קטן יותר הוא טוב יותר

1.5 + 0.5 = 2

נועם הצליח יותר. מהירים ממנו רק $2\%$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שאלה 4. מכונה ממלאת שקי מלט. המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע $1{,}000$ גרם וסטיית תקן $8$ גרם. שק שמשקלו פחות מ- $984$ גרם נפסל. השלימו.

אחוז השקים שנפסלים: ____% ; אם רוצים ש- $7\%$ ייפסלו כאשר הגבול הוא $980$ גרם, הממוצע צריך להיות: ____ גרם

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחוז השקים שנפסלים: 2% ; אם רוצים ש- $7\%$ ייפסלו כאשר הגבול הוא $980$ גרם, הממוצע צריך להיות: 992 גרם

Corrigé :

\begin{aligned}984 &= 1000 - 16 \\ &= \bar{x} - 2S \Rightarrow 2\%\end{aligned}

7\% \Rightarrow \bar{x} - 1.5S = 980

\begin{aligned}\bar{x} &= 980 + 12 \\ &= 992\end{aligned}

בסעיף השני הגבול קבוע, ומחפשים את הממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

1 — חשבונות המים

2 — שני אחוזים, שני נעלמים

3 — מי הצליחה יותר?

4 — בקבוקים שנפסלים

Exercices

La suite se pratique sur elev