Les coefficients et la forme

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הפונקציה הריבועית נכתבת y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, כאשר a≠0a \neq 0. שלושת המקדמים aa, bb, cc מספרים לנו הרבה על הפרבולה, עוד לפני שמציירים אותה.

המקדם aa: לאן הפרבולה פתוחה

a>0a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד הוא מינימום.

a<0a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד הוא מקסימום.

הגובה של כדור הוא y=−5x2+20xy = -5x^2 + 20x. האם לגרף יש מקסימום או מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

a=−5<0a = -5 < 0: הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן יש מקסימום. זה הגובה הגדול ביותר של הכדור.

המקדם cc: החיתוך עם ציר yy

מציבים x=0x = 0: מקבלים y=a⋅0+b⋅0+c=cy = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c. לכן הפרבולה חותכת את ציר yy בנקודה (0, c)(0,\ c).

הקודקוד

הקודקוד נמצא בדיוק באמצע בין שתי נקודות החיתוך עם ציר xx. קפלו את הפרבולה וראו.

בדף הנוסחאות יש נוסחה לשיעור ה-xx של הקודקוד, גם כשאין חיתוך עם ציר xx:

xקודקוד=−b2ax_{\text{קודקוד}} = \frac{-b}{2a}

את שיעור ה-yy מוצאים כך: מציבים את xx של הקודקוד בפונקציה.

y=−2x2+8x−6y = -2x^2 + 8x - 6

מצאו את הקודקוד, וקבעו אם הוא מקסימום או מינימום.

x=−82⋅(−2)=−8−4=2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= \frac{-8}{-4} \\ &= 2\end{aligned}

שיעור ה-xx

y=−2⋅22+8⋅2−6=2\begin{aligned}y &= -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

a=−2<0a = -2 < 0

הקודקוד (2, 2)(2,\ 2) הוא מקסימום

מהו הקודקוד של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5? בדקו בעזרת הנוסחה.

Voir la réponse et le corrigé

x=62=3x = \frac{6}{2} = 3, ו-y=9−18+5=−4y = 9 - 18 + 5 = -4. הקודקוד (3, −4)(3,\ -4), מינימום. זה מה שהקיפול הראה.

מקדם שלא יודעים

מוצאים את aa

הפרבולה y=ax2−2x+8y = ax^2 - 2x + 8 עוברת בנקודה (2, 0)(2,\ 0). מצאו את aa.

0=a⋅22−2⋅2+80 = a \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 8

מציבים x=2x = 2, y=0y = 0

0=4a+40 = 4a + 4
a=−1a = -1

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

שתי טעויות בנוסחת הקודקוד.

y=−2x2+8x: x=82⋅(−2)\begin{aligned}y &= -2x^2 + 8x:\ x \\ &= \frac{8}{2 \cdot (-2)}\end{aligned}
x=−82⋅(−2)=2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= 2\end{aligned}

במונה יש −b-b. כאן b=8b = 8, ולכן המונה הוא −8-8.

הקודקוד=2\text{הקודקוד} = 2
הקודקוד=(2, 2)\text{הקודקוד} = (2,\ 2)

הנוסחה נותנת רק את xx. את yy מוצאים בהצבה.

Exercices

Exercice 1

איזו מהפונקציות הבאות היא פרבולה פתוחה כלפי מטה?

  1. y=−3x2+x+4y = -3x^2 + x + 4
  2. y=0.5x2+3x−1y = 0.5x^2 + 3x - 1
  3. y=2x2−5xy = 2x^2 - 5x
  4. y=x2−9y = x^2 - 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=−3x2+x+4y = -3x^2 + x + 4

Corrigé :

a=−3<0a = -3 < 0

רק בראשונה aa שלילי. הסימן של bb או של cc לא קובע לאן הפרבולה פתוחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באיזו נקודה הפרבולה y=2x2−3x+7y = 2x^2 - 3x + 7 חותכת את ציר yy? כתבו את שיעור ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

x=0⇒y=7\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 7\end{aligned}

y=c=7y = c = 7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו שיעור ה-xx של הקודקוד של y=x2−10x+21y = x^2 - 10x + 21?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x=102⋅1=5\begin{aligned}x &= \frac{10}{2 \cdot 1} \\ &= 5\end{aligned}

x=5x = 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את הקודקוד של y=−x2+4x+5y = -x^2 + 4x + 5.

הקודקוד: x=x = ____, y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקודקוד: x=x = 2, y=y = 9

Corrigé :

x=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}
y=−4+8+5=9\begin{aligned}y &= -4 + 8 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

הקודקוד (2, 9)(2,\ 9), מקסימום כי a<0a < 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לפונקציה y=3x2−12x+1y = 3x^2 - 12x + 1 יש בקודקוד:

  1. אין קודקוד
  2. גם מקסימום וגם מינימום
  3. מינימום
  4. מקסימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מינימום

Corrigé :

a=3>0a = 3 > 0

מינימום: a>0a > 0, והפרבולה פתוחה כלפי מעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפרבולה y=ax2+4x−3y = ax^2 + 4x - 3 עוברת בנקודה (1, 3)(1,\ 3). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

3=a+4−33 = a + 4 - 3

On remplace (מציבים)

a=2a = 2

a=2a = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מצאו את הקודקוד של y=0.5x2−2x+3y = 0.5x^2 - 2x + 3.

הקודקוד: x=x = ____, y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקודקוד: x=x = 2, y=y = 1

Corrigé :

x=22⋅0.5=2\begin{aligned}x &= \frac{2}{2 \cdot 0.5} \\ &= 2\end{aligned}
y=0.5⋅4−4+3=1\begin{aligned}y &= 0.5 \cdot 4 - 4 + 3 \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד (2, 1)(2,\ 1), מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מוצאים את הקודקוד של y=−x2−6x+2y = -x^2 - 6x + 2. איזו שורה שגויה?

x=−(−6)2⋅(−1)x = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)}
x=6−2=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}
y=−9−18+2=−25\begin{aligned}y &= -9 - 18 + 2 \\ &= -25\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=6−2=3x = \frac{6}{-2} = 3 → x=6−2=−3x = \frac{6}{-2} = -3

Corrigé :

6−2=−3\frac{6}{-2} = -3

חילוק בשלילי

y=−9+18+2=11\begin{aligned}y &= -9 + 18 + 2 \\ &= 11\end{aligned}

הקודקוד הנכון (−3, 11)(-3,\ 11)

בשורה השנייה הסימן אבד: 6−2=−3\frac{6}{-2} = -3. גם השורה השלישית יוצאת שגויה בגלל זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נכון או לא נכון: אם בפונקציה y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c המקדם b=0b = 0, אז הקודקוד נמצא על ציר yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x=−02a=0\begin{aligned}x &= \frac{-0}{2a} \\ &= 0\end{aligned}

נכון. הקודקוד ב-x=0x = 0, כלומר על ציר yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו כל פונקציה לתיאור שלה.

  • y=x2−4y = x^2 - 4
  • y=−x2+4y = -x^2 + 4
  • y=x2+4y = x^2 + 4
  • y=−x2−4y = -x^2 - 4
  • פתוחה כלפי מטה, חותכת את ציר yy ב-44
  • פתוחה כלפי מטה, לא חותכת את ציר xx
  • פתוחה כלפי מעלה, חותכת את ציר yy ב-−4-4
  • פתוחה כלפי מעלה, לא חותכת את ציר xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=x2−4y = x^2 - 4 — פתוחה כלפי מעלה, חותכת את ציר yy ב-−4-4 · y=−x2+4y = -x^2 + 4 — פתוחה כלפי מטה, חותכת את ציר yy ב-44 · y=x2+4y = x^2 + 4 — פתוחה כלפי מעלה, לא חותכת את ציר xx · y=−x2−4y = -x^2 - 4 — פתוחה כלפי מטה, לא חותכת את ציר xx

Corrigé :

a קובע כיוון, c קובע חיתוך עם ya\ \text{קובע כיוון},\ c\ \text{קובע חיתוך עם}\ y

מסתכלים על הסימן של aa ועל הערך של cc.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

רווח יומי של דוכן (בש״ח) הוא y=−x2+30x−125y = -x^2 + 30x - 125, כאשר xx הוא מחיר מנה בש״ח. באיזה מחיר הרווח מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

x=−30−2=15\begin{aligned}x &= \frac{-30}{-2} \\ &= 15\end{aligned}

במחיר 1515 ש״ח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

באותו דוכן: מהו הרווח המקסימלי, בש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

y=−225+450−125=100\begin{aligned}y &= -225 + 450 - 125 \\ &= 100\end{aligned}

מציבים x=15x = 15

הרווח המקסימלי 100100 ש״ח. השאלה מבקשת yy, ולא את המחיר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe