Limites et asymptotes de ln

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראיתם את הגרף של y=ln⁡xy = \ln x. עכשיו נשאל מה קורה בקצוות של תחום ההגדרה: קרוב מאוד ל-00, ורחוק מאוד ימינה.

ליד x=0x = 0: קיר

כאשר xx מתקרב ל-00 מימין, ln⁡x\ln x יורד בלי גבול. למשל ln⁡0.01≈−4.6\ln 0.01 \approx -4.6, ו-ln⁡0.0001≈−9.2\ln 0.0001 \approx -9.2.

lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty

לכן הישר x=0x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של y=ln⁡xy = \ln x.

אותו דבר קורה ל-ln⁡f(x)\ln f(x) בכל מקום שבו f(x)f(x) מתקרב ל-00 מצד החיוביים. למשל ב-ln⁡(x−2)\ln(x-2): כאשר x→2+x \to 2^+, גם x−2→0+x - 2 \to 0^+. לכן הישר x=2x = 2 הוא אסימפטוטה אנכית.

לפונקציה f(x)=ln⁡(4−x)f(x) = \ln(4 - x) יש אסימפטוטה אנכית. איפה היא, ומאיזה צד הגרף מתקרב אליה?

Voir la réponse et le corrigé

x=4x = 4, משמאל. התחום הוא x<4x < 4. כאשר x→4−x \to 4^-, הביטוי 4−x4 - x שואף ל-0+0^+, ולכן f(x)→−∞f(x) \to -\infty.

רחוק ימינה: עולה, אבל לאט

כאשר x→+∞x \to +\infty, גם ln⁡x→+∞\ln x \to +\infty. לכן ל-ln⁡x\ln x אין אסימפטוטה אופקית.

אבל הוא עולה לאט מאוד: ln⁡1000≈6.9\ln 1000 \approx 6.9. הישר y=xy = x עובר את 10001000 כבר ב-x=1000x = 1000.

123456789−1123456789xyxlnI
24681012xyy = 0MII
בגרף I: הישר y=xy = x והגרף של y=ln⁡xy = \ln x. שניהם עולים, אבל הפער ביניהם רק גדל. בגרף II: המנה ln⁡xx\frac{\ln x}{x}. היא מגיעה לשיא בנקודה MM, כאשר x=ex = e, ואחר כך יורדת ומתקרבת לציר ה-xx.
lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0

xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x: המנה שואפת ל-00.

מה הגבול של ln⁡xx2\frac{\ln x}{x^2} כאשר x→+∞x \to +\infty?

Voir la réponse et le corrigé

00. כותבים ln⁡xx2=ln⁡xx⋅1x\frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x} \cdot \frac{1}{x}. הגורם הראשון שואף ל-00, וגם השני, ולכן גם המכפלה.

ליד 00: מי מנצח?

ב-xln⁡xx\ln x, כאשר x→0+x \to 0^+: הגורם xx שואף ל-00, והגורם ln⁡x\ln x שואף ל-−∞-\infty. מי מנצח?

שוב ה-xx: 0.01⋅ln⁡0.01≈−0.0460.01 \cdot \ln 0.01 \approx -0.046. המכפלה שואפת ל-00.

x→+∞:ln⁡xx→0x \to +\infty : \frac{\ln x}{x} \to 0

ה-xx במכנה גדל מהר יותר.

x→+∞:xln⁡x→+∞x \to +\infty : \frac{x}{\ln x} \to +\infty

אותה מנה, הפוכה.

x→0+:xln⁡x→0x \to 0^+ : x\ln x \to 0

ה-xx מתאפס מהר יותר משה-ln⁡x\ln x יורד.

בפתרון כותבים את הנימוק במשפט אחד: «xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x, ולכן המנה שואפת ל-00». ואם הביטוי מסובך, מחלקים מונה ומכנה ב-xx ומשתמשים בגבול הזה.

הטעות של האסימפטוטה האופקית.

x→+∞:ln⁡x→Lx \to +\infty : \ln x \to L
x→+∞:ln⁡x→+∞x \to +\infty : \ln x \to +\infty

הגרף של ln⁡x\ln x נראה כמעט שטוח ימינה, ויש שחושבים שיש לו אסימפטוטה אופקית. אין: הוא עובר כל גובה. למשל ln⁡x=100\ln x = 100 כאשר x=e100x = e^{100}.

Exercices

Exercice 1

מהו הגבול lim⁡x→0+ln⁡x\lim_{x \to 0^+} \ln x?

  1. 11
  2. −∞-\infty
  3. 00
  4. +∞+\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −∞-\infty

Corrigé :

ln⁡0.01≈−4.6 ; ln⁡0.0001≈−9.2\ln 0.01 \approx -4.6 \ ; \ \ln 0.0001 \approx -9.2

ככל ש-xx קרוב יותר ל-00, הערך יורד יותר

−∞-\infty. מי שעונה 00 מבלבל בין ln⁡1=0\ln 1 = 0 לבין הערך ליד x=0x = 0: שם ln⁡\ln בכלל לא מוגדר, והגרף צונח לאורך הקיר x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x−3)+1f(x) = \ln(x - 3) + 1. מהי משוואת האסימפטוטה האנכית שלה? כתבו את שיעור ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x−3>0⇒x>3x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3

תחום ההגדרה

x→3+:x−3→0+⇒ln⁡(x−3)→−∞x \to 3^+ : x - 3 \to 0^+ \Rightarrow \ln(x-3) \to -\infty

הביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתקרב ל-00

x=3x = 3. ה-+1+1 מזיז את הגרף למעלה, ולא משנה את מקום הקיר: הקיר נמצא איפה שמה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x+6)f(x) = \ln(2x + 6). מהו שיעור ה-xx של האסימפטוטה האנכית שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

2x+6=0⇒x=−3\begin{aligned}2x + 6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

x→−3+:f(x)→−∞x \to -3^+ : f(x) \to -\infty

התחום הוא x>−3x > -3

x=−3x = -3. הטעות הנפוצה היא x=−6x = -6: משווים את כל הביטוי 2x+62x + 6 ל-00, לא רק את המספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5 - x) יש אסימפטוטה אנכית x=5x = 5. מאיזה צד הגרף מתקרב אליה?

  1. משמאל, והגרף עולה אל +∞+\infty
  2. משני הצדדים
  3. משמאל, והגרף יורד אל −∞-\infty
  4. מימין, והגרף יורד אל −∞-\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C משמאל, והגרף יורד אל −∞-\infty

Corrigé :

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

התחום נמצא משמאל לקיר

x→5−:5−x→0+⇒ln⁡(5−x)→−∞x \to 5^- : 5 - x \to 0^+ \Rightarrow \ln(5-x) \to -\infty

משמאל, אל −∞-\infty. מימין ל-x=5x = 5 הפונקציה לא מוגדרת, ולכן אין לגרף צד ימני להתקרב ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

טענה: לפונקציה f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x יש אסימפטוטה אופקית כאשר x→+∞x \to +\infty.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

ln⁡x=100⇔x=e100\begin{aligned}\ln x &= 100 \Leftrightarrow x \\ &= e^{100}\end{aligned}

כל גובה מתקבל

x→+∞:ln⁡x→+∞x \to +\infty : \ln x \to +\infty

הטענה לא נכונה. ln⁡x\ln x עולה לאט, אבל בלי גבול. «עולה לאט» אינו «מתקרב לישר».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הגבול lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}?

  1. הגבול לא קיים
  2. 11
  3. 00
  4. +∞+\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 00

Corrigé :

ln⁡10001000≈0.007\frac{\ln 1000}{1000} \approx 0.007

דוגמה מספרית

ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x} \to 0

xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x

00. שני החלקים שואפים לאינסוף, ולכן יש שעונים 11 או «לא קיים». מה שקובע הוא מי גדל מהר יותר, והמכנה xx מנצח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את הגבול lim⁡x→+∞2ln⁡x+3xx\lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x + 3x}{x}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2ln⁡x+3xx=2⋅ln⁡xx+3\frac{2\ln x + 3x}{x} = 2 \cdot \frac{\ln x}{x} + 3

מחלקים כל מחובר ב-xx

→2⋅0+3=3\to 2 \cdot 0 + 3 = 3

33. מי שמחלק רק את 3x3x ושוכח את 2ln⁡x2\ln x מקבל את אותה תוצאה במקרה, אבל בלי נימוק. כל מחובר במונה מתחלק ב-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את הגבול lim⁡x→0+(xln⁡x+2)\lim_{x \to 0^+} \left(x\ln x + 2\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x→0+:xln⁡x→0x \to 0^+ : x\ln x \to 0

ה-xx מנצח את ln⁡x\ln x

0+2=20 + 2 = 2

22. הפיתוי הוא לכתוב 0⋅(−∞)=00 \cdot (-\infty) = 0 או −∞-\infty בלי נימוק. זה ביטוי שאי אפשר לחשב ישירות, וצריך לדעת מי מנצח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

246810−1xyx = 0

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. איזה ישר הוא אסימפטוטה אופקית שלו?

  1. x=0x = 0
  2. y=0y = 0
  3. y=1y = 1
  4. אין לו אסימפטוטה אופקית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=0y = 0

Corrigé :

x→+∞:ln⁡xx→0x \to +\infty : \frac{\ln x}{x} \to 0
x→0+:ln⁡xx→−∞x \to 0^+ : \frac{\ln x}{x} \to -\infty

זו אסימפטוטה אנכית, לא אופקית

y=0y = 0, מימין. הישר x=0x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית: הוא מאונך לציר ה-xx, ולא מקביל לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לפונקציה f(x)=2x−ln⁡xx+1f(x) = \frac{2x - \ln x}{x + 1} יש אסימפטוטה אופקית כאשר x→+∞x \to +\infty. מהו שיעור ה-yy שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

2x−ln⁡xx+1=2−ln⁡xx1+1x\frac{2x - \ln x}{x + 1} = \frac{2 - \frac{\ln x}{x}}{1 + \frac{1}{x}}

מחלקים מונה ומכנה ב-xx

→2−01+0=2\to \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2

y=2y = 2. בלי החלוקה ב-xx נשאר ∞∞\frac{\infty}{\infty}, שלא אומר כלום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו לכל גבול את ערכו.

  • lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}
  • lim⁡x→0+ln⁡x\lim_{x \to 0^+} \ln x
  • lim⁡x→+∞xln⁡x\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln x}
  • lim⁡x→+∞3x+ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + \ln x}{x}
  • −∞-\infty
  • +∞+\infty
  • 00
  • 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} — 00 · lim⁡x→0+ln⁡x\lim_{x \to 0^+} \ln x — −∞-\infty · lim⁡x→+∞xln⁡x\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln x} — +∞+\infty · lim⁡x→+∞3x+ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + \ln x}{x} — 33

Corrigé :

ln⁡xx→0 ; xln⁡x→+∞\frac{\ln x}{x} \to 0 \ ; \ \frac{x}{\ln x} \to +\infty

מנה ומנה הפוכה

3x+ln⁡xx=3+ln⁡xx→3\frac{3x + \ln x}{x} = 3 + \frac{\ln x}{x} \to 3

מחלקים ב-xx

שני הגבולות הראשונים של המנה הם הפוכים זה לזה: אם ln⁡xx→0+\frac{\ln x}{x} \to 0^+, אז xln⁡x→+∞\frac{x}{\ln x} \to +\infty.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−4>0⇔∣x∣>2x^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow |x| > 2

תחום ההגדרה: שני חלקים

x→2+ , x→−2−:x2−4→0+x \to 2^+ \ , \ x \to -2^- : x^2 - 4 \to 0^+

בשני הקצוות מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

שתיים: x=2x = 2 ו-x=−2x = -2. מי שמחפש רק את x=2x = 2 שוכח שגם (−2)2=4(-2)^2 = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

טענה: lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ln⁡x=2ln⁡x\ln x = 2\ln\sqrt{x}

חוק הלוגריתם

ln⁡xx=2⋅ln⁡tt  t=x→+∞\begin{aligned}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} &= 2 \cdot \frac{\ln t}{t} \ \\ \ t &= \sqrt{x} \to +\infty\end{aligned}

מציבים t=xt = \sqrt{x}

2⋅0=02 \cdot 0 = 0

הטענה נכונה. גם x\sqrt{x}, שגדל לאט, גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x. הטעות היא לחשוב שרק xx «חזק מספיק».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

xyx = −1I
xyx = 1II
xyx = 1III
xyx = 1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף III

Corrigé :

x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

הגרף נמצא מימין לקיר x=1x = 1: I ו-II נפסלים

f(2)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(2) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-(2,0)(2, 0) ועולה: IV, שיורד, נפסל

גרף III. בגרף II הקיר במקום הנכון, אבל הגרף בצד הלא נכון שלו: זה ln⁡(1−x)\ln(1 - x).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

טענה: lim⁡x→+∞(ln⁡x−x)=−∞\lim_{x \to +\infty} \left(\ln x - x\right) = -\infty.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ln⁡x−x=x(ln⁡xx−1)\ln x - x = x\left(\frac{\ln x}{x} - 1\right)

מוציאים xx כגורם משותף

ln⁡xx−1→−1 ; x⋅(−1)→−∞\frac{\ln x}{x} - 1 \to -1 \ ; \ x \cdot (-1) \to -\infty

הטענה נכונה. ∞−∞\infty - \infty אינו 00: כאן xx גדל מהר יותר, ולכן ההפרש שלילי וגדל בערכו המוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe