Un logarithme face à un nombre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

השיטה בארבעה צעדים

כל מספר cc אפשר לכתוב כלוגריתם: c=log⁡a(ac)c = \log_a(a^c). כך אי-השוויון הופך להשוואה בין שני לוגריתמים באותו בסיס.

11

תחום: f(x)>0f(x) > 0

22

כותבים את cc כ-log⁡a(ac)\log_a(a^c)

33

משווים את מה שבתוך הלוגריתמים: אם a>1a > 1 הסימן נשאר, אם 0<a<10 < a < 1 הסימן מתהפך

44

חותכים עם התחום

למה ב-log⁡3x>2\log_3 x > 2 אין צורך לחתוך עם התחום בסוף?

Voir la réponse et le corrigé

הפתרון הוא x>9x > 9. כל xx כזה כבר חיובי, ולכן התחום x>0x > 0 מתקיים מעצמו. כשמה שבתוך הלוגריתם גדול ממספר חיובי, התחום נבלע בפתרון.

בסיס קטן מ-1: הסימן מתהפך

שוכחים להפוך את הסימן כשהבסיס קטן מ-1.

log⁡12(x+3)≥log⁡124⇒x+3≥4\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 4 \Rightarrow x + 3 \geq 4
log⁡12(x+3)≥log⁡124⇒x+3≤4\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 4 \Rightarrow x + 3 \leq 4

פונקציה יורדת מחליפה את הסדר. בדיקה: x=5x = 5 נותן log⁡128=−3\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3, וזה לא גדול מ-−2-2.

עם ln

הבסיס של ln⁡\ln הוא e>1e > 1, ולכן הסימן נשאר. ואת 00 כותבים כ-ln⁡1\ln 1.

מתי ln⁡\ln חיובי

נפתור את ln⁡(2x−1)>0\ln(2x - 1) > 0.

2x−1>0⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{1}{2}

Domaine de définition

ln⁡(2x−1)>ln⁡1⇒2x−1>1\ln(2x - 1) > \ln 1 \Rightarrow 2x - 1 > 1

0=ln⁡10 = \ln 1

x>1x > 1

נמצא כולו בתוך התחום

בדיקה מהירה: מציבים מספר אחד מתוך הפתרון ומספר אחד מחוץ לו. אם התשובה נכונה, הראשון מקיים את אי-השוויון והשני לא.

Exercices

Exercice 1

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים log⁡2x<5\log_2 x < 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31

Corrigé :

x>0x > 0

Domaine de définition

log⁡2x<log⁡232⇒x<32\log_2 x < \log_2 32 \Rightarrow x < 32

בסיס גדול מ-11

0<x<320 < x < 32

3232 עצמו לא מקיים: log⁡232=5\log_2 32 = 5, ו-5<55 < 5 אינו נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡3(x−2)≤2\log_3(x - 2) \leq 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

Domaine de définition

x−2≤9⇒x≤11x - 2 \leq 9 \Rightarrow x \leq 11

2=log⁡392 = \log_3 9

2<x≤112 < x \leq 11
x∈{3,4,…,11}x \in \{3, 4, \ldots, 11\}

תשעה מספרים

בלי התחום הייתם סופרים אינסוף שלמים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הפתרון של log⁡12x>3\log_{\frac{1}{2}} x > 3?

  1. x>18x > \frac{1}{8}
  2. x>8x > 8
  3. 0<x<180 < x < \frac{1}{8}
  4. x<18x < \frac{1}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 0<x<180 < x < \frac{1}{8}

Corrigé :

x>0x > 0

Domaine de définition

3=log⁡12183 = \log_{\frac{1}{2}} \tfrac{1}{8}

כי (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

x<18x < \tfrac{1}{8}

La base (בסיס) est inférieure à 11 : le signe s'inverse

0<x<180 < x < \tfrac{1}{8}

x<18x < \frac{1}{8} לבד שגוי: הוא כולל מספרים שליליים, שם הלוגריתם אינו מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הפתרון של log⁡5(2x+1)≥1\log_5(2x + 1) \geq 1?

  1. −12<x≤2-\frac{1}{2} < x \leq 2
  2. x≤2x \leq 2
  3. x≥2x \geq 2
  4. x≥3x \geq 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x≥2x \geq 2

Corrigé :

2x+1>0⇒x>−122x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\tfrac{1}{2}

Domaine de définition

2x+1≥52x + 1 \geq 5

1=log⁡551 = \log_5 5, בסיס גדול מ-11

x≥2x \geq 2

כבר בתוך התחום

כאן התחום נבלע בפתרון, ואין מה לחתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הפתרון של ln⁡x<1\ln x < 1 הוא x<ex < e.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x>0x > 0

Domaine de définition

x<ex < e
0<x<e0 < x < e

חסר התחום. x=−1x = -1 מקיים x<ex < e, אבל ln⁡(−1)\ln(-1) אינו מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים ln⁡(x+4)≤0\ln(x + 4) \leq 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

x+4>0⇒x>−4x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4

Domaine de définition

x+4≤1⇒x≤−3x + 4 \leq 1 \Rightarrow x \leq -3

0=ln⁡10 = \ln 1

−4<x≤−3-4 < x \leq -3

הפתרון קטע קצר. השלם היחיד בו הוא −3-3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

השלימו את הפתרון של log⁡0.1x≥−1\log_{0.1} x \geq -1.

0<x≤0 < x \leq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0<x≤0 < x \leq 10

Corrigé :

−1=log⁡0.110-1 = \log_{0.1} 10

כי 0.1−1=100.1^{-1} = 10

x≤10x \leq 10

La base (בסיס) est inférieure à 11 : le signe s'inverse

0<x≤100 < x \leq 10

עם התחום

מי ששכח להפוך את הסימן כתב x≥10x \geq 10.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שורה אחת שגויה בפתרון של log⁡13(x−1)>−2\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) > -2. מצאו אותה.

x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1
−2=log⁡139-2 = \log_{\frac{1}{3}} 9
x−1>9x - 1 > 9
x>10x > 10
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x−1>9x - 1 > 9 → x−1<9x - 1 < 9

Corrigé :

x−1<9⇒x<10x - 1 < 9 \Rightarrow x < 10

בסיס 13\frac{1}{3}: הסימן מתהפך

1<x<101 < x < 10

עם התחום

השורה x−1>9x - 1 > 9 שכחה שהבסיס קטן מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡4(3x−2)<2\log_4(3x - 2) < 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

3x−2>0⇒x>233x - 2 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{2}{3}

Domaine de définition

3x−2<16⇒x<63x - 2 < 16 \Rightarrow x < 6

2=log⁡4162 = \log_4 16

23<x<6\tfrac{2}{3} < x < 6
x∈{1,2,3,4,5}x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}

x=0x = 0 לא נכלל: 3⋅0−2=−23 \cdot 0 - 2 = -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו הפתרון של log⁡2(x2−1)<3\log_2(x^2 - 1) < 3?

  1. −3<x<−1-3 < x < -1 או 1<x<31 < x < 3
  2. 1<x<31 < x < 3
  3. x<−1x < -1 או x>1x > 1
  4. −3<x<3-3 < x < 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −3<x<−1-3 < x < -1 או 1<x<31 < x < 3

Corrigé :

x2−1>0⇒x<−1 או x>1x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 1

Domaine de définition

x2−1<8⇒−3<x<3x^2 - 1 < 8 \Rightarrow -3 < x < 3

3=log⁡283 = \log_2 8

−3<x<−1 או 1<x<3-3 < x < -1 \ \text{או} \ 1 < x < 3

חיתוך

−3<x<3-3 < x < 3 כולל את x=0x = 0, שבו x2−1=−1x^2 - 1 = -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

אילו ערכים מקיימים log⁡12x>−1\log_{\frac{1}{2}} x > -1?

  • מקיים
  • לא מקיים
  • x=−1x = -1
  • x=0.5x = 0.5
  • x=1.9x = 1.9
  • x=1x = 1
  • x=2x = 2
  • x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=0.5x = 0.5 — מקיים · x=1x = 1 — מקיים · x=1.9x = 1.9 — מקיים · x=2x = 2 — לא מקיים · x=3x = 3 — לא מקיים · x=−1x = -1 — לא מקיים

Corrigé :

−1=log⁡122-1 = \log_{\frac{1}{2}} 2
0<x<20 < x < 2

La base (בסיס) est inférieure à 11 : le signe s'inverse

x=2x = 2 נותן שוויון, לא אי-שוויון חזק. ו-x=−1x = -1 מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מהו הערך הגדול ביותר של xx שמקיים log⁡12(x−3)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq -3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

x>3x > 3

Domaine de définition

−3=log⁡128-3 = \log_{\frac{1}{2}} 8
x−3≤8⇒x≤11x - 3 \leq 8 \Rightarrow x \leq 11

הסימן מתהפך

3<x≤113 < x \leq 11

x=11x = 11 נותן log⁡128=−3\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3, והסימן ≥\geq מכיל את השוויון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡4x<2\log_4 x < 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

x>0x > 0

Domaine de définition

2=log⁡416⇒x<162 = \log_4 16 \Rightarrow x < 16

הבסיס 44 גדול מ-11

0<x<160 < x < 16
x∈{1,2,…,15}x \in \{1, 2, \ldots, 15\}

00 ו-1616 לא נכללים: log⁡40\log_4 0 לא מוגדר, ו-log⁡416=2\log_4 16 = 2 אינו קטן מ-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

מהו הפתרון של log⁡14x<−1\log_{\frac{1}{4}} x < -1?

  1. x<4x < 4
  2. 0<x<40 < x < 4
  3. x>14x > \frac{1}{4}
  4. x>4x > 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x>4x > 4

Corrigé :

−1=log⁡144-1 = \log_{\frac14} 4

כי (14)−1=4\left(\frac14\right)^{-1} = 4

x>4x > 4

הבסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

x>4x > 4 כבר בתוך התחום x>0x > 0. מי ששכח להפוך את הסימן בחר 0<x<40 < x < 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

השלימו את הפתרון של log⁡0.2(2x−3)>−1\log_{0.2}(2x - 3) > -1.

____ <x<< x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5 <x<< x < 4

Corrigé :

2x−3>0⇒x>1.52x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5

Domaine de définition

−1=log⁡0.25-1 = \log_{0.2} 5

כי 0.2−1=50.2^{-1} = 5

2x−3<5⇒x<42x - 3 < 5 \Rightarrow x < 4

La base (בסיס) est inférieure à 11 : le signe s'inverse

1.5<x<41.5 < x < 4

הגבול השמאלי בא מהתחום, והימני מההשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מהו הפתרון של log⁡2(x−3)<0\log_2(x - 3) < 0?

  1. 3<x<53 < x < 5
  2. x>4x > 4
  3. x<4x < 4
  4. 3<x<43 < x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 3<x<43 < x < 4

Corrigé :

x>3x > 3

Domaine de définition

0=log⁡21⇒x−3<10 = \log_2 1 \Rightarrow x - 3 < 1
x<4x < 4
3<x<43 < x < 4

את 00 כותבים כ-log⁡21\log_2 1. בלי התחום, x=0x = 0 היה נראה כפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

הפתרון של log⁡12(5−x)<0\log_{\frac{1}{2}}(5 - x) < 0 הוא x<4x < 4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

Domaine de définition

5−x>15 - x > 1

0=log⁡1210 = \log_{\frac12} 1, והסימן מתהפך

x<4x < 4

כבר בתוך x<5x < 5

כאן התחום נבלע בפתרון. כדאי לבדוק: x=4.5x = 4.5 נותן log⁡120.5=1>0\log_{\frac12} 0.5 = 1 > 0, ולכן הוא לא בפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe