Équations et systèmes — jusqu'au 2e degré

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפתור x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 פירושו לשאול: איפה הפרבולה y=x2−5x+6y = x^2 - 5x + 6 חותכת את ציר ה-xx? הסתכלו על הגרף: שתי נקודות, x=2x = 2 ו-x=3x = 3. כל משוואה בפרק הזה היא שאלה על גרף.

הפרבולה y = x² − 5x + 6
שני שורשים, שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xx. הפירוק (x−2)(x−3)(x - 2)(x - 3) אומר בדיוק את זה.

משוואה ממעלה ראשונה — תזכורת

משוואה עם מכנים מספריים

פתרו: x2+x3=5\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5.

3x+2x=303x + 2x = 30

כופלים את שני האגפים ב-66, המכנה המשותף

5x=30 ⇒ x=6\begin{aligned}5x &= 30 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מכנסים ומחלקים

62+63=3+2=5\begin{aligned}\frac{6}{2} + \frac{6}{3} &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה ✓

משוואה ריבועית — שלוש דרכים

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

נוסחת השורשים של ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

x2−5x+6=0 ⇒ (x−2)(x−3)=0\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-2)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

פירוק לגורמים — כשהוא קיים, הוא המהיר ביותר

x2=16 ⇒ x=4 או x=−4\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

שורש משני האגפים — כשאין איבר עם xx

2x2−7x+3=0 ⇒ נוסחה2x^2 - 7x + 3 = 0 \ \Rightarrow \ \text{נוסחה}

נוסחת השורשים — תמיד עובדת

בנוסחת השורשים

פתרו: 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0.

a=2 b=−7 c=3\begin{aligned}a &= 2 \\ \ b &= -7 \\ \ c &= 3\end{aligned}

מזהים את המקדמים, עם הסימנים

b2−4ac=49−24=25\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 49 - 24 \\ &= 25\end{aligned}

הדיסקרימיננטה

x=7±54 ⇒ x=3 או x=12\begin{aligned}x &= \frac{7 \pm 5}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני פתרונות

2⋅9−21+3=02 \cdot 9 - 21 + 3 = 0

בדיקה ל-x=3x = 3 ✓

פתרו: x2=5xx^2 = 5x

Voir la réponse et le corrigé

מעבירים אגף: x2−5x=0x^2 - 5x = 0, גורם משותף: x(x−5)=0x(x - 5) = 0, ולכן x=0x = 0 או x=5x = 5. מי שחילק ב-xx ומצא רק x=5x = 5 איבד פתרון: אסור לחלק במשהו שיכול להיות אפס.

כמה פתרונות? הדיסקרימיננטה והגרף

b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0

שני פתרונות — הפרבולה חותכת את ציר ה-xx פעמיים

b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0

פתרון אחד — הפרבולה משיקה לציר ה-xx

b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0

אין פתרון — הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו

מערכת של שתי משוואות — ישר ופרבולה

מערכת של משוואה לינארית ומשוואה ריבועית פותרים בהצבה: מציבים את yy מהישר בפרבולה, ומקבלים משוואה ריבועית ב-xx בלבד. כל xx שמצאנו מציבים חזרה בישר כדי למצוא את yy.

פרבולה וישר: שתי נקודות משותפות
הפרבולה y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 והישר y=x+1y = x + 1 נפגשים בשתי נקודות. כל נקודת מפגש היא פתרון של המערכת: זוג (x,y)(x, y) שמקיים את שתי המשוואות.

מערכת בהצבה

פתרו את המערכת: y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 ו-y=x+1y = x + 1.

x2−2x−3=x+1x^2 - 2x - 3 = x + 1

משווים: אותו yy בשתי המשוואות

x2−3x−4=0 ⇒ (x−4)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

x=4 ⇒ y=5x=−1 ⇒ y=0\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5 \\ \qquad x &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בישר y=x+1y = x + 1

(4, 5), (−1, 0)(4,\,5) ,\ (-1,\,0)

שני פתרונות, שתי נקודות מפגש

כמה פתרונות יש למערכת y=x2y = x^2 ו-y=−1y = -1?

Voir la réponse et le corrigé

אף לא אחד. x2=−1x^2 = -1 אין לה פתרון, ובגרף: הפרבולה y=x2y = x^2 כולה מעל ציר ה-xx, והישר y=−1y = -1 מתחתיו. הם לא נפגשים.

בכל משוואה שפתרתם: הציבו חזרה. במערכת, הציבו בשתי המשוואות. הבדיקה לוקחת עשר שניות ותופסת כמעט כל טעות סימן.

שלוש הטעויות של הפרק.

x2=16 ⇒ x=4\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}
x=4 או x=−4\begin{aligned}x &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

לריבוע שני שורשים. גם (−4)2=16(-4)^2 = 16.

x2=5x ⇒ x=5\begin{aligned}x^2 &= 5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}
x(x−5)=0 ⇒ x=0 או x=5\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 5\end{aligned}

חילוק ב-xx מאבד את הפתרון x=0x = 0.

x2−5x+6=0 ⇒ x=5x−6\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{5x - 6}\end{aligned}
(x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0

שורש משני האגפים עובד רק כשאין איבר עם xx. כאן מפרקים או משתמשים בנוסחה.

Exercices

Exercice 1

פתרו: 4(x−3)=2x+64(x - 3) = 2x + 6

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

4x−12=2x+64x - 12 = 2x + 6

פותחים סוגריים

2x=18 ⇒ x=9\begin{aligned}2x &= 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מכנסים ומחלקים

4⋅6=24=18+6\begin{aligned}4 \cdot 6 &= 24 \\ &= 18 + 6\end{aligned}

בדיקה ✓

מי שכתב 4x−34x - 3 פתח את הסוגריים חלקית: ה-44 כופל את שני האיברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו: x3+x4=7\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

4x+3x=844x + 3x = 84

כופלים ב-1212, המכנה המשותף

7x=84 ⇒ x=12\begin{aligned}7x &= 84 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מכנסים

123+124=4+3=7\begin{aligned}\frac{12}{3} + \frac{12}{4} &= 4 + 3 \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה ✓

כופלים גם את אגף ימין ב-1212. מי ששכח קיבל 7x=77x = 7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את הפתרון החיובי של x2=49x^2 = 49:

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

x=±7x = \pm 7

ולריבוע שני שורשים

התשובה המלאה היא 7 או 7- — כאן ביקשו את החיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו: x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10 = 0

  1. x=5x = 5 או x=−2x = -2
  2. x=−5x = -5 או x=2x = 2
  3. x=10x = 10 או x=−1x = -1
  4. x=5x = 5 בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=5x = 5 או x=−2x = -2

Corrigé :

5⋅(−2)=−105+(−2)=3\begin{aligned}5 \cdot (-2) &= -10 \\ \quad 5 + (-2) &= 3\end{aligned}

מכפלה −10-10, סכום 33

(x−5)(x+2)=0(x - 5)(x + 2) = 0

Décomposition

x=5 או x=−2\begin{aligned}x &= 5 \ \text{או} \ x \\ &= -2\end{aligned}

כל גורם מתאפס

הנכונה: x=5x = 5 או x=−2x = -2. «x=−5x = -5 או x=2x = 2» היא טעות סימן: הסכום שם −3-3. ו«x=5x = 5 בלבד» שכחה את הגורם השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הפתרון הגדול של המשוואה 2x2−8x+6=02x^2 - 8x + 6 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0

מחלקים ב-22: הפתרונות לא משתנים

(x−1)(x−3)=0(x - 1)(x - 3) = 0

Décomposition

x=1 או x=3\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הגדול הוא 33

חלוקה במקדם המוביל מותרת כשהוא מספר: הוא לא יכול להיות אפס. בדיקה: 2⋅9−24+6=02 \cdot 9 - 24 + 6 = 0 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה פתרונות יש למשוואה x2+4x+7=0x^2 + 4x + 7 = 0?

  1. אחד
  2. אף לא אחד
  3. שניים
  4. אינסוף
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אף לא אחד

Corrigé :

b2−4ac=16−28=−12\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 - 28 \\ &= -12\end{aligned}

הדיסקרימיננטה שלילית

−12\sqrt{-12}

אינו מוגדר: אין פתרון

הנכונה: אף לא אחד. בגרף: הפרבולה כולה מעל ציר ה-xx. הערך הקטן ביותר שלה, ב-x=−2x = -2, הוא 4−8+7=3>04 - 8 + 7 = 3 > 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

עבור איזה ערך של kk למשוואה x2−6x+k=0x^2 - 6x + k = 0 יש פתרון אחד בדיוק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

b2−4ac=36−4kb^2 - 4ac = 36 - 4k

הדיסקרימיננטה

36−4k=0 ⇒ k=9\begin{aligned}36 - 4k &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 9\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

בדיקה: ריבוע מושלם, שורש כפול x=3x = 3 ✓

פתרון אחד פירושו שהפרבולה משיקה לציר ה-xx. מי שפתר 36−4k>036 - 4k > 0 ענה על שאלה אחרת: מתי יש שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו את המערכת: y=x2−4x+1y = x^2 - 4x + 1 ו-y=x−3y = x - 3. רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה-xx הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( 1 , -2 ) ו-( 4 , 1 )

Corrigé :

x2−4x+1=x−3x^2 - 4x + 1 = x - 3

משווים

x2−5x+4=0 ⇒ (x−1)(x−4)=0\begin{aligned}x^2 - 5x + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)(x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

x=1 ⇒ y=−2x=4 ⇒ y=1\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2 \\ \qquad x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר

את yy מציבים בישר, שם החישוב קצר. בדיקה בפרבולה: 1−4+1=−21 - 4 + 1 = -2 ✓ ו-16−16+1=116 - 16 + 1 = 1 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה המערכת y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=2xy = 2x. מה נכון?

  1. אינסוף פתרונות
  2. פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה
  3. אין פתרון — הישר לא נוגע בפרבולה
  4. שני פתרונות — הישר חותך את הפרבולה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה

Corrigé :

x2+1=2x ⇒ x2−2x+1=0\begin{aligned}x^2 + 1 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 - 2x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

(x−1)2=0 ⇒ x=1 y=2\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

שורש כפול: פתרון יחיד

הנכונה: פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה בנקודה (1, 2)(1,\,2). דיסקרימיננטה אפס במשוואה של ההצבה פירושה נקודת מפגש אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו או הפריכו: למערכת y=x2y = x^2 ו-y=x−2y = x - 2 אין פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2=x−2 ⇒ x2−x+2=0\begin{aligned}x^2 &= x - 2 \ \Rightarrow \ x^2 - x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

b2−4ac=1−8=−7<0\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 1 - 8 \\ &= -7 < 0\end{aligned}

אין פתרון למשוואה

הטענה נכונה. בגרף: הפרבולה y=x2y = x^2 לא יורדת מתחת ל-00, והישר y=x−2y = x - 2 עובר מתחת לה בכל מקום. הם לא נפגשים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe