On résout ensemble · La dérivée d'un polynôme · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, משיק עם כלל המכפלה, פרמטרים, קריאת הגרף של $f'$ , וערכי קיצון בקטע סגור. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה מלאה

Activité interactive

נתונה $f(x) = x^3 - 3x + 2$ . א. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. שרטטו סקיצה.

f(x) = x^3 - 3x + 2

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: צירים, נגזרת, טבלה, גבהים.

א. ציר y

f(0) = 2 \ \Rightarrow \ (0,\,2)

מציבים אפס.

א. ציר x

\begin{aligned}x^3 - 3x + 2 &= (x-1)^2(x+2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -2\end{aligned}

בדיקה: $(x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$ ✓. הנקודות $(1,\,0)$ ו- $(-2,\,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x-1)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(-2) &= 9 > 0 \qquad f'(0) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(2) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס.

ב. גבהים

\begin{aligned}f(-1) &= -1 + 3 + 2 \\ &= 4 \qquad f(1) \\ &= 1 - 3 + 2 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ .

ב. מסקנה

\max (-1,\,4) \qquad \min (1,\,0)

מפלוס למינוס ב- $-1$ , ממינוס לפלוס ב- $1$ .

ג.

\text{עולה}: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 1 \qquad \text{יורדת}: \ -1 < x < 1

קוראים מהטבלה.

ד.

(-2,\,0) \nearrow (-1,\,4) \searrow (1,\,0) \nearrow

הסקיצה עוברת בארבע הנקודות שמצאנו, והמינימום נוגע בציר ה- $x$ .

המינימום $(1,\,0)$ הוא גם נקודת חיתוך עם ציר ה- $x$ : הגרף נוגע בציר שם ולא חוצה אותו. זה מה שמספר הגורם $(x-1)^2$ .

Faire l'activité sur elev

האם $(-1,\,4)$ היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף?

Voir la réponse et le corrigé

לא. מימין ל- $1$ הגרף עולה בלי גבול: $f(3) = 27 - 9 + 2 = 20$ . זה מקסימום מקומי. לפולינום ממעלה שלישית אין מקסימום מוחלט.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיק, עם כלל המכפלה

Activité interactive

משוואת המשיק ל- $f(x) = (x^2 - 2)(x + 1)$ בנקודה שבה $x = 1$

נתונה $f(x) = (x^2 - 2)(x + 1)$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 1$ .

$y = 3x - 5$

$y = 3x + 1$

$y = -2x + 3$

$y = 3x - 2$

מה הצעד הראשון?

מוצאים את נקודת ההשקה: $f(1)$

Voir la réponse et le corrigé

לישר צריך נקודה ושיפוע. הנקודה באה מ- $f$ .

מוצאים את $f'(1)$ ומציבים אותו במקום $y_0$

Voir la réponse et le corrigé

$f'(1)$ הוא השיפוע, לא הגובה.

\begin{aligned}f(1) &= (1 - 2)(1 + 1) \\ &= -2 \ \Rightarrow \ (1,\,-2)\end{aligned}

נקודת ההשקה

איך גוזרים את המכפלה?

$f' = 2x(x+1) + (x^2-2) \cdot 1$

Voir la réponse et le corrigé

כלל המכפלה: נגזרת הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני.

$f' = 2x \cdot 1$

Voir la réponse et le corrigé

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה.

\begin{aligned}f'(1) &= 2 \cdot 2 + (-1) \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע: מציבים ישר, בלי לפשט

ומה עכשיו?

$y - (-2) = 3(x - 1)$

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע ונקודה בנוסחת הישר.

Voir la réponse et le corrigé

כתבו את הגובה במקום המספר החופשי. הישר הזה לא עובר ב- $(1,\,-2)$ : $3 - 2 = 1$ .

\begin{aligned}y + 2 &= 3x - 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 5\end{aligned}

משוואת המשיק

Voir la réponse et le corrigé

$y = 3x - 5$ . בדיקה: ב- $x = 1$ הישר נותן $-2$ , בדיוק הגובה של הגרף. « $y = 3x - 2$ » שם את $y_0$ במקום שבו צריך להיות המספר החופשי.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים

Activité interactive

נתונה $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 0$ הוא $9$ , ולפונקציה נקודת קיצון ב- $x = 1$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + ax^2 + bx + 4 \\ \quad f'(0) &= 9 \\ \quad f'(1) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שני תנאים, ושניהם על הנגזרת.

נגזרת

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים עם הפרמטרים.

תנאי 1

\begin{aligned}f'(0) &= b \\ &= 9\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x = 0$ .

תנאי 2

\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a + 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון ב- $x = 1$ : הנגזרת מתאפסת.

א.

\begin{aligned}a &= -6 \\ \quad b &= 9 \ \Rightarrow \ f(x) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x + 4\end{aligned}

הפונקציה עכשיו ידועה.

ב. חשודות

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

הנקודה $x = 1$ חוזרת, כמו שצריך, ומצטרפת אליה $x = 3$ .

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(0) &= 9 > 0 \qquad f'(2) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(4) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס.

ב.

\max (1,\,8) \qquad \min (3,\,4)

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 4 = 8$ , $f(3) = 27 - 54 + 27 + 4 = 4$ .

אחרי שמוצאים את הפרמטרים, בודקים שהתנאים מתקיימים: $f'(0) = 9$ ✓ ו- $f'(1) = 0$ ✓. רק אז ממשיכים לחקירה.

Faire l'activité sur elev

למה התנאי «שיפוע המשיק ב- $x=0$ הוא $9$ » לא הלך לפונקציה $f$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי שיפוע הוא ערך של הנגזרת. $f(0) = 4$ הוא הגובה של הגרף ב- $x = 0$ , ואף אחד לא שאל עליו. שני התנאים בשאלה הזאת הם על $f'$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — נתון הגרף של $f'$

הגרף של הנגזרת f′

זהו הגרף של

f'

, לא של

f

. הוא חותך את הציר ב-

x = -2

וב-

x = 1

Activité interactive

מהגרף של $f'$ אל נקודות הקיצון של $f$

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ . מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ , ואת שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון שלה וסוגן.

מקסימום ב- $x = -2$ ומינימום ב- $x = 1$

מינימום ב- $x = -2$ ומקסימום ב- $x = 1$

מינימום ב- $x = -0.5$

ל- $f$ אין נקודות קיצון

איפה $f$ עולה?

איפה שהגרף של $f'$ מעל הציר: $x < -2$ או $x > 1$

Voir la réponse et le corrigé

$f' > 0$ פירושו $f$ עולה.

איפה שהגרף של $f'$ עולה: $x > -0.5$

Voir la réponse et le corrigé

הכיוון של $f'$ לא אומר כלום על $f$ . הסימן שלה אומר.

f' > 0: \ x < -2 \ \text{או} \ x > 1

$f$ עולה

ואיפה $f$ יורדת?

$-2 < x < 1$ , שם $f'$ מתחת לציר

Voir la réponse et le corrigé

$f' < 0$ פירושו $f$ יורדת.

$x < -0.5$ , שם $f'$ יורדת

Voir la réponse et le corrigé

שוב הכיוון במקום הסימן.

f' < 0: \ -2 < x < 1

$f$ יורדת

מה קורה ל- $f$ ב- $x = -2$ ?

מקסימום: $f'$ עוברת מפלוס למינוס

Voir la réponse et le corrigé

$f$ עולה ואז יורדת.

מינימום: הגרף של $f'$ יורד שם

Voir la réponse et le corrigé

הגרף של $f'$ יורד, אבל $f$ עצמה עולה ואז יורדת.

x = -2: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

ואז ב- $x = 1$ : $- \to +$ , מינימום

Voir la réponse et le corrigé

מקסימום ב- $x = -2$ ומינימום ב- $x = 1$ . «מינימום ב- $x = -0.5$ » קרא את הגרף של $f'$ כאילו הוא הגרף של $f$ : שם $f'$ בשיא השליליות שלה, כלומר $f$ הכי תלולה בירידה, לא בקיצון.

Faire l'activité sur elev

האם אפשר לדעת מהגרף של $f'$ מהו הגובה $f(-2)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הגרף של $f'$ אומר רק איפה $f$ עולה, יורדת, ומתהפכת. שתי פונקציות שנבדלות במספר חופשי, כמו $f$ ו- $f + 5$ , נותנות אותו גרף של $f'$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

Activité interactive

נתונה $f(x) = -x^3 + 12x$ בקטע $-1 \le x \le 3$ . מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 12x \\ \quad -1 \le x \le 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בקטע סגור משווים את הנקודות החשודות שבתוך הקטע ואת שני הקצוות.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

בתחום?

-1 \le 2 \le 3 \ \checkmark \qquad -2 < -1

$x = 2$ בתוך הקטע. $x = -2$ מחוץ לקטע, ולכן נפסלת. נשארת רק $x = 2$ .

ערכים

\begin{aligned}f(2) &= -8 + 24 \\ &= 16 \qquad f(-1) \\ &= 1 - 12 \\ &= -11 \qquad f(3) \\ &= -27 + 36 \\ &= 9\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות.

מסקנה

\begin{aligned}\max &= 16 \ (x = 2) \qquad \min \\ &= -11 \ (x = -1)\end{aligned}

הגדול ביותר בנקודה פנימית, הקטן ביותר בקצה.

מי ששכח את הקצוות היה עונה «מינימום $16$ » או מחפש מינימום ב- $x = -2$ , שאינו בקטע בכלל. הערך $-11$ נמצא רק בהצבת הקצה.

Faire l'activité sur elev

ואם הקטע היה $-3 \le x \le 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

אז $x = -2$ בתוך הקטע, ו- $f(-2) = 8 - 24 = -16$ . הקצוות: $f(-3) = 27 - 36 = -9$ ו- $f(3) = 9$ . המקסימום נשאר $16$ , אבל המינימום הופך ל- $-16$ בנקודה פנימית. הקטע משנה את התשובה.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . מצאו את נקודות הקיצון שלה ואת סוגן.

מקסימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: $($ 0 $,$ 4 $)$ ; מינימום: $($ 2 $,$ 0 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}f'(-1) &= 9 > 0 \qquad f'(1) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(3) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

\begin{aligned}f(0) &= 4 \qquad f(2) \\ &= 8 - 12 + 4 \\ &= 0\end{aligned}

הגבהים מ- $f$

מקסימום $(0,\,4)$ , מינימום $(2,\,0)$ . המינימום יושב על ציר ה- $x$ : $f(x) = (x+1)(x-2)^2$ , והגרף נוגע בציר ב- $x = 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 2$ ?

$y = x - 5$
$y = x + 3$
$y = x - 7$
$y = -5x + 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $y = x - 7$

Corrigé :

\begin{aligned}f(2) &= 5 \cdot (-1) \\ &= -5\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,\,-5)$

\begin{aligned}f'(x) &= 2x(x-3) + (x^2+1) \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 4 \cdot (-1) + 5 \\ &= 1\end{aligned}

כלל המכפלה, ומציבים

\begin{aligned}y + 5 &= 1 \cdot (x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= x - 7\end{aligned}

שיפוע ונקודה

הנכונה: $y = x - 7$ . בדיקה: ב- $x = 2$ הישר נותן $-5$ ✓. « $y = x - 5$ » כתב את הגובה במקום המספר החופשי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 1$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 0$ הוא $-9$ , ולפונקציה נקודת קיצון ב- $x = 3$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ -3 , $b=$ -9

Corrigé :

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

\begin{aligned}f'(0) &= b \\ &= -9\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x = 0$

\begin{aligned}f'(3) &= 27 + 6a - 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

קיצון ב- $x = 3$

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x-3)(x+1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שני התנאים על $f'$ . המספר $-1$ בפונקציה לא משתתף בכלל: הנגזרת מוחקת אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f′

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ : ישר שחותך את הציר ב- $x = 1$ . מה נכון לגבי $f$ ?

$f$ עולה כאשר $x > 1$
ל- $f$ מקסימום ב- $x = 1$
ל- $f$ מינימום ב- $x = 1$
ל- $f$ מקסימום ב- $x = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ל- $f$ מקסימום ב- $x = 1$

Corrigé :

x < 1: \ f' > 0 \qquad x > 1: \ f' < 0

מעל הציר, ואז מתחת

+ \to - \ \Rightarrow \ \max

ב- $x = 1$

הנכונה: מקסימום ב- $x = 1$ . הישר יורד, אבל הוא $f'$ : מה שקובע הוא שהוא עובר מחיובי לשלילי. ב- $x = 0$ הערך $f'(0) = 2$ הוא הגובה של $f'$ , לא קיצון של $f$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x) = x^3 - 3x$ בקטע $0 \le x \le 3$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות; $x = -1$ מחוץ לקטע

\begin{aligned}f(1) &= -2 \qquad f(0) \\ &= 0 \qquad f(3) \\ &= 27 - 9 \\ &= 18\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

\max = 18 \ (x = 3)

בקצה

הנגזרת מוצאת רק את $x = 1$ , ושם מינימום $-2$ . הערך הגדול ביותר נמצא בקצה $x = 3$ , ומי שלא הציב את הקצוות היה עונה $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה מלאה

2 — משיק, עם כלל המכפלה

3 — פרמטרים

4 — נתון הגרף של f′f'f′

5 — ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

Exercices

La suite se pratique sur elev

4 — נתון הגרף של $f'$