Le graphe de f et celui de f′, et les paramètres

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לנגזרת יש גרף משלה. כש-ff עולה, f′f' חיובית, והגרף שלה נמצא מעל ציר ה-xx. כש-ff יורדת, f′f' שלילית, והגרף שלה מתחת לציר. בנקודת קיצון של ff המשיק אופקי, ולכן הגרף של f′f' חוצה את הציר בדיוק שם.

f′(x)>0f'(x) > 0

הגרף של f′f' מעל הציר: ff עולה.

f′(x)<0f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר: ff יורדת.

f′(x)=0f'(x) = 0

הגרף של f′f' חוצה את הציר: ל-ff קיצון שם. מפלוס למינוס: מקסימום. ממינוס לפלוס: מינימום.

מ-ff אל f′f' — קוראים סקיצה

סקיצה של f
x = −1x = 2-3-2-101234-25-20-15-10-55101520xy
ל-ff מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=2x=2. קוראים משמאל לימין: עולה עד −1-1, יורדת בין −1-1 ל-22, עולה מ-22 והלאה.

מהסקיצה של ff אומרים על f′f' שלושה דברים: f′(x)=0f'(x) = 0 ב-x=−1x=-1 וב-x=2x=2; f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר x<−1x < -1 או x>2x > 2; f′(x)<0f'(x) < 0 כאשר −1<x<2-1 < x < 2. זה מספיק כדי לשרטט את f′f': היא חותכת את הציר ב-−1-1 וב-22, חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם. פרבולה שפונה כלפי מעלה.

סקיצה של f′ שמתאימה לגרף למעלה
-3-2-101234-8-44812xy
הגרף של f′f' חוצה את הציר בדיוק מתחת לנקודות הקיצון של ff. מעל הציר: ff עולה. מתחת לציר: ff יורדת. הגובה של f′f' אומר כמה תלול המשיק, לא איפה ff נמצאת.

לפי הסקיצה של f′f': מה עושה ff בקטע −1<x<2-1 < x < 2?

Voir la réponse et le corrigé

הגרף של f′f' מתחת לציר שם, ולכן ff יורדת לאורך כל הקטע. גם כש-f′f' מתחילה «לעלות» חזרה אל הציר, היא עדיין שלילית, ו-ff עדיין יורדת.

מ-f′f' אל ff — הכיוון ההפוך

עכשיו נותנים את הגרף של הנגזרת, ושואלים על ff. מסתכלים איפה f′f' חוצה את הציר ואיזה סימן יש לה מכל צד. חוצה מלמטה למעלה, ממינוס לפלוס: ל-ff מינימום שם. חוצה מלמעלה למטה: מקסימום. הגובה של ff אינו ניתן לקריאה מהגרף של f′f'.

נתון: הגרף של f′
-10123456-8-6-4-2246f′(x)x
הישר הוא הגרף של f′f', לא של ff. הוא חוצה את הציר ב-x=3x=3, שלילי משמאל וחיובי מימין.

מגרף הנגזרת אל התנהגות הפונקציה

בשרטוט למעלה נתון הגרף של f′f'. מצאו את תחומי העלייה והירידה של ff ואת סוג נקודת הקיצון שלה.

x<3: f′(x)<0x < 3: \ f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר, ולכן ff יורדת

x>3: f′(x)>0x > 3: \ f'(x) > 0

מעל הציר, ולכן ff עולה

x=3: −→+x = 3: \ - \to +

ל-ff מינימום ב-x=3x=3

אם הגרף של f′f' הוא פרבולה שנמצאת כולה מעל ציר ה-xx, מה אפשר לומר על ff?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx, ולכן ff עולה בכל התחום ואין לה נקודות קיצון. הגרף של f′f' לא חוצה את הציר, ולכן אין נקודה שבה f′=0f'=0.

פרמטרים — כל תנאי הוא משוואה

כשבפונקציה יש מקדם לא ידוע, aa או bb, השאלה נותנת תנאי, וכל תנאי מתורגם למשוואה אחת. שני תנאים, שתי משוואות, שני נעלמים.

f(1)=5f(1) = 5

«הגרף עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5)»: מציבים בפונקציה.

f′(2)=0f'(2) = 0

«נקודת קיצון ב-x=2x=2»: מציבים בנגזרת ומשווים לאפס.

f′(1)=3f'(1) = 3

«שיפוע המשיק ב-x=1x=1 הוא 33», או «המשיק מקביל לישר y=3x+7y = 3x + 7»: מציבים בנגזרת.

שני פרמטרים משני תנאים

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x=1, והגרף עובר בנקודה (1, −5)(1,\,-5). מצאו את aa ואת bb.

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים, עם הפרמטרים

f′(1)=3+2a+b=0\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a + b \\ &= 0\end{aligned}

קיצון ב-x=1x=1

f(1)=1+a+b=−5 ⇒ a+b=−6\begin{aligned}f(1) &= 1 + a + b \\ &= -5 \ \Rightarrow \ a + b \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה על הגרף

(3+2a+b)−(a+b)=0−(−6) ⇒ 3+a=6 ⇒ a=3\begin{aligned}(3 + 2a + b) - (a + b) &= 0 - (-6) \ \Rightarrow \ 3 + a \\ &= 6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

b=−6−3=−9\begin{aligned}b &= -6 - 3 \\ &= -9\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 6x - 9 \\ &= 3(x+3)(x-1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: x=1x=1 אכן שורש של f′f', ו-f(1)=1+3−9=−5f(1) = 1 + 3 - 9 = -5

שיפוע משיק ונקודה

נתונה f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא 44, ו-f(1)=1f(1) = 1. מצאו את aa ואת bb.

f′(x)=2ax+b ⇒ f′(1)=2a+b=4\begin{aligned}f'(x) &= 2ax + b \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 2a + b \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע המשיק: הנגזרת

f(1)=a+b=1\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 1\end{aligned}

הגובה: הפונקציה

(2a+b)−(a+b)=4−1 ⇒ a=3 b=−2\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= 4 - 1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3 \\ \ b &= -2\end{aligned}

מחסרים

f(x)=3x2−2x: f′(1)=6−2=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= 3x^2 - 2x: \ f'(1) \\ &= 6 - 2 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שתי הטעויות של הפרק.

f(2)=0f(2) = 0
f′(2)=0f'(2) = 0

«נקודת קיצון ב-x=2x=2» הוא תנאי על הנגזרת. f(2)=0f(2) = 0 היה אומר שהגרף חותך את ציר ה-xx שם.

f′ בשיא ⇒ f בשיאf' \ \text{בשיא} \ \Rightarrow \ f \ \text{בשיא}
f′=0 ⇒ f בקיצוןf' = 0 \ \Rightarrow \ f \ \text{בקיצון}

הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף של f′f' היא המקום שבו ff הכי תלולה, לא המקום שבו ff הכי גבוהה. קיצון של ff נמצא איפה ש-f′f' חוצה את הציר.

Exercices

Exercice 1

הגרף של f′
-1012345-6-4-2246f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff. מה נכון לגבי ff?

  1. ff יורדת כאשר x>2x > 2
  2. ל-ff אין נקודות קיצון
  3. ל-ff נקודת מקסימום ב-x=2x=2
  4. ל-ff נקודת מינימום ב-x=2x=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ל-ff נקודת מינימום ב-x=2x=2

Corrigé :

x<2: f′<0x>2: f′>0x < 2: \ f' < 0 \qquad x > 2: \ f' > 0

מתחת לציר, ואז מעל

−→+ ⇒ min⁡- \to + \ \Rightarrow \ \min

ב-x=2x=2

הנכונה: מינימום ב-x=2x=2. הישר בשרטוט עולה, אבל הוא הגרף של f′f', לא של ff: מה שקובע הוא הסימן שלו מכל צד של 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

סקיצה של f
-3-2-101234-25-20-15-10-55101520xy

בשרטוט נתונה סקיצה של הגרף של ff, עם נקודת מקסימום ב-x=−1x=-1 ונקודת מינימום ב-x=2x=2. באיזה תחום f′(x)<0f'(x) < 0?

  1. x<−1x < -1 או x>2x > 2
  2. −10<x<3.5-10 < x < 3.5
  3. x<0x < 0
  4. −1<x<2-1 < x < 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1<x<2-1 < x < 2

Corrigé :

−1<x<2: f יורדת-1 < x < 2: \ f \ \text{יורדת}

בין המקסימום למינימום

f יורדת ⇒ f′(x)<0f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f'(x) < 0

נגזרת שלילית

הנכונה: −1<x<2-1 < x < 2. f′f' שלילית איפה ש-ff יורדת, לא איפה ש-ff שלילית. −10<x<3.5-10 < x < 3.5 הוא תחום של ערכי yy, ולא של xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2+axf(x) = x^2 + ax. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=3x=3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים

f′(3)=6+a=0 ⇒ a=−6\begin{aligned}f'(3) &= 6 + a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

התנאי «קיצון ב-x=3x=3» הולך לנגזרת. מי שהציב f(3)=0f(3) = 0 קיבל 9+3a=09 + 3a = 0, כלומר a=−3a = -3, וזה חיתוך עם ציר xx, לא קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=ax2−4x+1f(x) = ax^2 - 4x + 1. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא 22. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2ax−4f'(x) = 2ax - 4

גוזרים

f′(1)=2a−4=2 ⇒ a=3\begin{aligned}f'(1) &= 2a - 4 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

שיפוע המשיק: הנגזרת שווה 22

שיפוע משיק הוא ערך של f′f', לא של ff. הבדיקה: f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2 - 4x + 1, f′(1)=6−4=2f'(1) = 6 - 4 = 2 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. לפונקציה נקודות קיצון ב-x=−1x=-1 וב-x=5x=5. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= -6 , b=b= -15

Corrigé :

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

f′(−1)=3−2a+b=0f′(5)=75+10a+b=0\begin{aligned}f'(-1) &= 3 - 2a + b \\ &= 0 \\ \quad f'(5) &= 75 + 10a + b \\ &= 0\end{aligned}

שני תנאים על הנגזרת

72+12a=0 ⇒ a=−6b=−3−12=−15\begin{aligned}72 + 12a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6 \\ \quad b &= -3 - 12 \\ &= -15\end{aligned}

מחסרים ומציבים

f′(x)=3x2−12x−15=3(x+1)(x−5) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x - 15 \\ &= 3(x+1)(x-5) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שתי נקודות קיצון, שני תנאים, ושניהם על f′f'. דרך קצרה: f′f' היא 3(x+1)(x−5)3(x+1)(x-5), ופותחים סוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הגרף של f′
-2-10123456-6-4-2246f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של f′f', פרבולה שחותכת את הציר ב-x=0x=0 וב-x=4x=4. מיינו את הקטעים לפי ההתנהגות של ff.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • 0<x<40 < x < 4
  • 1<x<31 < x < 3
  • x<0x < 0
  • x>4x > 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0<x<40 < x < 4 — ff עולה · x<0x < 0 — ff יורדת · x>4x > 4 — ff יורדת · 1<x<31 < x < 3 — ff עולה

Corrigé :

0<x<4: f′>00 < x < 4: \ f' > 0

הפרבולה מעל הציר בין השורשים

x<0 או x>4: f′<0x < 0 \ \text{או} \ x > 4: \ f' < 0

מתחת לציר מחוץ לשורשים

הפרבולה יורדת ב-2<x<42 < x < 4, אבל היא עדיין מעל הציר שם, ולכן ff עדיין עולה. הכיוון של f′f' לא קובע; הסימן שלה קובע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: אם הגרף של f′f' נמצא כולו מעל ציר ה-xx, אז ל-ff אין נקודות קיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)>0 לכל xf'(x) > 0 \ \text{לכל} \ x

הגרף מעל הציר

f′(x)≠0f'(x) \ne 0

אין נקודה חשודה, ולכן אין קיצון

הטענה נכונה. ff עולה בכל התחום. דוגמה: f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x, שנגזרתה 3x2+13x^2 + 1 חיובית תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f(x) = x² − 2x − 3
-2-101234-5-4-3-2-112345xy

בשרטוט נתון הגרף של f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3, פרבולה שקודקודה ב-(1, −4)(1,\,-4). איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. פרבולה שקודקודה ב-(1, −4)(1,\,-4)
  2. ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  3. ישר יורד שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  4. ישר אופקי y=−4y = -4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1

Corrigé :

f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2

ישר, שיפוע 22

2x−2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}2x - 2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חוצה את הציר בקודקוד של ff

x<1: f′<0x>1: f′>0x < 1: \ f' < 0 \qquad x > 1: \ f' > 0

ff יורדת ואז עולה: מינימום

הנכונה: ישר עולה שחותך את הציר ב-x=1x=1. הגרף של f′f' אינו פרבולה: לפולינום ממעלה שנייה נגזרת ממעלה ראשונה. ו-−4-4 הוא הגובה של ff, לא של f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3+axf(x) = x^3 + ax. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2 מקביל לישר y=15x−1y = 15x - 1. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

m=15m = 15

משיקים מקבילים: אותו שיפוע

f′(x)=3x2+a ⇒ f′(2)=12+a=15\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + a \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 + a \\ &= 15\end{aligned}

שיפוע המשיק ב-x=2x=2

a=3a = 3

On résout

«מקביל לישר» הוא תנאי על השיפוע, ולכן על f′f'. המספר −1-1 בישר לא משתתף: ישרים מקבילים נבדלים בדיוק בו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=ax3+bxf(x) = ax^3 + bx. לפונקציה נקודת קיצון ב-(1, 2)(1,\,2). מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=3ax2+b ⇒ f′(1)=3a+b=0\begin{aligned}f'(x) &= 3ax^2 + b \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 3a + b \\ &= 0\end{aligned}

קיצון ב-x=1x=1

f(1)=a+b=2\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה על הגרף

2a=−2 ⇒ a=−1b=3\begin{aligned}2a &= -2 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \quad b &= 3\end{aligned}

מחסרים

f(x)=−x3+3x: f′(x)=−3x2+3=0 ⇒ x=±1 ✓\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 3x: \ f'(x) \\ &= -3x^2 + 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: f(1)=2f(1) = 2

נקודת קיצון נתונה עם שני שיעורים נותנת שני תנאים: f′(1)=0f'(1) = 0 מה-xx, ו-f(1)=2f(1) = 2 מה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 11

Exercice 11

א. הפונקציה ff מוגדרת לכל xx. היא יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. מיינו את הקטעים לפי הסימן של f′f'.

  • f′(x)>0f'(x)>0
  • f′(x)<0f'(x)<0
  • −0.5<x<2.5-0.5<x<2.5
  • −1<x<3-1<x<3
  • 0<x<20<x<2
  • 4<x<64<x<6
  • x<−1x<-1
  • x>3x>3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : −1<x<3-1<x<3 — f′(x)>0f'(x)>0 · 0<x<20<x<2 — f′(x)>0f'(x)>0 · −0.5<x<2.5-0.5<x<2.5 — f′(x)>0f'(x)>0 · x<−1x<-1 — f′(x)<0f'(x)<0 · x>3x>3 — f′(x)<0f'(x)<0 · 4<x<64<x<6 — f′(x)<0f'(x)<0

Corrigé :

f↗ ⇒ f′>0f \nearrow \ \Rightarrow \ f'>0

איפה ff עולה, הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx

f↘ ⇒ f′<0f \searrow \ \Rightarrow \ f'<0

איפה ff יורדת, הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

כל קטע שנמצא כולו בתוך −1<x<3-1<x<3 שייך ל-f′>0f'>0. כל קטע שנמצא כולו בתוך x<−1x<-1 או בתוך x>3x>3 שייך ל-f′<0f'<0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

א. הפונקציה ff היא פולינום ממעלה שלישית. היא יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. פרבולה «עצובה» שקודקודה בנקודה (−1, 0)(-1,\,0)
  2. ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  3. פרבולה «שמחה» (פתוחה כלפי מעלה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3
  4. פרבולה «עצובה» (פתוחה כלפי מטה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D פרבולה «עצובה» (פתוחה כלפי מטה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3

Corrigé :

f′(−1)=f′(3)=0\begin{aligned}f'(-1) &= f'(3) \\ &= 0\end{aligned}

בנקודות הקיצון של ff הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx

−1<x<3: f′>0-1<x<3: \ f'>0

בין השורשים f′f' מעל הציר

x<−1, x>3: f′<0x<-1, \ x>3: \ f'<0

מחוץ לשורשים f′f' מתחת לציר

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה. היא חיובית בין השורשים ושלילית מחוצה להם, ולכן היא עצובה. הפרבולה ה«שמחה» הפוכה בסימנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

א. הפונקציה ff יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. בשרטוט: הפרבולה y=x2−2x−3y=x^2-2x-3. הוכיחו או הפריכו: הפרבולה בשרטוט יכולה להיות הגרף של f′f'.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2−2x−3=(x+1)(x−3)x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

השורשים נכונים: −1-1 ו-33

x=0: 0−0−3=−3<0\begin{aligned}x &= 0: \ 0-0-3 \\ &= -3<0\end{aligned}

אבל בין השורשים הפרבולה מתחת לציר

הטענה לא נכונה. ב-−1<x<3-1<x<3 הפונקציה ff עולה, ולכן שם f′>0f'>0. הפרבולה בשרטוט שלילית בקטע הזה: היא מתאימה לפונקציה שעולה ויורדת בדיוק הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ב. הפונקציה ff מוגדרת לכל xx. היא עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. בכמה נקודות הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x=−2 x=1 x=4\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

בכל אחת מהן ff מחליפה כיוון: נקודות קיצון

f′(−2)=f′(1)=f′(4)=0\begin{aligned}f'(-2) &= f'(1) \\ &= f'(4) \\ &= 0\end{aligned}

ושם הסימן של f′f' מתחלף

שלוש נקודות: x=−2x=-2, x=1x=1, x=4x=4. כל נקודת קיצון של ff היא נקודה שבה f′f' חוצה את ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

ב. הפונקציה ff עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. מה הסימנים של f′f' בארבעת הקטעים, משמאל לימין?

  1. +, +, −, −+,\ +,\ -,\ -
  2. +, −, −, ++,\ -,\ -,\ +
  3. −, +, −, +-,\ +,\ -,\ +
  4. +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -

Corrigé :

x<−2: f↗ ⇒ +x<-2: \ f \nearrow \ \Rightarrow \ +

עולה

−2<x<1: f↘ ⇒ −-2<x<1: \ f \searrow \ \Rightarrow \ -

יורדת

1<x<4: f↗ ⇒ +1<x<4: \ f \nearrow \ \Rightarrow \ +

עולה

x>4: f↘ ⇒ −x>4: \ f \searrow \ \Rightarrow \ -

יורדת

הנכונה: +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -. הגרף של f′f' מתחיל מעל הציר, חוצה אותו שלוש פעמים, ומסתיים מתחתיו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ב. הפונקציה ff עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. הוכיחו או הפריכו: f′(0)>0f'(0)>0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

−2<0<1-2<0<1

x=0x=0 בקטע שבו ff יורדת

f′(0)<0f'(0)<0

ולכן שם f′f' שלילית

הטענה לא נכונה: f′(0)<0f'(0)<0. הסימן של f′f' נקבע לפי הכיוון של ff, לא לפי הגובה של הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe