Taux de variation — de la sécante à la tangente

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

אוטובוס בכביש 6 נוסע במהירות קבועה: בכל שעה הוא מתקדם 90 ק"מ, ולא משנה באיזו שעה מסתכלים. מכונית שיוצאת מרמזור מאיצה: בשנייה הראשונה היא מתקדמת מעט, בשנייה השלישית הרבה יותר. לשני הסיפורים יש גרף, ושני הגרפים נראים אחרת.

ישר: אותה מדרגה בכל צעד
+2+2012340246810xy
הגרף של y=2x+1y=2x+1. כל צעד של 11 ימינה מעלה את הגרף ב-22, תמיד. זה השיפוע של הישר, והוא אותו מספר בכל מקום.
עקומה: המדרגות גדלות
+1+3+5+7012340246810121416xy
הגרף של y=x2y=x^2. אותם צעדים של 11 ימינה, אבל המדרגות הן 11, 33, 55, 77: קצב השינוי משתנה מנקודה לנקודה. לעקומה אין שיפוע אחד.

בגרף של y=x2y=x^2, כמה תעלה המדרגה בין x=4x=4 ל-x=5x=5?

Voir la réponse et le corrigé

25−16=925-16=9. המדרגות הן המספרים האי-זוגיים: 1,3,5,7,91,3,5,7,9. הגרף עולה מהר יותר ויותר.

קצב שינוי ממוצע — שיפוע המיתר

ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-aa עד bb

לוקחים שתי נקודות על הגרף, A=(a, f(a))A=(a,\,f(a)) ו-B=(b, f(b))B=(b,\,f(b)), ומחשבים את שיפוע הישר שעובר דרכן. הישר הזה נקרא מיתר, והשיפוע שלו הוא קצב השינוי הממוצע בקטע. על ישר המספר הזה קבוע; על עקומה הוא תלוי בקטע שבחרנו.

קצב שינוי ממוצע של x2x^2

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע מ-x=1x=1 עד x=3x=3.

f(1)=1f(3)=9\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \quad f(3) &= 9\end{aligned}

הגבהים בשני הקצוות

9−13−1=82=4\begin{aligned}\frac{9-1}{3-1} &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע המיתר בין (1, 1)(1,\,1) ל-(3, 9)(3,\,9)

ומהו קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע מ-x=0x=0 עד x=2x=2?

Voir la réponse et le corrigé

4−02−0=2\frac{4-0}{2-0}=2. קטע אחר, מספר אחר. זה ההבדל מישר, שבו כל קטע נותן אותו שיפוע.

מהמיתר אל המשיק — הנגזרת בנקודה

ומה אם רוצים את הקצב בנקודה אחת, לא בקטע? משאירים את AA במקומה ומקרבים אליה את BB. המיתר נעשה קצר יותר ויותר, והשיפוע שלו מתקרב למספר אחד. הישר שאליו המיתר «מתיישר» נקרא משיק, והמספר הזה הוא הנגזרת של ff בנקודה aa, ומסמנים אותו f′(a)f'(a).

h→0 ⇒ f(a+h)−f(a)h→f′(a)h \to 0 \ \Rightarrow \ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)

ההגדרה. כש-hh שואף לאפס, שיפוע המיתר שואף למספר אחד, וזו הנגזרת.

f′(a)=mf'(a) = m

המשמעות הגאומטרית. f′(a)f'(a) הוא שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a.

f′(a)>0,f′(a)<0f'(a) > 0 ,\quad f'(a) < 0

הסימן. נגזרת חיובית: הגרף עולה שם. נגזרת שלילית: הגרף יורד שם.

הנגזרת של x2x^2 בנקודה x=3x=3, בלי שום כלל

מצאו את f′(3)f'(3) עבור f(x)=x2f(x)=x^2 מתוך שיפוע המיתר.

A=(3, 9)B=(3+h, (3+h)2)\begin{aligned}A &= (3,\,9) \\ \quad B &= (3+h,\,(3+h)^2)\end{aligned}

נקודה קבועה ונקודה קרובה

(3+h)2−9h=9+6h+h2−9h=6h+h2h\begin{aligned}\frac{(3+h)^2-9}{h} &= \frac{9+6h+h^2-9}{h} \\ &= \frac{6h+h^2}{h}\end{aligned}

שיפוע המיתר, לפי נוסחת הכפל המקוצר

=6+h → h→0  6=6+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 6

ככל ש-hh קטן, השיפוע מתקרב ל-66

f′(3)=6f'(3)=6

שיפוע המשיק בנקודה (3, 9)(3,\,9)

לפי אותו חישוב, למה שווה f′(a)f'(a) עבור f(x)=x2f(x)=x^2 בנקודה כללית aa?

Voir la réponse et le corrigé

(a+h)2−a2h=2ah+h2h=2a+h→2a\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h \to 2a. לכן f′(a)=2af'(a)=2a: ב-x=1x=1 זה 22, ב-x=3x=3 זה 66. בשיעור הבא זה יהפוך לכלל.

שלוש מילים, שלושה דברים שונים: מיתר עובר דרך שתי נקודות על הגרף. משיק נוגע בגרף בנקודה אחת. נגזרת היא מספר: שיפוע המשיק.

שתי הטעויות של ההתחלה.

f′(2)=f(3)−f(1)3−1f'(2) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1}
f(2+h)−f(2)h→f′(2)\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \to f'(2)

שיפוע של מיתר הוא קצב ממוצע בקטע. הנגזרת היא מה שהשיפוע הזה מתקרב אליו כשהקטע מתכווץ. ב-x2x^2 הם יוצאים שווים במקרה; בפונקציה אחרת לא.

f′(3)=y=6x−9\begin{aligned}f'(3) &= y \\ &= 6x - 9\end{aligned}
f′(3)=6f'(3) = 6

הנגזרת בנקודה היא מספר, השיפוע. המשיק הוא ישר, והמשוואה שלו תגיע בשיעור נפרד.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=3x−2f(x)=3x-2. מהו קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-x=1x=1 עד x=5x=5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(1)=1f(5)=13\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \quad f(5) &= 13\end{aligned}

הגבהים בקצוות

13−15−1=124=3\begin{aligned}\frac{13-1}{5-1} &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

שיפוע המיתר

על ישר קצב השינוי הוא השיפוע, 33, בכל קטע שנבחר. אין צורך לחשב, אבל החישוב מאשר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2. מהו קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-x=2x=2 עד x=4x=4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f(2)=4f(4)=16\begin{aligned}f(2) &= 4 \\ \quad f(4) &= 16\end{aligned}

הגבהים בקצוות

16−44−2=122=6\begin{aligned}\frac{16-4}{4-2} &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

שיפוע המיתר

מי שמחשב 164=4\frac{16}{4}=4 חילק גובה במיקום. מחלקים הפרש גבהים בהפרש מיקומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון הישר y=−2x+7y=-2x+7. מהו קצב השינוי שלו בקטע מ-x=1x=1 עד x=10x=10?

  1. תלוי בנקודות שבוחרים
  2. −2-2
  3. 22
  4. 77
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −2-2

Corrigé :

f(1)=5f(10)=−13\begin{aligned}f(1) &= 5 \\ \quad f(10) &= -13\end{aligned}

הגבהים

−13−510−1=−189=−2\begin{aligned}\frac{-13-5}{10-1} &= \frac{-18}{9} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע המיתר: השיפוע של הישר

הנכונה: −2-2. על ישר הקצב אינו תלוי בנקודות. 77 הוא הגובה ב-x=0x=0, לא קצב. 22 שוכח את הסימן: הישר יורד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2+1f(x)=x^2+1. מהו קצב השינוי הממוצע של ff בקטע מ-x=0x=0 עד x=3x=3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(0)=1f(3)=10\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(3) &= 10\end{aligned}

הגבהים בקצוות

10−13−0=3\frac{10-1}{3-0}=3

שיפוע המיתר

ה-+1+1 מרים את כל הגרף, אבל לא משנה את השיפוע: הוא מתבטל בהפרש f(3)−f(0)f(3)-f(0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2. שיפוע המיתר בין A=(2, 4)A=(2,\,4) לבין B=(2+h, (2+h)2)B=(2+h,\,(2+h)^2) שווה ל-4+h4+h. השלימו.

כאשר hh שואף לאפס, השיפוע שואף ל- ____ ; לכן f′(2)=f'(2)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כאשר hh שואף לאפס, השיפוע שואף ל- 4 ; לכן f′(2)=f'(2)= 4

Corrigé :

(2+h)2−4h=4h+h2h=4+h\begin{aligned}\frac{(2+h)^2-4}{h} &= \frac{4h+h^2}{h} \\ &= 4+h\end{aligned}

שיפוע המיתר

4+h→44+h \to 4

hh קטן, והתוספת נעלמת

f′(2)=4f'(2)=4

שיפוע המשיק ב-(2, 4)(2,\,4)

4+h4+h הוא שיפוע של מיתר, ומשתנה עם hh. 44 הוא המספר האחד שהמיתרים מתקרבים אליו: הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע מ-x=1x=1 עד x=3x=3 שווה בדיוק ל-f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

9−13−1=4\frac{9-1}{3-1}=4

שיפוע המיתר

f′(2)=2⋅2=4\begin{aligned}f'(2) &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הנגזרת באמצע הקטע, לפי f′(a)=2af'(a)=2a

הטענה נכונה. בפרבולה שיפוע המיתר שווה לנגזרת באמצע הקטע. זו תכונה של x2x^2 דווקא, לא כלל כללי: לא להסיק ממנה שמיתר ונגזרת הם אותו דבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של f(x) = x² − 2x
ABC-2-101234-2-11234xy

בשרטוט: הגרף של f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x ושלוש נקודות עליו. באיזו נקודה הנגזרת שלילית?

  1. בנקודה AA
  2. בנקודה CC
  3. בנקודה BB
  4. באף אחת מהן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A בנקודה AA

Corrigé :

A: f′(−1)<0A: \ f'(-1)<0

משמאל לקודקוד הגרף יורד, והמשיק יורד

B: f′(1)=0B: \ f'(1)=0

בקודקוד המשיק אופקי

C: f′(3)>0C: \ f'(3)>0

מימין לקודקוד הגרף עולה

הנכונה: בנקודה AA. הנגזרת שלילית איפה שהגרף יורד, לא איפה שהגרף מתחת לציר: ב-BB הגובה שלילי, אבל המשיק אופקי והנגזרת אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מכונית יוצאת מרמזור. המרחק שעברה, במטרים, אחרי tt שניות הוא s(t)=t2s(t)=t^2. מהי המהירות הממוצעת שלה, במטרים לשנייה, בין t=2t=2 ל-t=5t=5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

s(2)=4s(5)=25\begin{aligned}s(2) &= 4 \\ \quad s(5) &= 25\end{aligned}

המרחק בשני הרגעים

25−45−2=213=7\begin{aligned}\frac{25-4}{5-2} &= \frac{21}{3} \\ &= 7\end{aligned}

מרחק חלקי זמן: קצב השינוי הממוצע

מהירות ממוצעת היא שיפוע המיתר של גרף המרחק. המהירות ברגע t=2t=2 היא s′(2)=4s'(2)=4, וברגע t=5t=5 היא 1010: הממוצע 77 נמצא ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של f(x)=x2f(x)=x^2 יורד משמאל לקודקוד (0, 0)(0,\,0) ועולה מימינו. מיינו את הנקודות לפי סימן הנגזרת.

  • הנגזרת חיובית
  • הנגזרת שלילית
  • x=−0.5x=-0.5
  • x=−2x=-2
  • x=0.5x=0.5
  • x=3x=3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=3x=3 — הנגזרת חיובית · x=−2x=-2 — הנגזרת שלילית · x=0.5x=0.5 — הנגזרת חיובית · x=−0.5x=-0.5 — הנגזרת שלילית

Corrigé :

x>0 ⇒ f′(x)=2x>0x>0 \ \Rightarrow \ f'(x)=2x>0

מימין לקודקוד הגרף עולה

x<0 ⇒ f′(x)=2x<0x<0 \ \Rightarrow \ f'(x)=2x<0

משמאל לקודקוד הגרף יורד

הסימן של הנגזרת אומר לאן הגרף הולך, לא איפה הוא נמצא: ב-x=−2x=-2 הגובה 44 חיובי, אבל הגרף יורד שם, והנגזרת שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו f′(a)f'(a)?

  1. הגובה של הגרף בנקודה שבה x=ax=a
  2. משוואת המשיק בנקודה שבה x=ax=a
  3. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a
  4. שיפוע המיתר בין x=0x=0 ל-x=ax=a
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=ax=a

Corrigé :

f(a)≠f′(a)f(a) \ne f'(a)

הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'

f(a+h)−f(a)h→f′(a)\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)

המיתר מתכווץ סביב aa, לא מתחיל ב-00

הנכונה: שיפוע המשיק בנקודה שבה x=ax=a. הנגזרת היא מספר, לא משוואה של ישר: המשיק הוא הישר, והנגזרת היא השיפוע שלו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe