Introduction à la dérivée

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לישר יש שיפוע אחד לכל אורכו. לעקומה — שיפוע שונה בכל נקודה. הנגזרת היא הכלי שנותן את השיפוע הזה.

מבחינה גרפית: הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה — הישר שעובר באותה נקודה ובאותו כיוון כמו הגרף. הוא יכול גם לחצות את הגרף: המשיק ל-y=x3y = x^3 בנקודה (0, 0)(0,\,0) עושה זאת.

כללי הגזירה

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

הכלל המרכזי — המעריך יורד ומכפיל.

(c)′=0(c)' = 0

נגזרת של מספר קבוע היא אפס — קו אופקי, שיפוע אפס.

(cx)′=c(cx)' = c

נגזרת של cxcx היא cc — זהו שיפוע הישר.

(f+g)′=f′+g′(f−g)′=f′−g′\begin{aligned}(f + g)' &= f' + g' \\ \quad (f - g)' &= f' - g'\end{aligned}

סכום והפרש: גוזרים איבר-איבר, והסימן שבין האיברים נשאר.

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

מקדם קבוע נשאר במקומו ומכפיל את הנגזרת: (4x3)′=4⋅3x2=12x2(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2.

(x)′=1(x0)′=(1)′=0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ \quad (x^0)' &= (1)' \\ &= 0\end{aligned}

שני קצוות של אותו כלל: x=x1x = x^1 נותן 1⋅x0=11 \cdot x^0 = 1, וקבוע נותן אפס.

מהי הנגזרת של f(x)=x4−xf(x) = x^4 - x?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=4x3−1f'(x) = 4x^3 - 1. ההפרש נשאר הפרש, ו-(x)′=1(x)' = 1: הנגזרת של −x-x היא −1-1, לא אפס.

גזירה בסיסית

גזרו: f(x)=x3−4x2+5x−7f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 7.

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

המעריך 3 יורד ומכפיל

(−4x2)′=−8x(-4x^2)' = -8x

ו-2 מכפיל את 4−

(5x)′=5(5x)' = 5

שיפוע קבוע

(−7)′=0(-7)' = 0

קבוע נעלם

f′(x)=3x2−8x+5f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

הנגזרת

מקדם, חזקה גבוהה והפרש

גזרו: f(x)=2x5−3x2+x−8f(x) = 2x^5 - 3x^2 + x - 8.

(2x5)′=2⋅5x4=10x4\begin{aligned}(2x^5)' &= 2 \cdot 5x^4 \\ &= 10x^4\end{aligned}

המקדם 22 נשאר, המעריך 55 יורד ומכפיל

(−3x2)′=−6x(-3x^2)' = -6x

הסימן נשאר עם האיבר

(x)′=1(−8)′=0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ \quad (-8)' &= 0\end{aligned}

xx הוא x1x^1; הקבוע נעלם

f′(x)=10x4−6x+1f'(x) = 10x^4 - 6x + 1

מחברים את ארבע הנגזרות באותו סדר

למה זה שימושי — נקודות קיצון

במקסימום או במינימום הגרף לרגע אחד לא עולה ולא יורד — כלומר המשיק אופקי, והשיפוע אפס.

f′(x)=0f'(x) = 0

לכן כדי למצוא נקודות קיצון: גוזרים, משווים לאפס, פותרים — ומציבים בפונקציה המקורית כדי לקבל את הגובה.

להבחין בין מקסימום למינימום: בודקים את סימן הנגזרת משני צדי הנקודה. מפלוס למינוס — מקסימום. ממינוס לפלוס — מינימום.

נקודת קיצון

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5.

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6

גוזרים

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x - 6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים לאפס

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים במקורית

(3, −4) מינימום(3,\, -4) \ \text{מינימום}

כי a>0a > 0

שתי הטעויות של הנגזרת.

(x3)′=3x3(x^3)' = 3x^3
3x23x^2

המעריך יורד באחד אחרי שהוא מכפיל.

y0=f′(3)y_0 = f'(3)
y0=f(3)y_0 = f(3)

הגובה מגיע מהפונקציה המקורית. הנגזרת בקיצון שווה אפס תמיד.

מהי הנגזרת של f(x)=5x4f(x) = 5x^4?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=20x3f'(x) = 20x^3 — מורידים את המעריך למקדם ומחסרים 1. נגזרת של קבוע היא אפס.

מה המשמעות הגאומטרית של f′(a)f'(a)?

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=ax = a. זו כל הסיבה שהנגזרת מוצאת קיצון: בקיצון המשיק אופקי.

Exercices

Exercice 1

גזרו: f(x)=x3f(x) = x^3

  1. 3x3x
  2. x2x^2
  3. 3x23x^2
  4. 3x33x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3x23x^2

Corrigé :

nxn−1n x^{n-1}

הכלל

3x23x^2

המעריך יורד אחרי שהכפיל

שני שלבים: מכפיל, ואז יורד באחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גזרו: f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

  1. 2x−6x2x - 6x
  2. 2x−62x - 6
  3. x−6x - 6
  4. 2x−6+52x - 6 + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2x−62x - 6

Corrigé :

(x2)′=2x(x^2)' = 2x

ראשון

(−6x)′=−6(-6x)' = -6

שני

(5)′=0(5)' = 0

הקבוע נעלם

גוזרים איבר-איבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו ה-xx של נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x−6=02x - 6 = 0

משווים נגזרת לאפס

x=3x = 3

On résout

בקיצון המשיק אופקי — שיפוע אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותה פונקציה — מהו ה-yy של נקודת הקיצון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים במקורית

הנגזרת בקיצון שווה אפס — היא לא נותנת את הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

גזרו f(x)=5x+12f(x) = 5x + 12 ומצאו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f′(x)=5f'(x) = 5

נגזרת של ישר היא השיפוע

f′(2)=5f'(2) = 5

קבועה בכל נקודה

לישר אותו שיפוע בכל מקום — ולכן הנגזרת קבועה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהי הנגזרת של f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה x=3x = 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=2x  ⇒  f′(3)=6\begin{aligned}f'(x) &= 2x \;\Rightarrow\; f'(3) \\ &= 6\end{aligned}

גוזרים — ואז מציבים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גזרו: (3x2)(3x^2) בגרש =

____x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6x.

Corrigé :

(3x2)′=6x(3x^2)' = 6x

המקדם נשאר, המעריך יורד

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו שיפוע המשיק לגרף y=x2−4xy = x^2 - 4x בנקודה שבה x=3x = 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y′=2x−4  ⇒  y′(3)=2\begin{aligned}y' &= 2x - 4 \;\Rightarrow\; y'(3) \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע המשיק — ערך הנגזרת

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

גזירה עם שגיאה — מצאו את השורה:

f(x)=x3f(x) = x^3
f′(x)=3x3f'(x) = 3x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=3x3f'(x) = 3x^3 → f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

Corrigé :

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

המעריך יורד באחד

המעריך יורד מקדימה ויורד באחד: משלוש לשתיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהי הנגזרת של פונקציה קבועה, כמו f(x)=7f(x) = 7?

  1. 7
  2. 1
  3. 7x7x
  4. 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 0

Corrigé :

(7)′=0(7)' = 0

קבוע לא משתנה — קצב אפס

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe