Règle du produit et fonction composée

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ניחוש טבעי: הנגזרת של מכפלה היא מכפלת הנגזרות. נבדוק על x2⋅x3x^2 \cdot x^3. לפי הניחוש: 2x⋅3x2=6x32x \cdot 3x^2 = 6x^3. אבל x2⋅x3=x5x^2 \cdot x^3 = x^5, והנגזרת שלה היא 5x45x^4. הניחוש נכשל, ולא בגלל טעות חישוב.

כלל המכפלה

(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

גוזרים את הראשון וכופלים בשני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני

בדיקה על x2⋅x3x^2 \cdot x^3: 2x⋅x3+x2⋅3x2=2x4+3x4=5x42x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4. בדיוק הנגזרת של x5x^5. הכלל עובד גם כשאפשר לפתוח סוגריים, וגם כשלא נוח.

מכפלה של שני פולינומים

גזרו: f(x)=(x2+1)(x3−2x)f(x) = (x^2+1)(x^3-2x).

f′=(x2+1)′⋅(x3−2x)+(x2+1)⋅(x3−2x)′f' = (x^2+1)' \cdot (x^3-2x) + (x^2+1) \cdot (x^3-2x)'

כלל המכפלה

=2x(x3−2x)+(x2+1)(3x2−2)= 2x(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2)

גוזרים כל גורם בנפרד

=2x4−4x2+3x4−2x2+3x2−2= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2

פותחים סוגריים

f′(x)=5x4−3x2−2f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2

מכנסים

(x2+1)(x3−2x)=x5−x3−2x ⇒ 5x4−3x2−2 ✓(x^2+1)(x^3-2x) = x^5 - x^3 - 2x \ \Rightarrow \ 5x^4 - 3x^2 - 2 \ \checkmark

בדיקה: פותחים סוגריים לפני הגזירה ומקבלים אותו דבר

גזרו את f(x)=x(x+3)f(x) = x(x+3) בשתי דרכים: בכלל המכפלה, ואחרי פתיחת סוגריים.

Voir la réponse et le corrigé

כלל המכפלה: 1⋅(x+3)+x⋅1=2x+31 \cdot (x+3) + x \cdot 1 = 2x+3. פתיחת סוגריים: x2+3xx^2+3x, והנגזרת 2x+32x+3. אותה תשובה, וכך תמיד: שתי הדרכים חייבות להסכים.

כשאפשר לפתוח סוגריים בקלות, פתחו וגזרו איבר-איבר. כלל המכפלה נחוץ כשהפתיחה ארוכה, וכשגורם אחד הוא בעצמו חזקה של סוגריים, כמו x2(x−1)3x^2(x-1)^3.

פונקציה בתוך פונקציה — שני שלבים

מהי הנגזרת של (2x+1)3(2x+1)^3? אפשר לפתוח את הסוגריים, אבל (2x+1)10(2x+1)^{10} כבר אי אפשר. הפונקציה בנויה משתי שכבות: פנימית 2x+12x+1, וחיצונית «בחזקת 3». גוזרים בשני שלבים, ולא יותר.

1:3(2x+1)21: \quad 3(2x+1)^2

גוזרים את החיצונית כאילו הסוגריים הם xx: המעריך יורד ומכפיל, ומה שבפנים נשאר כמו שהוא.

2:3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)22: \quad 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2

כופלים בנגזרת הפנימית. הנגזרת של 2x+12x+1 היא 22.

((ax+b)n)′=n(ax+b)n−1⋅a(g(x)n)′=n⋅g(x)n−1⋅g′(x)\begin{aligned}\big((ax+b)^n\big)' &= n(ax+b)^{n-1} \cdot a \qquad \big(g(x)^n\big)' \\ &= n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)\end{aligned}

החיצונית נגזרת ראשונה, ואז כופלים בנגזרת של מה שבפנים

((3x−2)4)′=4(3x−2)3⋅3=12(3x−2)3\begin{aligned}\big((3x-2)^4\big)' &= 4(3x-2)^3 \cdot 3 \\ &= 12(3x-2)^3\end{aligned}

פנימית ממעלה ראשונה: כופלים במקדם של xx

((5−x)2)′=2(5−x)⋅(−1)=−2(5−x)\begin{aligned}\big((5-x)^2\big)' &= 2(5-x) \cdot (-1) \\ &= -2(5-x)\end{aligned}

הנגזרת הפנימית היא −1-1, והסימן משתנה

((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)2\begin{aligned}\big((x^2-1)^3\big)' &= 3(x^2-1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2-1)^2\end{aligned}

פנימית ריבועית: הנגזרת הפנימית היא 2x2x, והיא נכנסת למכפלה

נגזרת של חזקה של סוגריים, ושיפוע בנקודה

נתונה f(x)=(x2−4x)3f(x) = (x^2-4x)^3. מצאו את f′(x)f'(x) ואת שיפוע המשיק בנקודה שבה x=1x=1.

f′(x)=3(x2−4x)2⋅(2x−4)f'(x) = 3(x^2-4x)^2 \cdot (2x-4)

החיצונית: 3(…)23(\ldots)^2; הפנימית: 2x−42x-4

x=1:1−4=−32−4=−2\begin{aligned}x &= 1: \quad 1-4 \\ &= -3 \\ \quad 2-4 &= -2\end{aligned}

מציבים בפנימית ובנגזרתה

f′(1)=3⋅(−3)2⋅(−2)=3⋅9⋅(−2)=−54\begin{aligned}f'(1) &= 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2) \\ &= 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= -54\end{aligned}

שיפוע המשיק ב-x=1x=1

מהי הנגזרת של f(x)=(x3+1)2f(x) = (x^3+1)^2?

Voir la réponse et le corrigé

2(x3+1)⋅3x2=6x2(x3+1)2(x^3+1) \cdot 3x^2 = 6x^2(x^3+1). בדיקה בפתיחת סוגריים: x6+2x3+1x^6+2x^3+1, והנגזרת 6x5+6x2=6x2(x3+1)6x^5+6x^2 = 6x^2(x^3+1) ✓.

למה ((2x+1)3)′\big((2x+1)^3\big)' אינו 3(2x+1)23(2x+1)^2 בלבד?

Voir la réponse et le corrigé

כי בפנים לא יושב xx אלא 2x+12x+1, שמשתנה פי 2 מהר יותר מ-xx. השלב השני, הכפל ב-22, הוא מה שמתקן את זה. בדיקה על (2x+1)2=4x2+4x+1(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1: הנגזרת 8x+4=4(2x+1)8x+4 = 4(2x+1), ולא 2(2x+1)2(2x+1).

שלוש הטעויות של הפרק.

(x2⋅x3)′=2x⋅3x2(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2
(x2⋅x3)′=2x⋅x3+x2⋅3x2=5x4\begin{aligned}(x^2 \cdot x^3)' &= 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 \\ &= 5x^4\end{aligned}

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה. בדיקה: x5x^5 נותנת 5x45x^4, לא 6x36x^3.

((2x+1)3)′=3(2x+1)2\big((2x+1)^3\big)' = 3(2x+1)^2
((2x+1)3)′=3(2x+1)2⋅2\big((2x+1)^3\big)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2

שכחו את השלב השני: הכפל בנגזרת הפנימית.

((x2−1)3)′=3(2x)2\big((x^2-1)^3\big)' = 3(2x)^2
((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x\big((x^2-1)^3\big)' = 3(x^2-1)^2 \cdot 2x

גזרו את הפנימית בתוך הסוגריים. בשלב הראשון מה שבפנים נשאר כמו שהוא; הנגזרת הפנימית מכפילה מבחוץ.

Exercices

Exercice 1

גזרו בעזרת כלל המכפלה: f(x)=x2(x+1)f(x) = x^2(x+1)

  1. 3x2+2x3x^2 + 2x
  2. 2x⋅12x \cdot 1
  3. 2x2x
  4. 3x23x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3x2+2x3x^2 + 2x

Corrigé :

f′=2x⋅(x+1)+x2⋅1f' = 2x \cdot (x+1) + x^2 \cdot 1

כלל המכפלה

=2x2+2x+x2=3x2+2x= 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x

פותחים ומכנסים

x3+x2 ⇒ 3x2+2x ✓x^3 + x^2 \ \Rightarrow \ 3x^2 + 2x \ \checkmark

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 3x2+2x3x^2 + 2x. 2x⋅12x \cdot 1 הוא מכפלת הנגזרות, הניחוש שנכשל. 3x23x^2 שוכח את האיבר השני של הכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x+2)(x2−3)f(x) = (x+2)(x^2-3). חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=1⋅(x2−3)+(x+2)⋅2xf'(x) = 1 \cdot (x^2-3) + (x+2) \cdot 2x

כלל המכפלה

f′(1)=(1−3)+3⋅2=−2+6=4\begin{aligned}f'(1) &= (1-3) + 3 \cdot 2 \\ &= -2 + 6 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x=1 בלי לפתוח סוגריים

f(x)=x3+2x2−3x−6 ⇒ f′(1)=3+4−3=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 + 2x^2 - 3x - 6 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 3 + 4 - 3 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

אחרי הגזירה אפשר להציב מיד, בלי לפשט: (−2)+6=4(-2) + 6 = 4. הפישוט הוא רק בדיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גזרו: f(x)=(3x+1)4f(x) = (3x+1)^4

  1. 4(3x+1)34(3x+1)^3
  2. 12(3x+1)312(3x+1)^3
  3. 12(3x+1)412(3x+1)^4
  4. 4⋅334 \cdot 3^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 12(3x+1)312(3x+1)^3

Corrigé :

4(3x+1)34(3x+1)^3

שלב 1: החיצונית, הסוגריים נשארים

4(3x+1)3⋅3=12(3x+1)34(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3

שלב 2: כופלים בנגזרת הפנימית 33

הנכונה: 12(3x+1)312(3x+1)^3. 4(3x+1)34(3x+1)^3 שוכח את השלב השני. 12(3x+1)412(3x+1)^4 לא הוריד את המעריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=(2x−5)3f(x) = (2x-5)^3. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=3(2x−5)2⋅2=6(2x−5)2\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x-5)^2 \cdot 2 \\ &= 6(2x-5)^2\end{aligned}

שני השלבים

f′(3)=6⋅(6−5)2=6⋅1=6\begin{aligned}f'(3) &= 6 \cdot (6-5)^2 \\ &= 6 \cdot 1 \\ &= 6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בלי הכפל ב-22 מקבלים 33: חצי מהשיפוע האמיתי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

גזרו: f(x)=(x2−1)3f(x) = (x^2-1)^3

  1. 6x(x2−1)36x(x^2-1)^3
  2. 3(2x)23(2x)^2
  3. 6x(x2−1)26x(x^2-1)^2
  4. 3(x2−1)23(x^2-1)^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 6x(x2−1)26x(x^2-1)^2

Corrigé :

3(x2−1)23(x^2-1)^2

שלב 1: החיצונית

3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)23(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2-1)^2

שלב 2: הנגזרת הפנימית 2x2x מכפילה

הנכונה: 6x(x2−1)26x(x^2-1)^2. 3(x2−1)23(x^2-1)^2 בלי הפנימית; 3(2x)23(2x)^2 גזר את הפנימית בתוך הסוגריים; 6x(x2−1)36x(x^2-1)^3 לא הוריד את המעריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=(x2+3)2f(x) = (x^2+3)^2. חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

f′(x)=2(x2+3)⋅2x=4x(x2+3)\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2+3) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2+3)\end{aligned}

שני השלבים

f′(1)=4⋅1⋅4=16\begin{aligned}f'(1) &= 4 \cdot 1 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f(x)=x4+6x2+9 ⇒ f′(1)=4+12=16 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^4 + 6x^2 + 9 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 4 + 12 \\ &= 16 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

כאן אפשר גם לפתוח סוגריים, ושתי הדרכים נותנות 1616. מי שקיבל 88 שכח את הכפל ב-2x2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גוזרים את f(x)=x3(x−2)f(x) = x^3(x-2) בכלל המכפלה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f(x)=x3(x−2)f(x) = x^3(x-2)
f′(x)=3x2⋅1f'(x) = 3x^2 \cdot 1
f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=3x2⋅1f'(x) = 3x^2 \cdot 1 → f′(x)=3x2(x−2)+x3⋅1f'(x) = 3x^2(x-2) + x^3 \cdot 1

Corrigé :

f′(x)=3x2(x−2)+x3=4x3−6x2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2(x-2) + x^3 \\ &= 4x^3 - 6x^2\end{aligned}

כלל המכפלה, ואז פישוט

f(x)=x4−2x3 ⇒ f′(x)=4x3−6x2 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^4 - 2x^3 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 4x^3 - 6x^2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

השורה השנייה כפלה נגזרת בנגזרת. הכלל הוא סכום של שתי מכפלות: כל פעם גוזרים גורם אחד בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של f(x)=(x2+1)2f(x) = (x^2+1)^2 היא 2(x2+1)2(x^2+1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=2(x2+1)⋅2x=4x(x2+1)\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2+1) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2+1)\end{aligned}

שני השלבים

f(x)=x4+2x2+1 ⇒ f′(x)=4x3+4x=4x(x2+1)\begin{aligned}f(x) &= x^4 + 2x^2 + 1 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 4x^3 + 4x \\ &= 4x(x^2+1)\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

הטענה לא נכונה. 2(x2+1)2(x^2+1) הוא רק השלב הראשון. הנגזרת הפנימית 2x2x חסרה, ובלעדיה התוצאה שגויה בכל x≠12x \ne \frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=(x2−2x)3f(x) = (x^2-2x)^3. השלימו.

f(3)=f(3)= ____ , f′(3)=f'(3)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(3)=f(3)= 27 , f′(3)=f'(3)= 108

Corrigé :

f(3)=(9−6)3=33=27\begin{aligned}f(3) &= (9-6)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}

הגובה, מהפונקציה

f′(x)=3(x2−2x)2⋅(2x−2)f'(x) = 3(x^2-2x)^2 \cdot (2x-2)

שני השלבים

f′(3)=3⋅32⋅4=108\begin{aligned}f'(3) &= 3 \cdot 3^2 \cdot 4 \\ &= 108\end{aligned}

9−6=39-6=3 ו-6−2=46-2=4

שני מספרים שונים מאותה נקודה: 2727 הוא הגובה, 108108 הוא השיפוע. ומי שקיבל 2727 גם בשיפוע שכח לכפול ב-2x−22x-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=(x−1)(x2+2)f(x) = (x-1)(x^2+2). מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f′(x)=1⋅(x2+2)+(x−1)⋅2xf'(x) = 1 \cdot (x^2+2) + (x-1) \cdot 2x

כלל המכפלה

f′(2)=6+1⋅4=10\begin{aligned}f'(2) &= 6 + 1 \cdot 4 \\ &= 10\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f(x)=x3−x2+2x−2 ⇒ f′(2)=12−4+2=10 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - x^2 + 2x - 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 - 4 + 2 \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שיפוע המשיק הוא f′(2)f'(2), לא f(2)=6f(2) = 6. הגובה 66 ישמש רק כשיבקשו את משוואת המשיק.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe