L'équation de la tangente

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני דברים, ורק שניים: שיפוע, ונקודה שהישר עובר דרכה. זה נכון לכל ישר בעולם — וגם למשיק.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

משוואת ישר שעובר בנקודה (x0, y0)(x_0,\, y_0) ושיפועו mm

הנוסחה הזו מוכרת מהגיאומטריה האנליטית, והיא לא משתנה כאן. כל מה שנשאר הוא למלא שני מקומות: מהו mm, ומהי נקודת ההשקה (x0, y0)(x_0,\, y_0).

למה לא מספיק לדעת רק את השיפוע כדי לכתוב את משוואת המשיק?

Voir la réponse et le corrigé

כי לאותו שיפוע יש אינסוף ישרים מקבילים. הנקודה היא מה שבוחר מתוכם את הישר האחד שבאמת נוגע בגרף.

מאיפה מגיע כל אחד מהשניים

m=f′(x0)m = f'(x_0)

השיפוע — מהנגזרת. זה כל תפקידה כאן.

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה — מהפונקציה עצמה.

זו הנקודה המרכזית של הפרק: שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה. לעקומה אין שיפוע אחד, ולכן אי אפשר סתם לקרוא את mm מהגרף — גוזרים, ומציבים את ה-xx של נקודת ההשקה.

f′(x)f'(x) הוא ביטוי, והוא משתנה מנקודה לנקודה. f′(x0)f'(x_0) הוא מספר. שיפוע של ישר הוא תמיד מספר — ולכן חייבים להציב.

נתון f(x)=x2f(x) = x^2. מהו שיפוע המשיק בנקודה שבה x0=5x_0 = 5?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=2xf'(x) = 2x, ולכן f′(5)=10f'(5) = 10. השיפוע הוא 10 — מספר, לא ביטוי.

שלושת השלבים

11

הנקודה — מציבים x0x_0 בפונקציה ומקבלים y0=f(x0)y_0 = f(x_0).

22

השיפוע — גוזרים, מציבים x0x_0 בנגזרת ומקבלים m=f′(x0)m = f'(x_0).

33

הישר — מציבים את שניהם ב-y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) ומפשטים.

הסדר בין שני השלבים הראשונים לא חשוב, אבל ההפרדה ביניהם כן: הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. ערבוב בין השתיים הוא הטעות שחוזרת הכי הרבה במבחנים.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3.

f(3)=9−12+3=0\begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה היא (3, 0)(3,\, 0)

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

גוזרים

m=f′(3)=6−4=2\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע — מספר

y−0=2(x−3)y - 0 = 2(x - 3)

מציבים שיפוע ונקודה

y=2x−6y = 2x - 6

משוואת המשיק

בדוגמה יצא y0=0y_0 = 0. האם זה אומר שגם השיפוע אפס?

Voir la réponse et le corrigé

לא. y0=0y_0 = 0 אומר רק שנקודת ההשקה יושבת על ציר ה-xx. השיפוע יצא 2, והוא מגיע מהנגזרת בלבד.

כשהגובה שלילי

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 בנקודה שבה x0=4x_0 = 4.

f(4)=16−24+5=−3\begin{aligned}f(4) &= 16 - 24 + 5 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההשקה היא (4, −3)(4,\, -3)

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6

גוזרים

m=f′(4)=8−6=2\begin{aligned}m &= f'(4) \\ &= 8 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−(−3)=2(x−4)y - (-3) = 2(x - 4)

שימו לב לסימן — מינוס על מינוס

y=2x−11y = 2x - 11

משוואת המשיק

משיק אופקי

ישר אופקי הוא ישר ששיפועו אפס. לכן משיק אופקי מתקבל בדיוק היכן ש-f′(x)=0f'(x) = 0 — וזו בדיוק נקודת הקיצון שכבר הכרנו. גם כאן חוזר אותו זוג: הנגזרת נותנת את ה-xx, והפונקציה נותנת את הגובה.

המשיק בנקודת הקיצון

מצאו את המשיק האופקי לגרף f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x.

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

גוזרים

2x−4=0⇒x=2\begin{aligned}2x - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי — שיפוע אפס

f(2)=4−8=−4\begin{aligned}f(2) &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה מהמקורית

y=−4y = -4

ישר אופקי דרך (2, −4)(2,\, -4)

שתי הטעויות של המשיק.

y0=f′(x0)y_0 = f'(x_0)
y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה מגיע מהפונקציה המקורית. הנגזרת נותנת שיפוע, לא גובה.

m=f′(x)m = f'(x)
m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע חייב לצאת מספר. אם נשאר xx בתשובה — לא הצבתם את נקודת ההשקה.

Exercices

Exercice 1

מהו שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x0=4x_0 = 4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=2xf'(x) = 2x

גוזרים

f′(4)=8f'(4) = 8

מציבים את x0x_0

השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה — ולכן מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי משוואת המשיק לגרף y=x2y = x^2 בנקודה (1, 1)(1,\, 1)?

  1. y=x−1y = x - 1
  2. y=2xy = 2x
  3. y=2x−1y = 2x - 1
  4. y=2x+1y = 2x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=2x−1y = 2x - 1

Corrigé :

m=f′(1)=2\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע מהנגזרת

y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1)

שיפוע ונקודה

y=2x−1y = 2x - 1

מפשטים

בדיקה מהירה: הישר עובר ב-(1, 1)(1,\, 1), כי 2⋅1−1=12 \cdot 1 - 1 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x. מהו ה-yy של נקודת ההשקה כאשר x0=2x_0 = 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(2)=8−4=4\begin{aligned}f(2) &= 8 - 4 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים במקורית

הגובה תמיד מגיע מ-ff, לעולם לא מ-f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותה פונקציה f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x — מהו שיפוע המשיק ב-x0=2x_0 = 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

גוזרים

f′(2)=12−2=10\begin{aligned}f'(2) &= 12 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

On remplace (מציבים)

אותה נקודה, שתי הצבות שונות: ff לגובה, f′f' לשיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 ונקודת השקה שבה x0=4x_0 = 4. השלימו:

הגובה הוא f(4)=f(4) = ____, ושיפוע המשיק הוא f′(4)=f'(4) = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגובה הוא f(4)=f(4) = -3, ושיפוע המשיק הוא f′(4)=f'(4) = 2

Corrigé :

f(4)=16−24+5=−3\begin{aligned}f(4) &= 16 - 24 + 5 \\ &= -3\end{aligned}

הגובה

f′(x)=2x−6⇒f′(4)=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \Rightarrow f'(4) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

שני המספרים האלה הם בדיוק מה שצריך כדי לכתוב את הישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מוצאים את המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f′(x)=2xf'(x) = 2x
m=f′(3)=6\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}
y0=f′(3)=6\begin{aligned}y_0 &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y0=f′(3)=6y_0 = f'(3) = 6 → y0=f(3)=9y_0 = f(3) = 9

Corrigé :

y0=f(3)=9\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= 9\end{aligned}

הגובה מהפונקציה

y−9=6(x−3)⇒y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

המשיק הנכון

הנגזרת שימשה כבר לשיפוע. היא לא יכולה לשמש גם לגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כדי לכתוב את משוואת המשיק מספיק לדעת את השיפוע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

בנוסחה יש גם mm וגם (x0, y0)(x_0,\, y_0)

y=2x+cy = 2x + c

בלי נקודה, cc נשאר חופשי — אינסוף ישרים מקבילים

השיפוע קובע את הכיוון בלבד. הנקודה קובעת איזה מבין הישרים המקבילים זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באיזה xx המשיק לגרף f(x)=x2−10xf(x) = x^2 - 10x הוא אופקי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f′(x)=2x−10f'(x) = 2x - 10

גוזרים

2x−10=0⇒x=5\begin{aligned}2x - 10 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

אופקי פירושו שיפוע אפס

משיק אופקי ונקודת קיצון הם אותה נקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה (3, 9)(3,\, 9) חותך את ציר ה-yy. מהו ה-yy של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -9

Corrigé :

m=f′(3)=6\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע

y−9=6(x−3)⇒y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=−9\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -9\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy

אחרי שיש משוואה של ישר, ממשיכים איתה כמו עם כל ישר אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x3f(x) = x^3 בנקודה שבה x0=1x_0 = 1?

  1. y=3x+1y = 3x + 1
  2. y=x+2y = x + 2
  3. y=3x−2y = 3x - 2
  4. y=3xy = 3x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=3x−2y = 3x - 2

Corrigé :

f(1)=1f(1) = 1

הנקודה (1, 1)(1,\, 1)

f′(x)=3x2⇒m=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \Rightarrow m \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

y−1=3(x−1)⇒y=3x−2\begin{aligned}y - 1 &= 3(x - 1) \Rightarrow y \\ &= 3x - 2\end{aligned}

מציבים ומפשטים

בדיקה: ב-x=1x = 1 הישר נותן 3−2=13 - 2 = 1, בדיוק גובה הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 2

Exercice 11

א. לגרף הפונקציה f(x)=x4−6xf(x)=x^4-6x יש משיק ששיפועו 2626. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=4x3−6f'(x)=4x^3-6

גוזרים

4x3−6=26 ⇒ x3=8\begin{aligned}4x^3-6 &= 26 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 8\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת

x=2x=2

השורש השלישי של 88

נקודת ההשקה ב-x=2x=2. ל-x3=8x^3=8 יש פתרון אחד בלבד, ולכן יש משיק אחד בלבד בשיפוע הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

א. לגרף הפונקציה f(x)=x4−6xf(x)=x^4-6x יש משיק ששיפועו 2626, ונקודת ההשקה שלו ב-x=2x=2. מצאו את משוואת המשיק.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= 26 x+x+ -48

Corrigé :

f(2)=16−12=4\begin{aligned}f(2) &= 16-12 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה: (2, 4)(2,\,4) — מ-ff, לא מ-f′f'

y−4=26(x−2)y-4=26(x-2)

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=26x−48y=26x-48

פותחים סוגריים

משוואת המשיק: y=26x−48y=26x-48. בדיקה: 26⋅2−48=426 \cdot 2-48=4 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe