On résout ensemble · Géométrie analytique : points, segments et droites · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: משולש עם תיכון וגובה, מקבילית והקודקוד הרביעי, ישר מאונך ומרחק מנקודה לישר, ישר והצירים, ואנך אמצעי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל שלב שאלו: מרחק, אמצע או שיפוע? בפרק הזה כל שאלה היא שרשרת של שלושת הכלים האלה.

1 — משולש: אמצע, תיכון, גובה ואורך

Activité interactive

נתון המשולש $ABC$ : $A(-3,\,0)$ , $B(5,\,4)$ , $C(3,\,6)$ . א. מצאו את $M$ , אמצע הצלע $AB$ . ב. מצאו את משוואת התיכון $CM$ . ג. מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ . ד. חשבו את אורך הצלע $AB$ .

A(-3,\,0),\quad B(5,\,4),\quad C(3,\,6)

לחצו «להתחיל». התיכון מתחיל מהאמצע, הגובה מתחיל מהשיפוע.

א. אמצע

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-3+5}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (1,\,2)\end{aligned}

ממוצע בכל ציר.

ב. שיפוע

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך $C$ ו- $M$ .

ב. תיכון

\begin{aligned}y - 6 &= 2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

שיפוע ונקודה. בדיקה: $M(1,\,2)$ מקיים $2 \cdot 1 = 2$ ✓

ג. שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 0}{5 - (-3)} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הגובה מאונך ל- $AB$ , ולכן קודם השיפוע של $AB$ .

ג. גובה

\begin{aligned}m_{\perp} &= -2 \ \Rightarrow \ y - 6 \\ &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 12\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $C$ .

ד. אורך

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק, ותשובה מדויקת.

התיכון $y = 2x$ והגובה $y = -2x + 12$ הם ישרים שונים. זה אומר משהו על המשולש, וזו השאלה הבאה.

Faire l'activité sur elev

התיכון והגובה מ- $C$ יצאו שונים. מה זה אומר על המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

שהוא אינו שווה שוקיים עם הראש ב- $C$ . בדיקה: $CA = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}$ ו- $CB = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ , באמת שונים. אילו $CA = CB$ , התיכון היה גם הגובה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית: הקודקוד הרביעי, ומה הצורה

Activité interactive

$ABCD$ מקבילית. $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(9,\,7)$ .

$ABCD$ מקבילית, $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(9,\,7)$ . א. מצאו את הקודקוד $D$ . ב. האם $ABCD$ מלבן? נמקו.

$D(3,\,5)$ , ולא מלבן

$D(3,\,5)$ , מלבן

$D(5,\,4)$ , ולא מלבן

$D(15,\,9)$ , מלבן

איך מוצאים את $D$ ?

האלכסונים חוצים זה את זה: אמצע $BD$ שווה לאמצע $AC$

Voir la réponse et le corrigé

תכונת המקבילית, ומכאן $D = A + C - B$ .

$D$ הוא אמצע הקטע $AC$

Voir la réponse et le corrigé

אמצע $AC$ הוא נקודת מפגש האלכסונים, לא קודקוד.

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{1+9}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (5,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

מהו $D$ ?

$x_D = 2 \cdot 5 - 7 = 3$ , $y_D = 2 \cdot 4 - 3 = 5$

Voir la réponse et le corrigé

פעמיים האמצע פחות $B$ : הקצה השני של $BD$ .

$x_D = 7 - 5 = 2$ , $y_D = 3 - 4 = -1$

Voir la réponse et le corrigé

זה $B - M$ , לא $2M - B$ . בדיקה: האמצע של $B$ ושל $(2,\,-1)$ אינו $(5,\,4)$ .

D = (3,\,5)

בדיקה: $m_{AB} = \frac{1}{3} = m_{DC}$ ✓

איך בודקים אם זה מלבן?

בודקים אם $AB \perp AD$ : מכפלת השיפועים

Voir la réponse et le corrigé

מלבן הוא מקבילית עם זווית ישרה.

בודקים אם $AB = AD$

Voir la réponse et le corrigé

צלעות סמוכות שוות זה מעוין, לא מלבן.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-1}{7-1} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{5-1}{3-1} \\ &= 2 \\ \quad \frac{1}{3} \cdot 2 &= \frac{2}{3} \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה

Voir la réponse et le corrigé

$D(3,\,5)$ , ולא מלבן. דרך נוספת לשלול מלבן: במלבן האלכסונים שווים, וכאן $AC = \sqrt{64+36} = 10$ אבל $BD = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$ .

Faire l'activité sur elev

האם $ABCD$ מעוין?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $AB = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ ו- $AD = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ : צלעות סמוכות שונות. נשארת מקבילית רגילה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — ישר, מאונך אליו, והמרחק מנקודה לישר

Activité interactive

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(5,\,10)$ ו- $C(8,\,1)$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ . ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך $C$ ומאונך ל- $AB$ . ג. מצאו את נקודת החיתוך $D$ של שני הישרים. ד. חשבו את המרחק מ- $C$ לישר $AB$ .

A(1,\,2),\quad B(5,\,10),\quad C(8,\,1)

לחצו «להתחיל». המרחק מנקודה לישר נמדד לאורך האנך: זו הסיבה לסעיפים ב ו-ג.

א. שיפוע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{10 - 2}{5 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

משתי הנקודות.

א. ישר

\begin{aligned}y - 2 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

בדיקה עם $B$ : $2 \cdot 5 = 10$ ✓

ב. מאונך

\begin{aligned}m_{\perp} &= -\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y - 1 \\ &= -\frac{1}{2}(x - 8) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 5\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $C$ .

ג. חיתוך

\begin{aligned}2x &= -\frac{1}{2}x + 5 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2}x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

$D(2,\,4)$ . בדיקה בישר השני: $-1 + 5 = 4$ ✓

ד. מרחק

\begin{aligned}CD &= \sqrt{(8-2)^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{36 + 9} \\ &= \sqrt{45} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

המרחק מ- $C$ לישר הוא אורך האנך $CD$ .

ארבעה סעיפים, ארבעה כלים: שיפוע, מאונך, חיתוך, מרחק. כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם.

Faire l'activité sur elev

למה המרחק מ- $C$ לישר נמדד דווקא עד $D$ , ולא עד $A$ או עד $B$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי $D$ היא הנקודה הקרובה ביותר ל- $C$ על הישר. כל נקודה אחרת על הישר יוצרת עם $C$ ו- $D$ משולש ישר זווית, שבו $CD$ ניצב והקטע האחר הוא היתר, וגדול יותר. בדיקה: $CA = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} > \sqrt{45}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — ישר והצירים: חיתוכים, שטח ואורך

Activité interactive

הישר $3x + 4y - 12 = 0$ והצירים

הישר $3x + 4y - 12 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . א. מצאו את $A$ ואת $B$ . ב. חשבו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים. ג. חשבו את אורך $AB$ . ד. האם הנקודה $(2,\,1.5)$ נמצאת על הישר?

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $6$ , $AB = 5$ , כן

$A(0,\,4)$ , $B(3,\,0)$ , שטח $12$ , $AB = 5$ , כן

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $12$ , $AB = 7$ , לא

$A(12,\,0)$ , $B(0,\,12)$ , שטח $72$ , $AB = 12\sqrt{2}$ , לא

איך מוצאים את $A$ , החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

מציבים $y = 0$

Voir la réponse et le corrigé

כל נקודה על ציר ה- $x$ היא בגובה $0$ .

מציבים $x = 0$

Voir la réponse et le corrigé

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ .

\begin{aligned}3x - 12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ A(4,\,0)\end{aligned}

ובאותו אופן $x = 0$ : $4y = 12$ , $B(0,\,3)$

מה שטח המשולש $AOB$ ?

$\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Voir la réponse et le corrigé

ניצבים $OA = 4$ ו- $OB = 3$ , זווית ישרה ב- $O$ .

$4 \cdot 3 = 12$

Voir la réponse et le corrigé

זה שטח מלבן. במשולש מחלקים ב- $2$ .

\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot OB}{2} \\ &= \frac{4 \cdot 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

המשולש ישר זווית, כי הצירים מאונכים

מה אורך $AB$ ?

$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Voir la réponse et le corrigé

נוסחת המרחק, או פיתגורס על הניצבים.

$4 + 3 = 7$

Voir la réponse et le corrigé

זה סכום הניצבים, לא היתר.

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} \\ &= 5\end{aligned}

השלשה $3,\,4,\,5$

האם $(2,\,1.5)$ על הישר?

מציבים במשוואה ובודקים אם מתקבל $0$

Voir la réponse et le corrigé

נקודה על הישר מקיימת את משוואתו.

בודקים אם $2 + 1.5 = 12$

Voir la réponse et le corrigé

צריך להציב עם המקדמים: $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1.5$ .

\begin{aligned}3 \cdot 2 + 4 \cdot 1.5 - 12 &= 6 + 6 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

כן, הנקודה על הישר

Voir la réponse et le corrigé

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $6$ , $AB = 5$ , וכן. הטעות הנפוצה בסעיף א היא להחליף בין הצירים: $A$ על ציר ה- $x$ נראה $(4,\,0)$ , עם $y = 0$ .

Faire l'activité sur elev

מה מיוחד בנקודה $(2,\,1.5)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

היא אמצע הקטע $AB$ : $\frac{4+0}{2} = 2$ ו- $\frac{0+3}{2} = 1.5$ . אמצע של קטע תמיד נמצא על הישר של הקטע, ולכן היה אפשר לענות על סעיף ד בלי הצבה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — האנך האמצעי של קטע

Activité interactive

נתונות הנקודות $A(-2,\,3)$ ו- $B(4,\,-1)$ . א. מצאו את $M$ , אמצע $AB$ . ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך $M$ ומאונך ל- $AB$ (האנך האמצעי). ג. מצאו את נקודת החיתוך $P$ של ישר זה עם ציר ה- $y$ . ד. הראו ש- $PA = PB$ .

A(-2,\,3),\quad B(4,\,-1)

לחצו «להתחיל». האנך האמצעי צריך שני דברים: נקודה (האמצע) ושיפוע (מאונך).

א. אמצע

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-2+4}{2},\ \frac{3+(-1)}{2} \right) \\ &= (1,\,1)\end{aligned}

ממוצע בכל ציר.

ב. שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 - 3}{4 - (-2)} \\ &= \frac{-4}{6} \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

השיפוע של הקטע עצמו.

ב. אנך

\begin{aligned}m_{\perp} &= \frac{3}{2} \ \Rightarrow \ y - 1 \\ &= \frac{3}{2}(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $M$ .

ג. ציר y

x = 0 \ \Rightarrow \ P\left(0,\,-\frac{1}{2}\right)

מציבים $x = 0$ .

ד. מרחקים

\begin{aligned}PA^2 &= 2^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ &= \frac{65}{4} \\ \qquad PB^2 &= 4^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{65}{4}\end{aligned}

שווים, ולכן $PA = PB$ . די להשוות את הריבועים.

$PA = PB$ אינו מקרה: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים משני קצות הקטע. את המשפט הזה תפגשו שוב בפרק על הקווים המיוחדים במשולש.

Faire l'activité sur elev

האם היה אפשר לדעת מראש, בלי חישוב, שהמרחקים בסעיף ד שווים?

Voir la réponse et le corrigé

כן. $P$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ , וכל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ . החישוב בסעיף ד רק מאמת את המשפט על מקרה אחד.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1,\,0)$ , $B(7,\,4)$ , $C(1,\,6)$ . $M$ אמצע $AB$ . מצאו את משוואת התיכון $CM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -2 $x +$ 8

Corrigé :

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-1+7}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{2 - 6}{3 - 1} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע דרך $C$ ו- $M$

\begin{aligned}y - 6 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

שיפוע ונקודה

-2 \cdot 3 + 8 = 2

בדיקה עם $M$ ✓

תיכון: אמצע ואז שתי נקודות. השיפוע $\frac{1}{2}$ הוא של הצלע $AB$ עצמה, לא של התיכון. וכאן $CA = CB = \sqrt{40}$ , ולכן $CM$ הוא גם הגובה: $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$ABCD$ מקבילית. $A(-2,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(6,\,7)$ . מצאו את הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $D($ 0 $,$ 5 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{-2+6}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (2,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 2 \cdot 2 - 4 \\ &= 0 \\ \quad y_D &= 2 \cdot 4 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

הקצה השני של $BD$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ &= m_{DC}\end{aligned}

בדיקה: $AB \parallel DC$ ✓

$D = A + C - B$ בכל קואורדינטה. מי שחישב $B + C - A$ קיבל $(12,\,9)$ , קודקוד של מקבילית אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונות הנקודות $A(0,\,2)$ , $B(3,\,5)$ ו- $C(6,\,0)$ . מצאו את נקודת החיתוך של הישר $AB$ עם הישר העובר דרך $C$ ומאונך ל- $AB$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 2 $,$ 4 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 2}{3 - 0} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= x + 2\end{aligned}

הישר $AB$ : $A$ על ציר ה- $y$ , ולכן $b = 2$

\begin{aligned}m_{\perp} &= -1 \ \Rightarrow \ y - 0 \\ &= -(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 6\end{aligned}

המאונך דרך $C$

\begin{aligned}x + 2 &= -x + 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

חיתוך

המאונך לשיפוע $1$ הוא שיפוע $-1$ : הופכי של $1$ הוא $1$ , ונשאר רק להחליף סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הישר $2x + 5y - 10 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . חשבו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= 10 \ \Rightarrow \ A(5,\,0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ 5y \\ &= 10 \ \Rightarrow \ B(0,\,2)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 2}{2} \\ &= 5\end{aligned}

משולש ישר זווית ב- $O$

הניצבים הם המרחקים מהראשית, $5$ ו- $2$ . שטח משולש מחלקים ב- $2$ : $10$ הוא שטח המלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונות הנקודות $A(1,\,5)$ ו- $B(5,\,1)$ . מצאו את משוואת האנך האמצעי של $AB$ , כלומר הישר העובר דרך אמצע $AB$ ומאונך לו.

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ 1 $x +$ 0

Corrigé :

\begin{aligned}M &= \left( \frac{1+5}{2},\ \frac{5+1}{2} \right) \\ &= (3,\,3)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1 - 5}{5 - 1} \\ &= -1 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= 1\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= 1 \cdot (x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= x\end{aligned}

דרך $M$

המשוואה היא $y = x + 0$ : $b = 0$ הוא תשובה לגיטימית. הישר עובר דרך הראשית, כי $O$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ : $\sqrt{26}$ בשניהם.

Vérifier la réponse sur elev

1 — משולש: אמצע, תיכון, גובה ואורך

2 — מקבילית: הקודקוד הרביעי, ומה הצורה

3 — ישר, מאונך אליו, והמרחק מנקודה לישר

4 — ישר והצירים: חיתוכים, שטח ואורך

5 — האנך האמצעי של קטע

Exercices

La suite se pratique sur elev