Triangles et quadrilatères en coordonnées · Géométrie analytique : points, segments et droites · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משולש נתון על ידי שלושת קודקודיו, ומרובע על ידי ארבעת קודקודיו. ברגע שיש קואורדינטות, כל מה שלמדנו בפרק מתחבר: מרחק נותן אורכי צלעות, אמצע נותן תיכון, שיפוע נותן מקבילות וניצבות. זה הפורמט של שאלת הבגרות: משולש או מרובע בקואורדינטות, ושרשרת קצרה של חישובים.

המשולש

ABC

A(-2,\,1)

B(6,\,1)

C(2,\,7)

. הצלע

AB

אופקית ואורכה

8

AC = BC = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13}

: המשולש שווה שוקיים, וזה נקבע בחישוב, לא במבט.

אורכי צלעות וסוג המשולש

מחשבים את שלוש הצלעות בנוסחת המרחק. שתי צלעות שוות: שווה שוקיים. שלוש שוות: שווה צלעות. ישר זווית: או שמשפט פיתגורס ההפוך מתקיים, $a^2 + b^2 = c^2$ , או ששתי צלעות מאונכות, כלומר מכפלת השיפועים שלהן $-1$ . הדרך של השיפועים קצרה יותר, ומראה גם איפה הזווית הישרה.

משולש ישר זווית, בשתי דרכים

נתון $A(1,\,1)$ , $B(5,\,1)$ , $C(5,\,4)$ . הראו שהמשולש ישר זווית.

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad BC &= 3 \\ \quad AC &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

שלוש הצלעות

\begin{aligned}4^2 + 3^2 &= 25 \\ &= 5^2\end{aligned}

משפט פיתגורס ההפוך: הזווית מול $AC$ ישרה, כלומר $\angle B$

\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad BC \text{ אנכי}\end{aligned}

דרך שנייה: $AB$ אופקי ו- $BC$ אנכי, ולכן $AB \perp BC$

האם המשולש $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(2,\,6)$ ישר זווית? אם כן, באיזה קודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

$m_{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $m_{BC} = \frac{6-2}{2-4} = -2$ , והמכפלה $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ . כן, הזווית הישרה ב- $B$ , כי $AB \perp BC$ .

תיכון וגובה: לפי המשוואות שלהם

התיכון מקודקוד $C$ הוא הקטע מ- $C$ אל אמצע הצלע $AB$ . מוצאים את האמצע $M$ , ואז את הישר דרך $C$ ו- $M$ . הגובה מ- $C$ מאונך ל- $AB$ : לוקחים את שיפוע $AB$ , הופכים ומנגדים, ומעבירים ישר בשיפוע הזה דרך $C$ . שני קווים שונים, שתי שיטות שונות: בתיכון משתמשים באמצע, בגובה משתמשים בשיפוע.

תיכון וגובה מאותו קודקוד

נתון $A(0,\,0)$ , $B(6,\,2)$ , $C(2,\,6)$ . מצאו את משוואת התיכון ואת משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ .

\begin{aligned}M &= \left( \frac{0+6}{2},\ \frac{0+2}{2} \right) \\ &= (3,\,1)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{1 - 6}{3 - 2} \\ &= -5\end{aligned}

שיפוע התיכון

\begin{aligned}y - 6 &= -5(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -5x + 16\end{aligned}

משוואת התיכון $CM$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -3\end{aligned}

שיפוע הגובה: הופכי ונגדי לשיפוע $AB$

\begin{aligned}y - 6 &= -3(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 12\end{aligned}

משוואת הגובה מ- $C$

התיכון

CM

בכתום מגיע לאמצע

M(3,\,1)

. הגובה

CD

בכחול מגיע ל-

D

, שאינו האמצע. הם שונים כי

CA \neq CB

CA = \sqrt{40}

ו-

CB = \sqrt{32}

מתי התיכון והגובה מאותו קודקוד מתלכדים?

Voir la réponse et le corrigé

כשהמשולש שווה שוקיים ואותו קודקוד הוא הראש: אז $CA = CB$ , והקטע לאמצע $AB$ גם מאונך לו. אם קיבלתם שתי משוואות זהות, זו הסיבה, ואפשר לאמת בחישוב $CA$ ו- $CB$ .

מרובעים: איזו צורה זו?

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} &= m_{BC}\end{aligned}

מקבילית: שני זוגות של צלעות מקבילות. בדיקה מהירה: האלכסונים חוצים זה את זה, כלומר ל- $AC$ ול- $BD$ אותו אמצע

m_{AB} \cdot m_{AD} = -1

מלבן: מקבילית שיש בה זווית ישרה

AB = AD

מעוין: מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות

\text{מלבן} + \text{מעוין}

ריבוע

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות

מה הצורה של המרובע?

נתון $A(0,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(6,\,3)$ , $D(2,\,3)$ . קבעו איזה מרובע הוא $ABCD$ .

\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad m_{DC} &= \frac{3 - 3}{6 - 2} \\ &= 0\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 - 0}{6 - 4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

$AD \parallel BC$ : מקבילית

0 \cdot \frac{3}{2} = 0 \neq -1

אין זווית ישרה: לא מלבן

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad AD &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות: לא מעוין. התשובה: מקבילית

כדי למצוא את הקודקוד הרביעי של מקבילית $ABCD$ , משתמשים באלכסונים: אמצע $AC$ שווה לאמצע $BD$ . ולכן $D = A + C - B$ , בכל קואורדינטה בנפרד. שימו לב לסדר האותיות: $D$ מול $B$ .

איזה מרובע הוא $A(1,\,1)$ , $B(4,\,1)$ , $C(4,\,4)$ , $D(1,\,4)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

ריבוע. $AB$ ו- $DC$ אופקיים, $AD$ ו- $BC$ אנכיים, ולכן מקבילית עם זוויות ישרות: מלבן. וכל הצלעות באורך $3$ : גם מעוין. מלבן שהוא מעוין הוא ריבוע.

שלוש הטעויות של צורות בקואורדינטות.

AB = CD \ \Rightarrow \ \text{מעוין}

AB = AD

במעוין צלעות סמוכות שוות. צלעות נגדיות שוות בכל מקבילית.

m_{CM} = -\frac{1}{m_{AB}}

m_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C}

התיכון עובר דרך האמצע ואינו בהכרח מאונך. השיפוע ההופכי והנגדי שייך לגובה.

m_{AB} = m_{CD} \ \Rightarrow \ \text{מקבילית}

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \ \text{וגם} \ m_{AD} \\ &= m_{BC}\end{aligned}

זוג אחד של צלעות מקבילות נותן רק טרפז. למקבילית צריך את שני הזוגות.

Exercices

Exercice 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1,\,2)$ , $B(5,\,2)$ , $C(2,\,6)$ . חשבו את היקף המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= |5 - (-1)| \\ &= 6\end{aligned}

אותו $y$ : צלע אופקית

\begin{aligned}AC &= \sqrt{(2-(-1))^2 + (6-2)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{(5-2)^2 + (2-6)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

6 + 5 + 5 = 16

היקף

שתי שוקיים שוות: המשולש שווה שוקיים. מי שקיבל $AB = 4$ חיסר $5 - 1$ ושכח את המינוס.

אורכי צלעות וסוג המשולש

תיכון וגובה: לפי המשוואות שלהם

מרובעים: איזו צורה זו?

Exercices

חזרה משולבת — טרפז וקטע אמצעים

חזרה משולבת — מלבן, משולשים דומים וזווית

La suite se pratique sur elev