Droites : parallèles, perpendiculaires et intersections

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, נחתכים בנקודה אחת, או מתלכדים, כלומר אותו ישר בדיוק. מקרה מיוחד וחשוב של נחתכים: מאונכים, בזווית ישרה. כל ארבעת המצבים נקראים מהשיפועים. נסו קודם בעצמכם:

ארבעה מצבים, לפי השיפועים

m1=m2 b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

מקבילים: אותו שיפוע, חיתוך שונה עם ציר ה-yy. אין נקודה משותפת

m1=m2 b1=b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 &= b_2\end{aligned}

מתלכדים: אותו ישר, כל הנקודות משותפות

m1≠m2m_1 \neq m_2

נחתכים: בדיוק נקודה משותפת אחת

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מאונכים: נחתכים בזווית ישרה. השיפוע של המאונך הוא הופכי ונגדי

«הופכי ונגדי» פירושו שני שינויים: הופכים את השבר, ומחליפים את הסימן. המאונך ל-m=2m = 2 הוא m=−12m = -\frac{1}{2}, והמאונך ל-m=−34m = -\frac{3}{4} הוא m=43m = \frac{4}{3}. בדיקה תמיד: המכפלה חייבת לצאת −1-1.

מהו המצב ההדדי של הישרים y=2x+1y = 2x + 1 ו-4x−2y+2=04x - 2y + 2 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

מבודדים בשני: −2y=−4x−2-2y = -4x - 2, ולכן y=2x+1y = 2x + 1. מתלכדים: זה אותו ישר, כתוב פעמיים. מי שהשווה רק שיפועים ואמר «מקבילים» לא בדק את bb.

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

דרך נקודה נתונה, עם שיפוע נתון, עובר ישר אחד בלבד. זו הסיבה ששני נתונים האלה מספיקים למשוואה. מציבים בנוסחה:

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

הישר בשיפוע mm דרך הנקודה (x1, y1)(x_1,\,y_1)

ישר לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר בשיפוע 33 העובר דרך (2, −1)(2,\,-1).

y−(−1)=3(x−2)y - (-1) = 3(x - 2)

מציבים בנוסחה, בזהירות עם הסימן של −1-1

y+1=3x−6y + 1 = 3x - 6

פותחים סוגריים

y=3x−7y = 3x - 7

הצורה המפורשת

3⋅2−7=−13 \cdot 2 - 7 = -1

בדיקה: הנקודה (2, −1)(2,\,-1) על הישר ✓

ישר דרך שתי נקודות

דרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד, וזו אקסיומה של הגאומטריה. כדי למצוא את משוואתו: קודם השיפוע משתי הנקודות, ואז הנוסחה של שיפוע ונקודה, עם אחת מהן. לא משנה איזו: שתיהן על אותו ישר.

ישר דרך שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1, 2)A(1,\,2) ו-B(4, 8)B(4,\,8).

m=8−24−1=63=2\begin{aligned}m &= \frac{8 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−2=2(x−1)y - 2 = 2(x - 1)

שיפוע ונקודה, עם AA

y=2xy = 2x

הצורה המפורשת

2⋅4=82 \cdot 4 = 8

בדיקה עם BB: הנקודה שלא השתמשנו בה ✓

מהי משוואת הישר העובר דרך (0, 3)(0,\,3) ו-(2, 7)(2,\,7)?

Voir la réponse et le corrigé

m=7−32−0=2m = \frac{7-3}{2-0} = 2, והנקודה (0, 3)(0,\,3) היא בדיוק החיתוך עם ציר ה-yy, ולכן b=3b = 3: y=2x+3y = 2x + 3. בדיקה: 2⋅2+3=72 \cdot 2 + 3 = 7 ✓.

חיתוך עם הצירים

הישר y=−2x+4y = -2x + 4 חותך את ציר ה-yy ב-A(0, 4)A(0,\,4): שם x=0x = 0. הוא חותך את ציר ה-xx ב-B(2, 0)B(2,\,0): שם y=0y = 0, ופותרים −2x+4=0-2x + 4 = 0.
x=0x = 0

חיתוך עם ציר ה-yy: מציבים x=0x = 0. בצורה המפורשת זה (0, b)(0,\,b)

y=0y = 0

חיתוך עם ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0 ופותרים משוואה ב-xx

חיתוך בין שני ישרים

נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים, ולכן שיעוריה מקיימים את שתי המשוואות. כששתיהן בצורה המפורשת, משווים את שני האגפים ופותרים משוואה ב-xx, ואז מציבים כדי לקבל yy.

חיתוך של שני ישרים

מצאו את נקודת החיתוך של y=2x−1y = 2x - 1 ו-y=−x+5y = -x + 5.

2x−1=−x+52x - 1 = -x + 5

משווים: אותו yy בשני הישרים

3x=6 ⇒ x=2\begin{aligned}3x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

On résout

y=2⋅2−1=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

−2+5=3-2 + 5 = 3

בדיקה בישר השני ✓

מהי נקודת החיתוך של y=x+1y = x + 1 ו-y=3x−3y = 3x - 3?

Voir la réponse et le corrigé

x+1=3x−3x + 1 = 3x - 3, ולכן 2x=42x = 4, x=2x = 2, ו-y=3y = 3: (2, 3)(2,\,3). בדיקה: 3⋅2−3=33 \cdot 2 - 3 = 3 ✓. נקודת חיתוך היא תמיד זוג: xx לבד אינו תשובה.

בכל ישר שמצאתם, הציבו את הנקודה שלא השתמשתם בה. אם היא לא מקיימת את המשוואה, יש טעות. הבדיקה הזו עולה שורה אחת ותופסת את רוב הטעויות.

שלוש הטעויות של ישרים.

m1=2 ⇒ m⊥=−2\begin{aligned}m_1 &= 2 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}
m⊥=−12m_{\perp} = -\frac{1}{2}

מאונך פירושו הופכי וגם נגדי. רק המינוס לא מספיק: 2⋅(−2)=−4≠−12 \cdot (-2) = -4 \neq -1.

y−1=3(x−2) ⇒ y=3x−2\begin{aligned}y - 1 &= 3(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 2\end{aligned}
y=3x−5y = 3x - 5

פותחים סוגריים: 3x−63x - 6, ואז מעבירים את ה-11. שני צעדים, לא אחד.

y=2x−6 ⇒ ציר x:(0, −6)y = 2x - 6 \ \Rightarrow \ \text{ציר } x: (0,\,-6)
(3, 0)(3,\,0)

חיתוך עם ציר ה-xx הוא כש-y=0y = 0. הנקודה (0, −6)(0,\,-6) היא החיתוך עם ציר ה-yy.

Exercices

Exercice 1

שיפוע ישר הוא 2. מהו שיפוע הישר המאונך לו?

  1. 22
  2. 12\frac{1}{2}
  3. −2-2
  4. −12-\frac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −12-\frac{1}{2}

Corrigé :

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

התנאי

m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}

הופכי וסימן הפוך

שני שינויים, לא אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שני ישרים מקבילים — אם ורק אם השיפועים שלהם שווים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

m1=m2m_1 = m_2

ההגדרה האנליטית של מקבילות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ישר אחד בעל שיפוע 3. מהו שיפוע ישר המאונך לו?

  1. −13-\frac{1}{3}
  2. 3
  3. 13\frac{1}{3}
  4. −3-3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −13-\frac{1}{3}

Corrigé :

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מכפלת שיפועים מאונכים

הופכי ונגדי: מי ששוכח את המינוס מקבל ישר מקביל-בערך, לא מאונך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי משוואת הישר בשיפוע −2-2 העובר דרך הנקודה (1, 5)(1,\,5)?

  1. y=−2x+3y = -2x + 3
  2. y=−2x+5y = -2x + 5
  3. y=2x+3y = 2x + 3
  4. y=−2x+7y = -2x + 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=−2x+7y = -2x + 7

Corrigé :

y−5=−2(x−1)y - 5 = -2(x - 1)

שיפוע ונקודה

y=−2x+2+5=−2x+7\begin{aligned}y &= -2x + 2 + 5 \\ &= -2x + 7\end{aligned}

פותחים ומעבירים

−2⋅1+7=5-2 \cdot 1 + 7 = 5

בדיקה ✓

התשובה: y=−2x+7y = -2x + 7. y=−2x+5y = -2x + 5 לוקח את ה-55 של הנקודה בתור bb, אבל bb הוא הגובה ב-x=0x = 0, לא ב-x=1x = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (−1, 1)(-1,\,1) ו-(3, 9)(3,\,9).

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 2 x+x + 3

Corrigé :

m=9−13−(−1)=84=2\begin{aligned}m &= \frac{9 - 1}{3 - (-1)} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

קודם השיפוע

y−1=2(x+1) ⇒ y=2x+3\begin{aligned}y - 1 &= 2(x + 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x + 3\end{aligned}

שיפוע ונקודה

2⋅3+3=92 \cdot 3 + 3 = 9

בדיקה עם הנקודה השנייה ✓

במכנה 3−(−1)=43 - (-1) = 4, לא 22. מינוס פחות מינוס הופך לפלוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=3x−4y = 3x - 4 ו-y=−x+4y = -x + 4.

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 2 ,, 2 ))

Corrigé :

3x−4=−x+43x - 4 = -x + 4

משווים

4x=8 ⇒ x=2\begin{aligned}4x &= 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

On résout

y=3⋅2−4=2\begin{aligned}y &= 3 \cdot 2 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

−2+4=2-2 + 4 = 2

בדיקה בישר השני ✓

נקודת החיתוך היא זוג. אחרי שמוצאים xx, לא לשכוח להציב ולמצוא yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

באיזו נקודה חותך הישר 2x+3y−12=02x + 3y - 12 = 0 את ציר ה-xx? רשמו את שיעור ה-xx של הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

y=0y = 0

על ציר ה-xx

2x−12=0 ⇒ x=6\begin{aligned}2x - 12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

On résout

(6, 0)(6,\,0)

הנקודה

מי שענה 44 הציב x=0x = 0 ומצא את החיתוך עם ציר ה-yy, שהוא (0, 4)(0,\,4). ציר ה-xx: y=0y = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו המצב ההדדי של הישרים y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 ו-x−2y+4=0x - 2y + 4 = 0?

  1. נחתכים בנקודה אחת שאינה בזווית ישרה
  2. מאונכים
  3. מקבילים
  4. מתלכדים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מתלכדים

Corrigé :

−2y=−x−4 ⇒ y=12x+2\begin{aligned}-2y &= -x - 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 2\end{aligned}

מבודדים yy בישר השני

m1=m2=12b1=b2=2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad b_1 &= b_2 \\ &= 2\end{aligned}

אותו שיפוע ואותו bb

התשובה: מתלכדים. אותו שיפוע לבד היה אומר «מקבילים», אבל גם החיתוך עם ציר ה-yy זהה, ולכן זה אותו ישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהי משוואת הישר העובר דרך (8, 1)(8,\,1) ומאונך לישר y=4x−1y = 4x - 1?

  1. y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3
  2. y=−4x+33y = -4x + 33
  3. y=−14x+1y = -\frac{1}{4}x + 1
  4. y=14x−1y = \frac{1}{4}x - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3

Corrigé :

m⊥=−14m_{\perp} = -\frac{1}{4}

הופכי ונגדי ל-44

y−1=−14(x−8)y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 8)

שיפוע ונקודה

y=−14x+2+1=−14x+3\begin{aligned}y &= -\frac{1}{4}x + 2 + 1 \\ &= -\frac{1}{4}x + 3\end{aligned}

פותחים סוגריים

−14⋅8+3=1-\frac{1}{4} \cdot 8 + 3 = 1

בדיקה ✓

התשובה: y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3. y=−4x+33y = -4x + 33 רק החליף סימן בלי להפוך. y=14x−1y = \frac{1}{4}x - 1 הפך בלי להחליף סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ישר עובר דרך הנקודה (2, 3)(2,\,3) ומקביל לישר y=−x+1y = -x + 1. באיזו נקודה הוא חותך את ציר ה-yy? רשמו את שיעור ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

m=−1m = -1

מקבילים: אותו שיפוע

y−3=−(x−2) ⇒ y=−x+5\begin{aligned}y - 3 &= -(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

שיפוע ונקודה

(0, 5)(0,\,5)

החיתוך עם ציר ה-yy הוא bb

השיפוע מגיע מהישר הנתון, הנקודה מהשאלה. ה-11 של הישר הנתון לא רלוונטי: מקבילים נבדלים בדיוק ב-bb.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הוכיחו או הפריכו: הישרים 2x−y+3=02x - y + 3 = 0 ו-x+2y−4=0x + 2y - 4 = 0 מאונכים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

y=2x+3 ⇒ m1=2\begin{aligned}y &= 2x + 3 \ \Rightarrow \ m_1 \\ &= 2\end{aligned}

מבודדים yy בראשון

2y=−x+4 ⇒ y=−12x+2 ⇒ m2=−12\begin{aligned}2y &= -x + 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 2 \ \Rightarrow \ m_2 \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מבודדים yy בשני

2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

מכפלת השיפועים

הטענה נכונה. בצורה הכללית זה לא נראה: המקדמים 22 ו-11 לא אומרים כלום לפני הבידוד. אחרי הבידוד, המכפלה −1-1 מכריעה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe