Pente et équation de la droite

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ישר נבדל מישר אחר בשני דברים: כמה הוא תלול, ולאיזה כיוון הוא פונה. את שניהם מודד מספר אחד, השיפוע. לפני הנוסחה, שחקו עם שתי נקודות על ישר וראו מה נשאר קבוע.

m=y2−y1x2−x1=ΔyΔx\begin{aligned}m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{\Delta y}{\Delta x}\end{aligned}

השיפוע של הישר דרך (x1, y1)(x_1,\,y_1) ו-(x2, y2)(x_2,\,y_2)

Δ\Delta (דלתא) פירושה «הפרש». חשוב לחסר באותו סדר למעלה ולמטה: אם למעלה זה y2−y1y_2 - y_1, למטה זה x2−x1x_2 - x_1. אם הופכים את הסדר בשניהם, השיפוע לא משתנה. אם הופכים רק באחד, הסימן מתהפך, וזו הטעות הנפוצה ביותר.

שיפוע לפי שתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך A(−2, 5)A(-2,\,5) ו-B(4, −1)B(4,\,-1).

Δy=−1−5=−6\begin{aligned}\Delta y &= -1 - 5 \\ &= -6\end{aligned}

ההפרש ב-yy, מ-AA ל-BB

Δx=4−(−2)=6\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש ב-xx, גם מ-AA ל-BB

m=−66=−1\begin{aligned}m &= \frac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

הישר יורד: על כל צעד ימינה יורדים צעד אחד

הסימן של השיפוע

m>0m > 0

הישר עולה משמאל לימין

m<0m < 0

הישר יורד משמאל לימין

m=0m = 0

הישר אופקי, מקביל לציר ה-xx

Δx=0\Delta x = 0

הישר אנכי, מקביל לציר ה-yy: השיפוע אינו מוגדר, כי אסור לחלק באפס

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 5)(1,\,5) ו-(4, −1)(4,\,-1)? האם הוא עולה או יורד?

Voir la réponse et le corrigé

m=−1−54−1=−63=−2m = \frac{-1-5}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2. השיפוע שלילי, ולכן הישר יורד.

השיפוע כטנגנס של זווית

הישר יוצר זווית α\alpha עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. במשולש ישר הזווית של השיפוע, Δy\Delta y הוא הניצב שמול α\alpha ו-Δx\Delta x הוא הניצב שליד α\alpha. היחס ביניהם הוא בדיוק הטנגנס שלמדתם בכיתה ט:

m=tan⁡αm = \tan \alpha

α\alpha הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה-xx

כשהישר עולה, הזווית α\alpha חדה ו-tan⁡α=m\tan \alpha = m. כשהישר יורד, מסתכלים על הזווית החדה β\beta שהישר יוצר עם ציר ה-xx: tan⁡β=∣m∣\tan \beta = |m|, והשיפוע עצמו הוא m=−tan⁡βm = -\tan \beta. הסימן אומר את הכיוון, הטנגנס אומר את התלילות.

m=1 ⇔ α=45∘\begin{aligned}m &= 1 \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

עולה, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

m=−1 ⇔ β=45∘\begin{aligned}m &= -1 \ \Leftrightarrow \ \beta \\ &= 45^\circ\end{aligned}

יורד, אותה תלילות, סימן הפוך

m=3 ⇔ α=60∘\begin{aligned}m &= \sqrt{3} \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

תלול יותר: tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}

m=33 ⇔ α=30∘\begin{aligned}m &= \frac{\sqrt{3}}{3} \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

מתון: tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

ישר יורד ויוצר זווית של 45∘45^\circ עם ציר ה-xx. מהו שיפועו?

Voir la réponse et le corrigé

−1-1. tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, והישר יורד, ולכן השיפוע שלילי. הזווית נותנת את הגודל, הכיוון נותן את הסימן.

ישרים מקבילים לצירים

הישר הכחול y=3y = 3: כל נקודה עליו בגובה 33, השיפוע 00. הישר הכתום x=2x = 2: כל נקודה עליו עם x=2x = 2, ואין לו שיפוע. הם נפגשים ב-P(2, 3)P(2,\,3).
y=by = b

ישר אופקי: כל הנקודות באותו גובה bb. השיפוע 00. ציר ה-xx עצמו הוא y=0y = 0

x=ax = a

ישר אנכי: כל הנקודות עם אותו xx. אין שיפוע. ציר ה-yy עצמו הוא x=0x = 0

צורה מפורשת וצורה כללית

y=mx+by = mx + b

הצורה המפורשת: mm השיפוע, bb נקודת החיתוך עם ציר ה-yy

Ax+By+C=0Ax + By + C = 0

הצורה הכללית: הכול באגף אחד, אפס בשני. גם ישר אנכי נכתב כך: x−2=0x - 2 = 0

כדי לעבור מהצורה הכללית למפורשת, מבודדים את yy. למשל 3x+2y−6=03x + 2y - 6 = 0: מעבירים, 2y=−3x+62y = -3x + 6, ומחלקים ב-22: y=−32x+3y = -\frac{3}{2}x + 3. השיפוע הוא −32-\frac{3}{2} ולא 33: המקדם של xx בצורה הכללית אינו השיפוע.

מהצורה המפורשת לצורה הכללית

כתבו את הישר y=23x−4y = \frac{2}{3}x - 4 בצורה הכללית.

3y=2x−123y = 2x - 12

כופלים ב-33 כדי להיפטר מהשבר

2x−3y−12=02x - 3y - 12 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

−3y=−2x+12 ⇒ y=23x−4\begin{aligned}-3y &= -2x + 12 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{2}{3}x - 4\end{aligned}

בדיקה: מבודדים yy וחוזרים למקור ✓

מהם השיפוע ונקודת החיתוך עם ציר ה-yy של הישר 4x+2y−8=04x + 2y - 8 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

מבודדים: 2y=−4x+82y = -4x + 8, ולכן y=−2x+4y = -2x + 4. השיפוע −2-2, החיתוך עם ציר ה-yy ב-(0, 4)(0,\,4). מי שקרא «44» כשיפוע לא בודד את yy.

בכל שאלה על ישר בצורה הכללית, הצעד הראשון הוא לבודד את yy. רק בצורה המפורשת השיפוע ונקודת החיתוך נקראים ישירות.

שלוש הטעויות של השיפוע.

m=x2−x1y2−y1m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

ההפרש ב-yy למעלה. שיפוע הוא «כמה עולים» חלקי «כמה מתקדמים».

m=y2−y1x1−x2m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

אותו סדר למעלה ולמטה. סדר הפוך באחד מהם הופך את הסימן, וישר עולה נהיה יורד.

2x+3y−6=0 ⇒ m=2\begin{aligned}2x + 3y - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ m \\ &= 2\end{aligned}
y=−23x+2 ⇒ m=−23\begin{aligned}y &= -\frac{2}{3}x + 2 \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

בצורה הכללית המקדם של xx אינו השיפוע. מבודדים את yy קודם.

Exercices

Exercice 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1,1)(1, 1) ו-(4,7)(4, 7)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

m=7−14−1=2\begin{aligned}m &= \frac{7-1}{4-1} \\ &= 2\end{aligned}

הפרש y חלקי הפרש x

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו שיפוע הישר העובר דרך (−2, 5)(-2,\,5) ו-(4, −1)(4,\,-1)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

Δy=−1−5=−6\begin{aligned}\Delta y &= -1 - 5 \\ &= -6\end{aligned}

ההפרש ב-yy

Δx=4−(−2)=6\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש ב-xx, באותו סדר

m=−66=−1\begin{aligned}m &= \frac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

מי שמקבל 11 חיסר בסדר הפוך במונה או במכנה. הישר יורד, ולכן השיפוע חייב להיות שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזה מהישרים הבאים יורד?

  1. y=3x−2y = 3x - 2
  2. y=2y = 2
  3. y=−3x+2y = -3x + 2
  4. x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=−3x+2y = -3x + 2

Corrigé :

m=−3<0m = -3 < 0

שיפוע שלילי: יורד

m=3m=0\begin{aligned}m &= 3 \\ \quad m &= 0\end{aligned}

עולה, אופקי

x=3x = 3

אנכי: אין שיפוע, לא עולה ולא יורד

התשובה: y=−3x+2y = -3x + 2. המספר החופשי +2+2 לא משפיע על הכיוון, רק על הגובה. x=3x = 3 הוא ישר אנכי, ואי אפשר לומר עליו «יורד».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו שיפוע הישר 3x−4y+8=03x - 4y + 8 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

−4y=−3x−8-4y = -3x - 8

מעבירים את yy לבד

y=34x+2y = \frac{3}{4}x + 2

מחלקים ב-−4-4: שני הסימנים מתהפכים

m=34=0.75\begin{aligned}m &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

השיפוע

מי שענה 33 קרא את המקדם של xx בצורה הכללית. מי שענה −34-\frac{3}{4} שכח שמחלקים ב-−4-4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון הישר 5x+y−7=05x + y - 7 = 0. השלימו.

השיפוע m=m = ____ , החיתוך עם ציר ה-yy בנקודה (0,(0, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השיפוע m=m = -5 , החיתוך עם ציר ה-yy בנקודה (0,(0, 7 ))

Corrigé :

y=−5x+7y = -5x + 7

מבודדים את yy

m=−5(0, 7)\begin{aligned}m &= -5 \\ \qquad (0,\,7)\end{aligned}

קוראים מהצורה המפורשת

החיתוך עם ציר ה-yy נקרא רק אחרי הבידוד. בצורה הכללית ה-−7-7 נראה כמו bb, אבל הסימן שלו מתהפך במעבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ישר עובר דרך ראשית הצירים, עולה, ויוצר זווית של 45∘45^\circ עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. מהי משוואתו?

  1. x=0x = 0
  2. y=xy = x
  3. y=45xy = 45x
  4. y=−xy = -x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=xy = x

Corrigé :

m=tan⁡45∘=1\begin{aligned}m &= \tan 45^\circ \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע מהזווית

b=0b = 0

עובר דרך (0, 0)(0,\,0)

y=xy = x

המשוואה

התשובה: y=xy = x. השיפוע הוא הטנגנס של הזווית, לא הזווית עצמה: 4545 אינו שיפוע. y=−xy = -x יורד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ישר עולה יוצר זווית של 60∘60^\circ עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. מהו שיפועו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.73

Corrigé :

m=tan⁡60∘=3\begin{aligned}m &= \tan 60^\circ \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

3≈1.73\sqrt{3} \approx 1.73

במחשבון

השיפוע הוא הטנגנס, לא הסינוס ולא הזווית. בדיקה הגיונית: 60∘60^\circ תלול יותר מ-45∘45^\circ, ולכן השיפוע גדול מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: השיפוע של הישר x=4x = 4 הוא 00.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(4, 0), (4, 5)(4,\,0),\ (4,\,5)

שתי נקודות על הישר: אותו xx

Δx=4−4=0\begin{aligned}\Delta x &= 4 - 4 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה בנוסחת השיפוע מתאפס

m=50m = \frac{5}{0}

לא מוגדר

הטענה לא נכונה. הישר x=4x = 4 אנכי, ושיפוע אנכי אינו מוגדר. שיפוע 00 יש לישר אופקי, כמו y=4y = 4. שני הישרים האלה מתבלבלים כל הזמן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהי הצורה הכללית של הישר y=12x+3y = \frac{1}{2}x + 3?

  1. x−2y−6=0x - 2y - 6 = 0
  2. 2x−y+3=02x - y + 3 = 0
  3. x−2y+6=0x - 2y + 6 = 0
  4. x+2y+6=0x + 2y + 6 = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x−2y+6=0x - 2y + 6 = 0

Corrigé :

2y=x+62y = x + 6

כופלים ב-22

x−2y+6=0x - 2y + 6 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

−2y=−x−6 ⇒ y=12x+3\begin{aligned}-2y &= -x - 6 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 3\end{aligned}

בדיקה ✓

התשובה: x−2y+6=0x - 2y + 6 = 0. אפשר לבדוק כל אפשרות בהצבת הנקודה (0, 3)(0,\,3): רק בנכונה מתקבל 0−6+6=00 - 6 + 6 = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו את הישרים לפי סימן השיפוע.

  • שיפוע חיובי: עולה
  • שיפוע שלילי: יורד
  • 2x−3y=02x - 3y = 0
  • 3x−y+2=03x - y + 2 = 0
  • x+y=5x + y = 5
  • y=−0.5xy = -0.5x
  • y=−x+4y = -x + 4
  • y=2x−1y = 2x - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=2x−1y = 2x - 1 — שיפוע חיובי: עולה · y=−x+4y = -x + 4 — שיפוע שלילי: יורד · 3x−y+2=03x - y + 2 = 0 — שיפוע חיובי: עולה · x+y=5x + y = 5 — שיפוע שלילי: יורד · y=−0.5xy = -0.5x — שיפוע שלילי: יורד · 2x−3y=02x - 3y = 0 — שיפוע חיובי: עולה

Corrigé :

3x−y+2=0 ⇒ y=3x+2\begin{aligned}3x - y + 2 &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x + 2\end{aligned}

מבודדים: עולה

x+y=5 ⇒ y=−x+5\begin{aligned}x + y &= 5 \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

יורד

2x−3y=0 ⇒ y=23x\begin{aligned}2x - 3y &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{2}{3}x\end{aligned}

עולה

בצורה הכללית אי אפשר לקרוא את הסימן ישירות: 3x−y+2=03x - y + 2 = 0 נראה עם מינוס, אבל אחרי הבידוד השיפוע חיובי. מבודדים קודם.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe