On résout ensemble · Introduction à la géométrie analytique · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, כל אחת על צורה אחרת שחוזרת במבחנים: משולש ישר זווית, ישר עם פרמטר מול פרבולה, מעגל שמרכזו על ישר, משיק ושטח, ומרובע שצריך לזהות. בכל שלב אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה ומאפשרת לנסות שוב.

לפני שלוחצים — אמרו לעצמכם את הצעד. הפער בין מה שחשבתם לבין הצעד הנכון הוא מה שמלמד, לא קריאת הפתרון. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם» — פתרו אותה לבד לפני שפותחים את התשובה.

1. משולש ישר זווית ומעגל חוסם

Activité interactive

שאלה 1

נתונות הנקודות $A(-1,2)$ , $B(3,4)$ ו- $C(5,0)$ . (א) הוכיחו כי המשולש $ABC$ ישר זווית. (ב) חשבו את שטחו. (ג) מצאו את משוואת המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים.

איך מוכיחים שיש במשולש זווית ישרה?

מחשבים את שלוש הצלעות ובודקים את משפט פיתגורס ההפוך.

Voir la réponse et le corrigé

הדרך הזאת מגיעה לתשובה, אבל היא ארוכה: שלושה אורכים עם שורשים. בשיפועים מספיקים שני חישובים קצרים — וזה הצעד שנבחר כאן.

מחשבים שיפועים של שתי צלעות ובודקים אם המכפלה $-1$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. מאונכות מזהים בשיפועים, וזה הכלי הקצר ביותר.

משרטטים ורואים שהזווית ב- $B$ נראית ישרה.

Voir la réponse et le corrigé

שרטוט אינו הוכחה. צריך נימוק מחושב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{3+1} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{0-4}{5-3} \\ &= -2\end{aligned}

המכפלה $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$ , ולכן $AB \perp BC$ והזווית הישרה ב- $B$ .

איך מחשבים את השטח?

$\frac{AB \cdot BC}{2}$ — מכפלת הניצבים חלקי 2.

Voir la réponse et le corrigé

כן. $AB$ ו- $BC$ הם הניצבים, כי הזווית הישרה ב- $B$ .

$\frac{AB \cdot AC}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

$AC$ הוא היתר, לא ניצב. מכפלת ניצב ביתר אינה נותנת שטח.

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{20} \Rightarrow S \\ &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

המשולש גם שווה שוקיים: שני הניצבים באורך $\sqrt{20}$ .

איפה מרכז המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים?

באמצע היתר $AC$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן אמצע היתר רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים.

בקודקוד $B$ , שבו הזווית הישרה.

Voir la réponse et le corrigé

$B$ נמצא על המעגל, לא במרכזו.

בנקודה $(0,0)$ .

Voir la réponse et le corrigé

אין שום נתון שקושר את הראשית למשולש.

\begin{aligned}M &= (2,1) \\ \quad R^2 &= \frac{AC^2}{4} \\ &= \frac{40}{4} \\ &= 10\end{aligned}

משוואת המעגל: $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ . בדיקה ב- $B$ : $1+9=10$ .

Voir la réponse et le corrigé

(א) $m_{AB}\cdot m_{BC}=-1$ . (ב) $S=10$ . (ג) $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ . המלכודת ב-(ג): לחפש את המרכז בקודקוד הזווית הישרה.

Faire l'activité sur elev

תורכם: הוכיחו שבמשולש $P(0,0)$ , $Q(1,3)$ , $R(7,1)$ הזווית ב- $Q$ ישרה, וחשבו את שטחו.

Voir la réponse et le corrigé

$m_{PQ}=3$ , $m_{QR}=\frac{1-3}{7-1}=-\frac{1}{3}$ , מכפלה $-1$ . $PQ=\sqrt{10}$ , $QR=\sqrt{40}$ , והשטח $\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}}{2}=\frac{20}{2}=10$ .

2. ישר עם פרמטר מול פרבולה

Activité interactive

שאלה 2

נתונים הפרבולה $y=x^2-2x+3$ והישר $y=kx+2$ . (א) לאילו ערכי $k$ הישר משיק לפרבולה? (ב) מצאו את נקודות ההשקה.

מה הצעד הראשון?

משווים את שני הביטויים של $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. נקודות המפגש מקיימות את שתי המשוואות.

גוזרים את הפרבולה.

Voir la réponse et le corrigé

בפרק הזה עוד אין נגזרת — ואין בה צורך: מספר נקודות המפגש נקבע מהמשוואה.

מציבים $x=0$ .

Voir la réponse et le corrigé

כך מוצאים רק את נקודת החיתוך עם ציר $y$ , לא את המפגש.

\begin{aligned}x^2 - 2x + 3 &= kx + 2 \Rightarrow x^2 - (2+k)x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ממעלה שנייה עם פרמטר.

מתי הישר משיק?

כאשר $\Delta > 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

אז יש שתי נקודות מפגש — הישר חותך.

כאשר $\Delta = 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. פתרון יחיד — נקודת השקה אחת.

כאשר $k = 0$ בלבד.

Voir la réponse et le corrigé

$k=0$ הוא אחד הפתרונות — אבל יש עוד אחד. צריך לפתור, לא לנחש.

\begin{aligned}\Delta &= (2+k)^2 - 4 \\ &= 0 \Rightarrow 2 + k \\ &= \pm 2 \Rightarrow k \\ &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= -4\end{aligned}

שני ישרים משיקים.

איך מוצאים את נקודת ההשקה כש- $k=-4$ ?

מציבים $k=-4$ במשוואה ופותרים: $x^2+2x+1=0$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. הפתרון היחיד הוא שיעור ה- $x$ של ההשקה.

מציבים $x=-4$ בפרבולה.

Voir la réponse et le corrigé

$-4$ הוא ערך של $k$ , לא של $x$ .

\begin{aligned}k &= 0: \ (1,2); \qquad k \\ &= -4: \ (x+1)^2 \\ &= 0 \Rightarrow (-1,6)\end{aligned}

בדיקה בפרבולה: $1+2+3=6$ .

Voir la réponse et le corrigé

$k=0$ עם השקה ב- $(1,2)$ , ו- $k=-4$ עם השקה ב- $(-1,6)$ . המלכודת: לעצור אחרי ערך אחד של $k$ .

Faire l'activité sur elev

תורכם: לאילו ערכי $k$ הישר $y=kx+1$ משיק לפרבולה $y=x^2+2x+5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$x^2+(2-k)x+4=0$ , $\Delta=(2-k)^2-16=0$ , ולכן $2-k=\pm 4$ : $k=-2$ או $k=6$ . ההשקות: $(-2,5)$ ו- $(2,13)$ .

3. מעגל שמרכזו על ישר נתון

Activité interactive

שאלה 3

מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x+1$ , והמעגל עובר דרך $A(1,0)$ ו- $B(5,4)$ . מצאו את משוואת המעגל.

מה יודעים על מרכז מעגל שעובר דרך $A$ ו- $B$ ?

הוא אמצע הקטע $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

רק אם $AB$ קוטר — וזה לא נתון.

הוא נמצא על האנך האמצעי של $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. המרכז במרחק שווה מ- $A$ ומ- $B$ , וזה בדיוק האנך האמצעי.

הוא נמצא על הישר $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

אז הוא היה יכול להיות במרחק שווה מ- $A$ ומ- $B$ רק באמצע — שוב הנחה שאינה נתונה.

\begin{aligned}M_{AB} &= (3,2) \\ \ m_{AB} &= 1 \Rightarrow y - 2 \\ &= -(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -x + 5\end{aligned}

האנך האמצעי של $AB$ .

ואיך מוצאים את המרכז עצמו?

חותכים את האנך האמצעי עם הישר $y=x+1$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. המרכז נמצא על שני הישרים.

מציבים את $A$ בישר $y=x+1$ .

Voir la réponse et le corrigé

$A$ אינו המרכז — הוא נקודה על המעגל.

\begin{aligned}-x + 5 &= x + 1 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 3\end{aligned}

המרכז $(2,3)$ .

מה נשאר?

$R^2$ — המרחק בריבוע מהמרכז ל- $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן, ובודקים גם עם $B$ .

$R$ — אורך הקטע $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

$AB$ הוא מיתר, לא רדיוס.

\begin{aligned}R^2 &= (2-1)^2 + (3-0)^2 \\ &= 10 \Rightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2 \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה ב- $B$ : $9+1=10$ .

Voir la réponse et le corrigé

$(x-2)^2+(y-3)^2=10$ . המלכודת: להניח שהמרכז הוא אמצע $AB$ — הנחה שאינה בנתונים.

Faire l'activité sur elev

תורכם: מרכז מעגל נמצא על הישר $y=-x+7$ , והמעגל עובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(5,2)$ . מהו $R^2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

הקטע $AB$ אופקי, ולכן האנך האמצעי שלו אנכי: $x=3$ (אין כאן «הופכי בסימן הפוך» — לישר אנכי אין שיפוע). חיתוך עם $y=-x+7$ : המרכז $(3,4)$ . $R^2=2^2+2^2=8$ , ובדיקה עם $B$ : $4+4=8$ .

4. משיק למעגל ושטח משולש

Activité interactive

שאלה 4

\begin{aligned}x^2 + y^2 &= 25 \\ \quad A(-3,4)\end{aligned}

דרך הנקודה $A$ שעל המעגל העבירו משיק, והוא חותך את ציר $x$ בנקודה $P$ . $O$ ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש $OAP$ . לחצו «להתחיל».

A על המעגל

(-3)^2 + 4^2 = 25 \ \checkmark

תמיד בודקים קודם שהנקודה אכן על המעגל.

שיפוע הרדיוס

\begin{aligned}m_1 &= \frac{4-0}{-3-0} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז $O$ אל $A$ .

שיפוע המשיק

m_2 = \frac{3}{4}

הופכי בסימן הפוך.

משוואת המשיק

\begin{aligned}y - 4 &= \frac{3}{4}(x + 3) \Rightarrow y \\ &= \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\end{aligned}

ישר לפי נקודה ושיפוע.

הנקודה P

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x \\ &= -\frac{25}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$ .

השטח

\begin{aligned}S &= \frac{OP \cdot 4}{2} \\ &= \frac{\frac{25}{3} \cdot 4}{2} \\ &= \frac{50}{3}\end{aligned}

הבסיס $OP$ על ציר $x$ , והגובה אליו הוא שיעור ה- $y$ של $A$ .

$S=\frac{50}{3}$ . המלכודת: אורך הוא חיובי — $OP=\frac{25}{3}$ , גם כש- $P$ משמאל לראשית.

Faire l'activité sur elev

תורכם: המשיק למעגל $x^2+y^2=13$ בנקודה $(2,3)$ יוצר משולש עם הצירים. מהו שטחו?

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע הרדיוס $\frac{3}{2}$ , שיפוע המשיק $-\frac{2}{3}$ : $y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$ . חיתוכים: $(\frac{13}{2},0)$ ו- $(0,\frac{13}{3})$ . השטח $\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{13}{3}=\frac{169}{12}\approx 14.08$ .

5. איזה מרובע זה?

Activité interactive

שאלה 5

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(2,3)$ , $C(4,-1)$ ו- $D(0,-3)$ . האם המרובע $ABCD$ הוא ריבוע? נמקו.

מאיפה מתחילים?

בודקים אם הצלעות הנגדיות מקבילות.

Voir la réponse et le corrigé

כן. זוג אחרי זוג: קודם מקבילית, אחר כך מה שמעבר לה.

בודקים שכל ארבע הצלעות שוות.

Voir la réponse et le corrigé

צלעות שוות נותנות מעוין — ומעוין אינו בהכרח ריבוע. זה חצי מהדרך.

מודדים את האלכסונים.

Voir la réponse et le corrigé

אפשרי, אבל זה כלי של מלבן. נתחיל מהבסיס — מקבילות.

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= m_{AD} \\ &= -2\end{aligned}

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות — מקבילית.

מה עוד חסר כדי שזה יהיה ריבוע?

זווית ישרה וזוג צלעות סמוכות שוות.

Voir la réponse et le corrigé

כן. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן; מלבן עם צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

שום דבר — מקבילית היא ריבוע.

Voir la réponse et le corrigé

לא כל מקבילית היא ריבוע. חסרות עוד שתי תכונות.

\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1 \Rightarrow AB \perp BC; \quad AB^2 \\ &= BC^2 \\ &= 20\end{aligned}

זווית ישרה, וצלעות סמוכות שוות.

Voir la réponse et le corrigé

כן, $ABCD$ ריבוע: מקבילית (שני זוגות מקבילים), עם זווית ישרה ועם צלעות סמוכות שוות. המלכודת: לעצור אחרי «ארבע צלעות שוות» — כך מוכיחים רק מעוין.

Faire l'activité sur elev

תורכם: האם המרובע $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ הוא ריבוע?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $m_{AB}=m_{DC}=\frac{1}{3}$ ו- $m_{BC}=m_{AD}=3$ — מקבילית. $AB^2=BC^2=10$ — מעוין. אבל $\frac{1}{3}\cdot 3=1\neq -1$ — אין זווית ישרה, ולכן זה מעוין שאינו ריבוע.

Exercices

Exercice 1

נתונות הנקודות $P(0,1)$ , $Q(2,5)$ ו- $R(10,1)$ . הוכיחו שבמשולש $PQR$ הזווית ב- $Q$ ישרה, וחשבו את שטח המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

\begin{aligned}m_{PQ} &= 2 \\ \ m_{QR} &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מכפלת השיפועים $-1$ — הזווית ב- $Q$ ישרה

\begin{aligned}PQ &= \sqrt{20} \\ \ QR &= \sqrt{80}\end{aligned}

אורכי הניצבים

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{80}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{1600}}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$S=20$ . המלכודת: לקחת את $PR=10$ כניצב — $PR$ הוא היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הישר $y=kx+2$ משיק לפרבולה $y=x^2+4x+6$ עבור שני ערכים של $k$ . מהו הערך החיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 + 4x + 6 &= kx + 2 \Rightarrow x^2 + (4-k)x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}\Delta &= (4-k)^2 - 16 \\ &= 0 \Rightarrow 4 - k \\ &= \pm 4\end{aligned}

משיק — $\Delta=0$

\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= 8\end{aligned}

הערך החיובי: $8$

$k=8$ . המלכודת: לכתוב $4-k=4$ בלבד ולקבל רק $k=0$ — השורש של $16$ הוא $\pm 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x-1$ , והמעגל עובר דרך $A(0,5)$ ו- $B(4,3)$ . מצאו את $R^2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

\begin{aligned}M_{AB} &= (2,4) \\ \ m_{AB} &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

אמצע ושיפוע של $AB$

\begin{aligned}y - 4 &= 2(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 2x\end{aligned}

האנך האמצעי

2x = x - 1 \Rightarrow (-1,-2)

המרכז — חיתוך עם הישר הנתון

\begin{aligned}R^2 &= 1^2 + 7^2 \\ &= 50\end{aligned}

המרחק בריבוע אל $A$ ; בדיקה עם $B$ : $25+25=50$

$R^2=50$ . המלכודת: המרכז אינו אמצע $AB$ — $(2,4)$ אינו על הישר $y=x-1$ בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המשיק למעגל $x^2+y^2=10$ בנקודה $(1,3)$ יוצר משולש עם הצירים. חשבו את שטח המשולש, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16.67

Corrigé :

\begin{aligned}m_1 &= 3 \Rightarrow m_2 \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס, ושיפוע המשיק המאונך לו

\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}\end{aligned}

משוואת המשיק

(10,0), \ \left(0, \tfrac{10}{3}\right)

חיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{3} \\ &= \frac{50}{3} \approx 16.67\end{aligned}

$\frac{50}{3}\approx 16.67$ . המלכודת: לקחת את שיפוע הרדיוס כשיפוע המשיק — ישר כזה עובר דרך הראשית ואין משולש בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ שקודקודיו $A(0,0)$ , $B(4,2)$ , $C(6,6)$ , $D(2,4)$ הוא מלבן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2} \\ \ m_{BC} &= m_{AD} \\ &= 2\end{aligned}

שני זוגות מקבילים — מקבילית

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \neq -1

הצלעות הסמוכות אינן מאונכות

\begin{aligned}AB^2 &= BC^2 \\ &= 20\end{aligned}

הצלעות שוות — זה מעוין

לא נכון. זה מעוין שאינו מלבן. המלכודת: שיפועים $\frac{1}{2}$ ו- $2$ נראים «הופכיים», אבל למאונכות צריך גם סימן הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

1. משולש ישר זווית ומעגל חוסם

2. ישר עם פרמטר מול פרבולה

3. מעגל שמרכזו על ישר נתון

4. משיק למעגל ושטח משולש

5. איזה מרובע זה?

Exercices

La suite se pratique sur elev