Le cercle dans le repère

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מעגל הוא אוסף כל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע RR מנקודה קבועה — המרכז. יש לנו כבר נוסחת מרחק, ולכן אפשר לכתוב את ההגדרה הזאת כמשוואה.

ארבע נקודות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 55. בדקו אחת: 32+42=9+16=25=523^2+4^2=9+16=25=5^2. ומה עם (−4,3)(-4,3)? גם 16+9=2516+9=25.

המעגל הקנוני — מרכז בראשית

נקודה (x,y)(x,y) נמצאת על המעגל שמרכזו O(0,0)O(0,0) ורדיוסו RR אם ורק אם המרחק שלה מ-OO הוא RR: x2+y2=R\sqrt{x^2+y^2}=R. מעלים בריבוע:

x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2

המעגל הקנוני — מרכזו בראשית הצירים

האם הנקודה (1,−5)(1,-5) נמצאת על המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25? ואם לא — בתוכו או מחוצה לו?

Voir la réponse et le corrigé

1+25=26>251+25=26>25. הנקודה מחוץ למעגל: המרחק שלה מהמרכז, 26\sqrt{26}, גדול מהרדיוס 55.

מעגל שמרכזו בכל נקודה

(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

מעגל שמרכזו (a,b)(a,b) ורדיוסו RR

המרכז (a, b)(a,\, b), הרדיוס RR. באגף הימני יושב הרדיוס בריבוע, ובתוך הסוגריים מינוס — לכן סימני המרכז הפוכים לסימנים שרואים במשוואה.

מהו רדיוס המעגל (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25, ומהו מרכזו?

Voir la réponse et le corrigé

הרדיוס 5, ולא 25. המרכז (2,−1)(2,-1) — הסימן של bb מתהפך, כי y+1=y−(−1)y+1=y-(-1).

מציאת משוואת מעגל

כדי לכתוב משוואת מעגל צריך שני דברים בלבד: מרכז ורדיוס. בדרך כלל אחד מהם חבוי בנתונים.

M, PM, \ P

נתונים מרכז ונקודה על המעגל — RR הוא המרחק MPMP.

A, BA, \ B

נתונים קצות קוטר — המרכז הוא אמצע ABAB, והרדיוס חצי מאורך ABAB.

מעגל לפי קוטר

הקטע ABAB הוא קוטר במעגל, כאשר A(−1,4)A(-1,4) ו-B(5,−4)B(5,-4). מצאו את משוואת המעגל.

M=(−1+52,4−42)=(2,0)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4-4}{2}\right) \\ &= (2,0)\end{aligned}

המרכז — אמצע הקוטר

AB=62+82=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

אורך הקוטר

R=5R = 5

הרדיוס — חצי הקוטר

(x−2)2+y2=25(x-2)^2 + y^2 = 25

משוואת המעגל

ישר ומעגל

כמו בישר ופרבולה: מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש.

22

הישר חותך את המעגל.

11

הישר משיק לו.

00

הישר אינו פוגש אותו.

המשיק — הרדיוס מאונך לו

מהגאומטריה אנחנו יודעים: הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק. בהנדסה אנליטית זה אומר שהשיפועים שלהם מקיימים m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.

11

מוצאים את שיפוע הרדיוס — ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה.

22

שיפוע המשיק הוא ההופכי בסימן הפוך.

33

ומשם — משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

משיק למעגל

מעגל שמרכזו (0,0)(0,0) ורדיוסו 55. מצאו את המשיק בנקודה (−4,3)(-4,3).

m1=3−0−4−0=−34\begin{aligned}m_1 &= \frac{3 - 0}{-4 - 0} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m2=43m_2 = \frac{4}{3}

שיפוע המשיק: הופכי וסימן הפוך

y−3=43(x+4)y - 3 = \frac{4}{3}(x + 4)

מציבים את נקודת ההשקה

y=43x+253y = \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}

משוואת המשיק. בדיקה: 43⋅(−4)+253=3\frac{4}{3}\cdot(-4)+\frac{25}{3}=3

נתונים מרכז מעגל ונקודת השקה. איך מוצאים את שיפוע המשיק?

Voir la réponse et le corrigé

קודם שיפוע הרדיוס — מהמרכז אל נקודת ההשקה — ואז ההופכי בסימן הפוך, כי הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

שלוש הטעויות של המעגל.

(x−2)2+(y+1)2=25⇒R=25\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+1)^2 &= 25 \Rightarrow R \\ &= 25\end{aligned}
R=5R = 5

באגף הימני יושב הרדיוס בריבוע.

(x−2)2+(y+1)2=25⇒M(−2,1)(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25 \Rightarrow M(-2,1)
M(2,−1)M(2,-1)

בתוך הסוגריים יש מינוס: x−2x-2 פירושו a=2a=2.

m2=m1m_2 = m_1
m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

המשיק והרדיוס מאונכים, לא מקבילים.

Exercices

Exercice 1

מהו רדיוס המעגל x2+y2=36x^2 + y^2 = 36?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

R2=36R^2 = 36

האגף הימני הוא הרדיוס בריבוע

R=6R = 6

שורש — הרדיוס חיובי

R=6R=6. מי שענה 3636 שכח שבאגף הימני יושב R2R^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 55. מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה (3, 4)(3,\, 4)?

  1. 43\frac{4}{3}
  2. −34-\frac{3}{4}
  3. −43-\frac{4}{3}
  4. 34\frac{3}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −34-\frac{3}{4}

Corrigé :

m1=4−03−0=43\begin{aligned}m_1 &= \frac{4-0}{3-0} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס, מהמרכז לנקודה

m2=−34m_2 = -\frac{3}{4}

הופכי וסימן הפוך

הבחירה הנכונה: «−34-\frac{3}{4}». «43\frac{4}{3}» — שיפוע הרדיוס עצמו. «−43-\frac{4}{3}» — הפך רק את הסימן. «34\frac{3}{4}» — הפך רק את השבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הצבת משוואת ישר במשוואת מעגל נתנה משוואה ממעלה שנייה עם פתרון יחיד. מה המצב ההדדי של הישר והמעגל?

  1. הישר עובר דרך מרכז המעגל
  2. הישר חותך את המעגל בשתי נקודות
  3. הישר אינו פוגש את המעגל
  4. הישר משיק למעגל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הישר משיק למעגל

Corrigé :

⇒\Rightarrow

פתרון אחד נותן נקודת מפגש אחת: כל פתרון של המשוואה הוא שיעור xx של נקודת מפגש

הבחירה הנכונה: «הישר משיק למעגל». «עובר דרך המרכז» — ישר כזה חותך את המעגל תמיד בשתי נקודות, קצות קוטר. «אינו פוגש» — מתאים לאפס פתרונות, לא לאחד. «חותך בשתי נקודות» — מתאים לשני פתרונות, לא לאחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו מרכז המעגל (x−2)2+(y+5)2=9(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9?

  1. (−2, −5)(-2,\, -5)
  2. (2, 5)(2,\, 5)
  3. (2, −5)(2,\, -5)
  4. (−2, 5)(-2,\, 5)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (2, −5)(2,\, -5)

Corrigé :

(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

הצורה של משוואת מעגל

x−2⇒a=2;y+5=y−(−5)⇒b=−5\begin{aligned}x - 2 \Rightarrow a &= 2; \quad y + 5 \\ &= y - (-5) \Rightarrow b \\ &= -5\end{aligned}

הנוסחה מחסרת

הבחירה הנכונה: «(2,−5)(2,-5)». «(−2,5)(-2,5)» — הפך את שני הסימנים. «(2,5)(2,5)» — קרא את bb בלי להפוך. «(−2,−5)(-2,-5)» — הפך את aa ולא את bb. פלוס בסוגריים — מינוס במרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מעגל שמרכזו M(−1,2)M(-1,2) עובר דרך הנקודה P(3,5)P(3,5). השלימו את משוואתו.

(x+1)2+(y−2)2=(x+1)^2+(y-2)^2= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x+1)2+(y−2)2=(x+1)^2+(y-2)^2= 25

Corrigé :

R2=MP2=(3−(−1))2+(5−2)2\begin{aligned}R^2 &= MP^2 \\ &= (3-(-1))^2 + (5-2)^2\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה

=16+9=25= 16 + 9 = 25

אין צורך בשורש — המשוואה צריכה את R2R^2

2525. מי שכתב 55 חישב את RR ושכח שבמשוואה יושב R2R^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הקטע ABAB הוא קוטר במעגל, כאשר A(−2,1)A(-2,1) ו-B(4,9)B(4,9). מהי משוואת המעגל?

  1. (x+1)2+(y+5)2=25(x+1)^2+(y+5)^2=25
  2. (x−1)2+(y−5)2=5(x-1)^2+(y-5)^2=5
  3. (x−1)2+(y−5)2=100(x-1)^2+(y-5)^2=100
  4. (x−1)2+(y−5)2=25(x-1)^2+(y-5)^2=25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (x−1)2+(y−5)2=25(x-1)^2+(y-5)^2=25

Corrigé :

M=(−2+42,1+92)=(1,5)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+9}{2}\right) \\ &= (1,5)\end{aligned}

המרכז — אמצע הקוטר

AB=36+64=10⇒R=5\begin{aligned}AB &= \sqrt{36+64} \\ &= 10 \Rightarrow R \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס — חצי הקוטר

(x−1)2+(y−5)2=25(x-1)^2 + (y-5)^2 = 25

הבחירה הנכונה: «(x−1)2+(y−5)2=25(x-1)^2+(y-5)^2=25». «=100=100» — לקח את הקוטר כרדיוס. «(x+1)2+(y+5)2=25(x+1)^2+(y+5)^2=25» — טעות בסימני המרכז. «=5=5» — כתב RR במקום R2R^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25. מיינו את הנקודות: בתוך המעגל או מחוצה לו?

  • בתוך המעגל
  • מחוץ למעגל
  • (−4,1)(-4,1)
  • (0,−2)(0,-2)
  • (3,−2)(3,-2)
  • (4,5)(4,5)
  • (5,6)(5,6)
  • (7,0)(7,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (4,5)(4,5) — בתוך המעגל · (5,6)(5,6) — מחוץ למעגל · (0,−2)(0,-2) — בתוך המעגל · (−4,1)(-4,1) — מחוץ למעגל · (3,−2)(3,-2) — בתוך המעגל · (7,0)(7,0) — מחוץ למעגל

Corrigé :

(4,5): 9+9=18<25(4,5): \ 9 + 9 = 18 < 25

מציבים ומשווים ל-R2R^2: קטן — בפנים

(−4,1): 25+1=26>25(-4,1): \ 25 + 1 = 26 > 25

גדול — בחוץ

משווים את המרחק בריבוע ל-R2=25R^2=25, לא ל-R=5R=5: מי שמשווה 1818 ל-55 «מוציא» את כל הנקודות מהמעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הישר y=x+1y=x+1 חותך את המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25 בשתי נקודות. מצאו אותן.

ברביע הראשון: (( ____ ,, ____ )); ברביע השלישי: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ברביע הראשון: (( 3 ,, 4 )); ברביע השלישי: (( -4 ,, -3 ))

Corrigé :

x2+(x+1)2=25x^2 + (x+1)^2 = 25

מציבים את הישר במעגל

2x2+2x−24=0⇒x2+x−12=0\begin{aligned}2x^2 + 2x - 24 &= 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}

פותחים ומחלקים ב-22

(x+4)(x−3)=0⇒x=3 או x=−4\begin{aligned}(x+4)(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}
x=3: y=4;x=−4: y=−3\begin{aligned}x &= 3: \ y \\ &= 4; \quad x \\ &= -4: \ y \\ &= -3\end{aligned}

מציבים בישר

(3,4)(3,4) ו-(−4,−3)(-4,-3). הטעות: (x+1)2=x2+1(x+1)^2 = x^2+1 — שוכחים את האיבר האמצעי 2x2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הנקודה (k,2)(k,2) נמצאת על המעגל (x−3)2+(y+2)2=25(x-3)^2+(y+2)^2=25, ו-k>3k>3. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(k−3)2+(2+2)2=25(k-3)^2 + (2+2)^2 = 25

מציבים את הנקודה

(k−3)2=9⇒k−3=±3\begin{aligned}(k-3)^2 &= 9 \Rightarrow k - 3 \\ &= \pm 3\end{aligned}

שני ערכים אפשריים

k=6 או k=0\begin{aligned}k &= 6 \ \text{או} \ k \\ &= 0\end{aligned}

רק k=6k=6 גדול מ-33

k=6k=6. הטעות: (2+2)2(2+2)^2 נכתב (2−2)2=0(2-2)^2=0 — מי שמציב y=2y=2 צריך y+2=4y+2=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הנקודה A(3,2)A(3,2) נמצאת על המעגל (x−1)2+(y+2)2=20(x-1)^2+(y+2)^2=20. דרך AA העבירו משיק למעגל. באיזו נקודה חותך המשיק את ציר yy? כתבו את שיעור ה-yy (כשבר עשרוני).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.5

Corrigé :

(3−1)2+(2+2)2=4+16=20 ✓\begin{aligned}(3-1)^2 + (2+2)^2 &= 4 + 16 \\ &= 20 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: AA על המעגל

m1=2−(−2)3−1=2\begin{aligned}m_1 &= \frac{2-(-2)}{3-1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע הרדיוס MAMA, כאשר M(1,−2)M(1,-2)

m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}

המשיק מאונך לרדיוס

y−2=−12(x−3)⇒y=−12x+3.5\begin{aligned}y - 2 &= -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{2}x + 3.5\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=3.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3.5\end{aligned}

3.53.5. הטעות הנפוצה: לקחת את המרכז (−1,2)(-1,2) במקום (1,−2)(1,-2) — ואז כל השיפועים יוצאים שגויים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe