On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות במבנה של שאלון הבגרות, כל אחת על נושא אחר של הפרק: סקיצה של פולינום מפורק, זוגיות עם פרמטר, הרכבה ותחום הגדרה, ופונקציה הפוכה ונקודת החיתוך שלה עם המקורית.

כל שאלה נפתרת יחד איתכם. בכל צעד מוצגות כמה אפשרויות: צעד שגוי מסביר למה הוא שגוי ומאפשר לנסות שוב, וצעד נכון חושף את שורת החישוב. אחרי כל שאלה מחכה שאלה תאומה — לפתור לבד, ורק אז לפתוח את התשובה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה הצעד הבא. הפער בין מה שחשבתם לבין הצעד הנכון הוא מה שמלמד — לא קריאת הפתרון.

1. סקיצה של פולינום מפורק

שאלה תאומה. נתונה g(x)=−x(x−3)2g(x) = -x(x-3)^2. באיזה שורש הגרף נוגע, באיזה חוצה, ולאן הולכים הקצוות?

Voir la réponse et le corrigé

ב-x=3x = 3 (ריבוי 22) הגרף נוגע, ב-x=0x = 0 (ריבוי 11) הוא חוצה. המעלה 33 והמקדם המוביל −1-1 (המינוס שלפני הכול!), ולכן: x→−∞⇒g→∞x \to -\infty \Rightarrow g \to \infty ו-x→∞⇒g→−∞x \to \infty \Rightarrow g \to -\infty.

2. זוגיות עם פרמטר

שאלה תאומה. עבור איזה ערך של mm הפונקציה g(x)=x4+(m−1)x3+5g(x) = x^4 + (m-1)x^3 + 5 היא זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

m=1m = 1. בפולינום זוגי אסורות חזקות אי-זוגיות, ולכן m−1=0m - 1 = 0. ה-55 לא מפריע: הוא חזקה זוגית, 5x05x^0.

3. הרכבה ותחום הגדרה

שאלה תאומה. נתונות f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x−9g(x) = x - 9. מצאו את התחום של g(f(x))g(f(x)), ופתרו g(f(x))=0g(f(x)) = 0.

Voir la réponse et le corrigé

g(f(x))=x−9g(f(x)) = \sqrt{x} - 9, והתחום x≥0x \geq 0 — השורש הוא הפנימי. x=9⇒x=81\sqrt{x} = 9 \Rightarrow x = 81. בדיקה: 81−9=0\sqrt{81} - 9 = 0.

4. פונקציה הפוכה ונקודת חיתוך

שאלה תאומה. מצאו את נקודת החיתוך של f(x)=x+12f(x) = \sqrt{x + 12} עם הפונקציה ההפוכה לה.

Voir la réponse et le corrigé

x+12=x⇒x2−x−12=0⇒x=4\sqrt{x + 12} = x \Rightarrow x^2 - x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4 או x=−3x = -3. בדיקה: 16=4\sqrt{16} = 4 מתאים, 9=3≠−3\sqrt{9} = 3 \neq -3 נפסל. נקודת החיתוך: (4,4)(4,4).

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=−(x+1)2(x−2)(x−5)f(x) = -(x+1)^2(x-2)(x-5). איזה תיאור מתאים לסקיצה של הגרף, משמאל לימין?

  1. מגיע מלמטה, חוצה ב-x=−1x=-1, נוגע ב-x=2x=2 וב-x=5x=5, ויורד
  2. מגיע מלמעלה, נוגע ב-x=−1x=-1, עובר דרך (0,10)(0,10), חוצה ב-x=2x=2 ושוב ב-x=5x=5, ועולה
  3. מגיע מלמטה, נוגע ב-x=−1x=-1, עובר דרך (0,−10)(0,-10), חוצה ב-x=2x=2 ושוב ב-x=5x=5, ועולה
  4. מגיע מלמטה, נוגע ב-x=−1x=-1, עובר דרך (0,−10)(0,-10), חוצה ב-x=2x=2 ושוב ב-x=5x=5, ויורד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מגיע מלמטה, נוגע ב-x=−1x=-1, עובר דרך (0,−10)(0,-10), חוצה ב-x=2x=2 ושוב ב-x=5x=5, ויורד

Corrigé :

f(0)=−(1)2⋅(−2)⋅(−5)=−10\begin{aligned}f(0) &= -(1)^2 \cdot (-2) \cdot (-5) \\ &= -10\end{aligned}

החיתוך עם ציר yy

x=−1: k=2x=2: k=1x=5: k=1\begin{aligned}x &= -1:\ k \\ &= 2 \qquad x \\ &= 2:\ k \\ &= 1 \qquad x \\ &= 5:\ k \\ &= 1\end{aligned}

ריבוי kk זוגי — נוגע, ריבוי אי-זוגי — חוצה

x→±∞ ⇒ f→−∞x \to \pm\infty \ \Rightarrow\ f \to -\infty

המעלה 44 והמקדם המוביל −1-1: שני הקצוות למטה

f(3)=−(4)2⋅1⋅(−2)=32>0\begin{aligned}f(3) &= -(4)^2 \cdot 1 \cdot (-2) \\ &= 32 > 0\end{aligned}

בין x=2x=2 ל-x=5x=5 הגרף מעל הציר

התשובה: מגיע מלמטה, נוגע ב-x=−1x=-1, עובר דרך (0,−10)(0,-10), חוצה ב-x=2x=2 ושוב ב-x=5x=5, ויורד. התיאור שמגיע מלמעלה ועולה שכח את המינוס שלפני הכול; התיאור שחוצה ב-x=−1x=-1 החליף בין הריבויים; והתיאור שעולה בסוף שכח שבמעלה זוגית שני הקצוות הולכים לאותו כיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3+(a2−4)x2+a+2f(x) = x^3 + (a^2 - 4)x^2 + a + 2, ו-aa פרמטר. עבור איזה ערך של aa הפונקציה ff אי-זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

לכל xx — והתחום, כל xx, סימטרי

f(−x)=−x3+(a2−4)x2+a+2f(-x) = -x^3 + (a^2 - 4)x^2 + a + 2

מציבים −x-x

f(−x)+f(x)=2(a2−4)x2+2(a+2)=0\begin{aligned}f(-x) + f(x) &= 2(a^2 - 4)x^2 + 2(a + 2) \\ &= 0\end{aligned}

הסכום חייב להתאפס לכל xx

a2−4=0a+2=0 ⇒ a=−2\begin{aligned}a^2 - 4 &= 0 \\ \quad a + 2 &= 0 \ \Rightarrow\ a \\ &= -2\end{aligned}

שני המקדמים מתאפסים יחד

a=−2a = -2, ואז f(x)=x3f(x) = x^3. מי שאיפס רק את המקדם של x2x^2 קיבל גם a=2a = 2 — אבל אז f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4, ו-f(0)=4≠0f(0) = 4 \neq 0. פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 חייבת לקיים f(0)=0f(0) = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונות f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−6x+5g(x) = x^2 - 6x + 5. כמה מספרים שלמים אינם בתחום ההגדרה של f(g(x))f(g(x))?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(g(x))=x2−6x+5f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 6x + 5}

gg בפנים, ff בחוץ

x2−6x+5≥0x^2 - 6x + 5 \geq 0

התנאי חל על מה שבתוך השורש

(x−1)(x−5)≥0 ⇒ x≤1 או x≥5(x-1)(x-5) \geq 0 \ \Rightarrow\ x \leq 1 \ \text{או} \ x \geq 5

השורשים עצמם, וכל מה שמחוץ לקטע שביניהם

1<x<5:x=2 3 4\begin{aligned}1 < x < 5: \quad x &= 2 \\ \ 3 \\ \ 4\end{aligned}

השלמים שמחוץ לתחום

33 מספרים: 22, 33 ו-44. x=1x = 1 ו-x=5x = 5 בתחום — שם g(x)=0g(x) = 0, והשורש 0=0\sqrt{0} = 0 מוגדר. מי שענה 55 הוציא גם את הקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונות f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−1g(x) = x^2 - 1. הפונקציה g(f(x))g(f(x)) והפונקציה h(x)=x−1h(x) = x - 1 הן אותה פונקציה — אותו תחום הגדרה, ואותו ערך בכל נקודה בו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

g(f(x))=(x)2−1=x−1\begin{aligned}g(f(x)) &= (\sqrt{x})^2 - 1 \\ &= x - 1\end{aligned}

אותה נוסחה…

x≥0x \geq 0

…אבל רק היכן ש-f(x)f(x) מוגדרת

h(−1)=−2h(-1) = -2

ו-g(f(−1))g(f(-1)) אינה מוגדרת, כי −1\sqrt{-1} אינו מספר ממשי

הטענה לא נכונה. שתי פונקציות שוות רק כשיש להן אותו תחום, ובכל נקודה בו אותו ערך. התחום של g(f(x))g(f(x)) הוא x≥0x \geq 0, והתחום של hh הוא כל xx. הפישוט (x)2=x(\sqrt{x})^2 = x נכון רק עבור x≥0x \geq 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=2x+3f(x) = \sqrt{2x + 3} בתחום x≥−32x \geq -\frac{3}{2}. הגרפים של ff ושל הפונקציה ההפוכה לה נחתכים בנקודה אחת. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(x)=xf(x) = x

ff עולה, ולכן החיתוך עם ההפוכה נמצא על הישר y=xy = x

2x+3=x ⇒ x2=2x+3\begin{aligned}\sqrt{2x + 3} &= x \ \Rightarrow\ x^2 \\ &= 2x + 3\end{aligned}

מעלים בריבוע, ודורשים x≥0x \geq 0

x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x-3)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

שני פתרונות אפשריים

2⋅3+3=32⋅(−1)+3=1≠−1\begin{aligned}\sqrt{2 \cdot 3 + 3} &= 3 \\ \quad \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה: x=−1x = -1 נפסל

f−1(x)=x2−32 x≥0 ⇒ f−1(3)=3\begin{aligned}f^{-1}(x) &= \frac{x^2 - 3}{2} \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow\ f^{-1}(3) &= 3\end{aligned}

הנקודה (3,3)(3,3) נמצאת גם על גרף ההפוכה

שיעור ה-xx הוא 33, והנקודה היא (3,3)(3,3). x=−1x = -1 נולד מההעלאה בריבוע: שורש אינו יכול להיות שלילי. וגם בלי הבדיקה, ההפוכה מוגדרת רק עבור x≥0x \geq 0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe