La fonction réciproque

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הפונקציה f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 לוקחת 11 ומחזירה 33, לוקחת 22 ומחזירה 55. נניח שמישהו אומר לנו רק את התוצאה, 55. האם אפשר לגלות מה הוכנס?

1→ f 3,2→ f 51 \xrightarrow{\ f\ } 3 ,\quad 2 \xrightarrow{\ f\ } 5

הפונקציה ff: מכפילים ב-22 ומוסיפים 11

3→ f−1 1,5→ f−1 23 \xrightarrow{\ f^{-1}\ } 1 ,\quad 5 \xrightarrow{\ f^{-1}\ } 2

הדרך חזרה: מחסירים 11 ומחלקים ב-22

הפונקציה שמבטלת את ff נקראת הפונקציה ההפוכה ומסמנים אותה f−1f^{-1}. כאן f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}. כל זוג (a,b)(a, b) של ff הופך לזוג (b,a)(b, a) של f−1f^{-1}.

f(a)=b  ⟺  f−1(b)=a\begin{aligned}f(a) &= b \iff f^{-1}(b) \\ &= a\end{aligned}

בגרף: החלפת xx ו-yy היא שיקוף

הנקודה (2,4)(2,4) נמצאת על y=x2y = x^2, והנקודה (4,2)(4,2) נמצאת על y=xy = \sqrt{x}. החלפת הסדר של שני המספרים משקפת את הנקודה ביחס לישר y=xy = x. לכן הגרף של f−1f^{-1} הוא השיקוף של הגרף של ff ביחס לישר y=xy = x.

הנקודה (3,9)(3, 9) נמצאת על הגרף של f(x)=x2f(x) = x^2 כאשר x≥0x \geq 0. איזו נקודה מתאימה לה על הגרף של x\sqrt{x}? ואיזו נקודה של הגרף נשארת במקומה?

Voir la réponse et le corrigé

הנקודה (9,3)(9, 3): אכן 9=3\sqrt{9} = 3. נקודה על הישר y=xy = x נשארת במקומה — כאן (0,0)(0,0) ו-(1,1)(1,1), ששתי הפונקציות עוברות דרכן.

איך מוצאים את הנוסחה

11

כותבים y=f(x)y = f(x).

22

מבודדים את xx באמצעות yy.

33

מחליפים את שמות המשתנים: x↔yx \leftrightarrow y.

44

תחום ההגדרה של f−1f^{-1} הוא קבוצת הערכים של ff.

מתי יש פונקציה הפוכה

ל-f(x)=x2f(x) = x^2 על כל הישר אין הפוכה: אם נאמר לנו שהתוצאה 44, ייתכן שהוכנס 22 וייתכן שהוכנס −2-2. כדי שתהיה הפוכה, כל ערך yy צריך להתקבל פעם אחת בלבד — כל ישר אופקי פוגש את הגרף לכל היותר פעם אחת. לכן מצמצמים את התחום ל-x≥0x \geq 0, ורק שם x\sqrt{x} היא ההפוכה.

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} היא ההפוכה של עצמה

עוברים על אותם ארבעה צעדים.

y=1xy = \frac{1}{x}

כותבים

x=1yx = \frac{1}{y}

מבודדים

f−1(x)=1xf^{-1}(x) = \frac{1}{x}

מחליפים שמות — ויצאה אותה נוסחה

f(f(x))=11/x=x\begin{aligned}f(f(x)) &= \frac{1}{1/x} \\ &= x\end{aligned}

בדיקה: הפעלה פעמיים מחזירה את xx

האם ל-f(x)=x3f(x) = x^3 יש פונקציה הפוכה על כל הישר? ול-g(x)=x4g(x) = x^4?

Voir la réponse et le corrigé

ל-x3x^3 יש: כל ערך מתקבל פעם אחת, וההפוכה היא x3\sqrt[3]{x}. ל-x4x^4 אין: 24=(−2)4=162^4 = (-2)^4 = 16. חזקה אי-זוגית עולה כל הזמן; חזקה זוגית מקבלת כל ערך חיובי פעמיים.

הטעויות של הפונקציה ההפוכה.

f−1(x)=1f(x)f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}
f−1(f(x))=xf^{-1}\big(f(x)\big) = x

הסימן −1-1 כאן אינו חזקה. f−1f^{-1} מבטלת את ff, היא לא מחלקת בה. ל-f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1: f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}, לא 12x+1\frac{1}{2x+1}.

f(x)=x2⇒f−1(x)=x\begin{aligned}f(x) &= x^2 \Rightarrow f^{-1}(x) \\ &= \sqrt{x}\end{aligned}
f(x)=x2 x≥0⇒f−1(x)=x\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \ x \geq 0 \Rightarrow f^{-1}(x) &= \sqrt{x}\end{aligned}

בלי צמצום התחום אין הפוכה בכלל.

Exercices

Exercice 1

מהי הפונקציה ההפוכה של f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6?

  1. f−1(x)=3x+6f^{-1}(x) = 3x + 6
  2. f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}
  3. f−1(x)=x3+6f^{-1}(x) = \frac{x}{3} + 6
  4. f−1(x)=13x−6f^{-1}(x) = \frac{1}{3x - 6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}

Corrigé :

y=3x−6y = 3x - 6

כותבים

x=y+63x = \frac{y + 6}{3}

מבודדים

f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}

מחליפים שמות

f−1(f(2))=f−1(0)=2\begin{aligned}f^{-1}(f(2)) &= f^{-1}(0) \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה

התשובה x+63\frac{x + 6}{3}. 13x−6\frac{1}{3x-6} היא ההופכי במובן של שבר, לא ההפוכה. x3+6\frac{x}{3} + 6 שכחה לחלק גם את ה-66: הנכון הוא x3+2\frac{x}{3} + 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5. חשבו f−1(11)f^{-1}(11).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f−1(11)=a  ⟺  f(a)=11\begin{aligned}f^{-1}(11) &= a \iff f(a) \\ &= 11\end{aligned}

לא חייבים את הנוסחה

2a+5=11⇒a=3\begin{aligned}2a + 5 &= 11 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

On résout

המלכודת: לחשב f(11)=27f(11) = 27. f−1(11)f^{-1}(11) שואלת מה הוכנס כדי לקבל 1111.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הגרפים של ff ושל f−1f^{-1} סימטריים זה לזה ביחס לציר ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(a,b)↦(b,a)(a, b) \mapsto (b, a)

החלפת שיעורים

y=xy = x

שיקוף ביחס לישר y=xy=x — לא ביחס לציר

הטענה שגויה. שיקוף ביחס לציר ה-yy הופך (a,b)(a,b) ל-(−a,b)(-a,b) — זה f(−x)f(-x), לא f−1f^{-1}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודה (3, −2)(3,\,-2) נמצאת על הגרף של פונקציה ff שיש לה הפוכה. מהו f−1(−2)f^{-1}(-2)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(3)=−2f(3) = -2

זה מה שהנקודה אומרת

f−1(−2)=3f^{-1}(-2) = 3

הופכים את הזוג

על הגרף של f−1f^{-1} נמצאת הנקודה (−2, 3)(-2,\,3). התשובה −2-2 היא בלבול בין השיעור שנתון לזה שמבקשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לאיזו מהפונקציות הבאות אין פונקציה הפוכה כשהיא מוגדרת לכל xx?

  1. f(x)=x5+1f(x) = x^5 + 1
  2. f(x)=x3f(x) = x^3
  3. f(x)=2x−7f(x) = 2x - 7
  4. f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

Corrigé :

f(1)=f(−1)=2\begin{aligned}f(1) &= f(-1) \\ &= 2\end{aligned}

ערך אחד מתקבל פעמיים

x3, 2x−7, x5+1x^3 ,\ 2x - 7 ,\ x^5 + 1

עולות כל הזמן — כל ערך פעם אחת

התשובה x2+1x^2 + 1: חזקה זוגית מקבלת כל ערך מעל 11 פעמיים. ה-+1+1 של x5+1x^5 + 1 אינו משנה: היא עדיין עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Complétez (השלימו)

נתון f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1. לכן f−1(9)=f^{-1}(9) = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתון f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1. לכן f−1(9)=f^{-1}(9) = 2

Corrigé :

x3+1=9x^3 + 1 = 9

מה הוכנס כדי לקבל 99?

x3=8⇒x=2\begin{aligned}x^3 &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

שורש שלישי

בדיקה: f(2)=8+1=9f(2) = 8 + 1 = 9. מי שכתב f(9)=730f(9) = 730 חישב בכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון f(x)=x+4f(x) = \sqrt{x + 4}. מהי f−1f^{-1}?

  1. f−1(x)=x2−4f^{-1}(x) = x^2 - 4, לכל xx
  2. f−1(x)=x2+4f^{-1}(x) = x^2 + 4, בתחום x≥0x \geq 0
  3. f−1(x)=1x+4f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 4}}
  4. f−1(x)=x2−4f^{-1}(x) = x^2 - 4, בתחום x≥0x \geq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f−1(x)=x2−4f^{-1}(x) = x^2 - 4, בתחום x≥0x \geq 0

Corrigé :

y=x+4⇒y2=x+4\begin{aligned}y &= \sqrt{x+4} \Rightarrow y^2 \\ &= x + 4\end{aligned}

מעלים בריבוע

x=y2−4x = y^2 - 4

מבודדים

f(x)=x+4≥0⇒f−1: x≥0f(x) = \sqrt{x+4} \geq 0 \Rightarrow f^{-1}:\ x \geq 0

קבוצת הערכים של ff היא התחום של f−1f^{-1}

התשובה «x2−4x^2 - 4, בתחום x≥0x \geq 0». אותה נוסחה בלי התחום היא תשובה שגויה: פרבולה שלמה אינה השיקוף של חצי ענף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x - 2}. חשבו f−1(4)f^{-1}(4). כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.25

Corrigé :

1a−2=4\frac{1}{a - 2} = 4

מחפשים את aa ש-f(a)=4f(a) = 4

a−2=14a - 2 = \frac{1}{4}

הופכים את שני האגפים

a=2.25a = 2.25

בדיקה: f(2.25)=10.25=4f(2.25) = \frac{1}{0.25} = 4. המלכודת היא f(4)=12f(4) = \frac{1}{2} — החישוב בכיוון הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} היא הפונקציה ההפוכה של עצמה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(f(x))=11/x=x\begin{aligned}f(f(x)) &= \frac{1}{1/x} \\ &= x\end{aligned}

הפעלה פעמיים מחזירה את xx

y=1x  ⟺  x=1y\begin{aligned}y &= \frac{1}{x} \iff x \\ &= \frac{1}{y}\end{aligned}

אותה נוסחה בשני הכיוונים

הטענה נכונה, ולכן הגרף שלה סימטרי לישר y=xy = x. אל תתבלבלו: ה-−1-1 שב-f−1f^{-1} אינו «אחד חלקי».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הגרף של f(x)=ax+bf(x) = ax + b עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5), והגרף של f−1f^{-1} עובר בנקודה (2, 0)(2,\,0). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f−1(2)=0⇒f(0)=2\begin{aligned}f^{-1}(2) &= 0 \Rightarrow f(0) \\ &= 2\end{aligned}

הופכים את הנקודה של ההפוכה

b=2b = 2

מציבים x=0x = 0

f(1)=a+2=5⇒a=3\begin{aligned}f(1) &= a + 2 \\ &= 5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

והנקודה השנייה

המלכודת: להציב את (2,0)(2,0) ישר בנוסחה של ff ולקבל 2a+b=02a + b = 0. נקודה של f−1f^{-1} היא נקודה הפוכה של ff.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe