Signe de la dérivée : croissance et extremums

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

דמיינו מטייל שהולך על הגרף משמאל לימין. בכל צעד הוא מרגיש את שיפוע השביל מתחת לרגליו: לפעמים הוא מטפס, לפעמים יורד, ולרגע קצר הוא עומד על מקום שטוח. השיפוע הזה הוא בדיוק שיפוע המשיק — כלומר f′(x)f'(x).

ב-x=1x=1 המשיק לגרף של f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 נוטה כלפי מטה. מה הסימן של f′(1)f'(1), ומה עושה הפונקציה סביב x=1x=1?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x, ולכן f′(1)=3−6=−3f'(1)=3-6=-3 — שלילי. שיפוע שלילי פירושו שהפונקציה יורדת סביב x=1x=1. שימו לב: לא שאלנו אם f(1)f(1) חיובי — רק לאן הגרף הולך.

מהסימן של f′f' אל העלייה והירידה של ff

f′(x)>0f'(x) > 0

בכל התחום — הפונקציה עולה בתחום (↗).

f′(x)<0f'(x) < 0

בכל התחום — הפונקציה יורדת בתחום (↘).

תחומי עלייה וירידה נכתבים בעזרת xx בלבד: «ff עולה בתחום x<1x<1». את ערכי yy לא כותבים שם. ונקודה בודדת שבה f′=0f'=0 לא «שוברת» עלייה: y=x3y=x^3 עולה לכל xx, אף ש-f′(0)=0f'(0)=0.

נקודות קיצון

נקודת מקסימום מקומי היא נקודה שבה ערך הפונקציה גדול מכל הערכים בסביבתה הקרובה — ראש של גבעה. נקודת מינימום מקומי היא תחתית של עמק. בשתיהן, בפולינום, המשיק אופקי: f′(x)=0f'(x)=0. לכן נקודה שבה f′(x)=0f'(x)=0 נקראת נקודה חשודה לקיצון.

+ → −+ \ \to \ -

הפונקציה עלתה ואז ירדה — מקסימום.

− → +- \ \to \ +

הפונקציה ירדה ואז עלתה — מינימום.

+ → +או− → −+ \ \to \ + \quad \text{או} \quad - \ \to \ -

אין החלפת סימן — אין קיצון, רק משיק אופקי.

נתון f′(x)=(x−2)2f'(x)=(x-2)^2. האם יש ל-ff נקודת קיצון ב-x=2x=2?

Voir la réponse et le corrigé

לא. (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0, ולכן הנגזרת חיובית משני צדי x=2x=2 ומתאפסת רק בנקודה עצמה. אין החלפת סימן — הפונקציה עולה לפני 22 וממשיכה לעלות אחריו.

פולינום ממעלה רביעית: f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון.

f′(x)=4x3−16xf'(x)=4x^3-16x

גוזרים איבר-איבר

4x(x−2)(x+2)=04x(x-2)(x+2)=0

מוציאים גורם משותף 4x4x, ומפרקים הפרש ריבועים

x=−2  x=0  x=2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ \ x &= 0 \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

f′(−3)=−60<0  f′(−1)=12>0  f′(1)=−12<0  f′(3)=60>0\begin{aligned}f'(-3) &= -60<0 \\ \ \ f'(-1) &= 12>0 \\ \ \ f'(1) &= -12<0 \\ \ \ f'(3) &= 60>0\end{aligned}

מציבים נקודה אחת מכל תחום

min⁡ (−2, −16),max⁡ (0, 0),min⁡ (2, −16)\min\ (-2,\,-16),\quad \max\ (0,\,0),\quad \min\ (2,\,-16)

קוראים את מעברי הסימן, ומציבים ב-ff

↗: −2<x<0 או x>2↘: x<−2 או 0<x<2\nearrow:\ -2<x<0 \ \text{או} \ x>2 \qquad \searrow:\ x<-2 \ \text{או} \ 0<x<2

תחומי העלייה והירידה

שתי הטעויות שעולות הכי הרבה נקודות.

ymax⁡=f′(1)=0\begin{aligned}y_{\max} &= f'(1) \\ &= 0\end{aligned}
ymax⁡=f(1)=5\begin{aligned}y_{\max} &= f(1) \\ &= 5\end{aligned}

בנקודה חשודה הנגזרת תמיד אפס — זה מה שהגדיר אותה. את שיעור ה-yy של הקיצון מקבלים מהצבה ב-ff.

3(x−1)(x−3)<0 ⇒ x<1 או x>33(x-1)(x-3)<0 \ \Rightarrow\ x<1 \ \text{או}\ x>3
3(x−1)(x−3)<0 ⇒ 1<x<33(x-1)(x-3)<0 \ \Rightarrow\ 1<x<3

הנגזרת היא פרבולה פתוחה כלפי מעלה, והיא שלילית בין השורשים. כשלא בטוחים — מציבים מספר מהתחום.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. מהו שיעור ה-xx של נקודת המינימום של ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 6x^2-6x-12 \\ &= 6(x-2)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x=−1  x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

הנקודות החשודות

f′(0)=−12<0  f′(3)=24>0\begin{aligned}f'(0) &= -12<0 \\ \ \ f'(3) &= 24>0\end{aligned}

סביב x=2x=2 הסימן עובר מ-−- ל-++

המינימום ב-x=2x=2. ב-x=−1x=-1 יש מקסימום — שתי הנקודות החשודות אינן מאותו סוג, והטבלה היא שמבדילה ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. באיזה תחום ff יורדת?

  1. −2<x<1-2<x<1
  2. x<2x<2
  3. x<−1x<-1 או x>2x>2
  4. −1<x<2-1<x<2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1<x<2-1<x<2

Corrigé :

f′(x)=6(x−2)(x+1)f'(x)=6(x-2)(x+1)

פרבולה פתוחה כלפי מעלה

f′(x)<0  ⟺  −1<x<2f'(x)<0 \iff -1<x<2

שלילית בין השורשים

התשובה: −1<x<2-1<x<2. «x<−1x<-1 או x>2x>2» הם תחומי העלייה, ו-«−2<x<1-2<x<1» בא משורשים עם סימן הפוך: x+1=0x+1=0 נותן x=−1x=-1, לא x=1x=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. מהו ערך המקסימום המקומי של ff (שיעור ה-yy)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

f′(−2)=24>0  f′(0)=−12<0\begin{aligned}f'(-2) &= 24>0 \\ \ \ f'(0) &= -12<0\end{aligned}

סביב x=−1x=-1 המעבר מ-++ ל-−- — מקסימום

f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+5f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+5

מציבים ב-ff

=−2−3+12+5=12=-2-3+12+5=12

בזהירות עם הסימנים

ערך המקסימום הוא 1212. הטעות הנפוצה: (−1)2=1(-1)^2=1, ולכן −3(−1)2=−3-3(-1)^2=-3 ולא +3+3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אם f′(3)=0f'(3)=0, אז בהכרח יש ל-ff נקודת קיצון ב-x=3x=3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=(x−3)3f(x)=(x-3)^3

דוגמה נגדית

f′(x)=3(x−3)2≥0f'(x)=3(x-3)^2 \ge 0

הנגזרת מתאפסת ב-33 אך אינה מחליפה סימן

לא נכון. f′(3)=0f'(3)=0 הוא תנאי הכרחי לקיצון בפולינום, אבל לא מספיק. רק החלפת סימן של הנגזרת מבטיחה קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לכל פונקציה נתונה הנגזרת שלה ונקודה שבה הנגזרת מתאפסת. מיינו: האם יש שם נקודת קיצון?

  • יש קיצון
  • אין קיצון
  • f′(x)=(x−1)2f'(x)=(x-1)^2, בנקודה x=1x=1
  • f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=−1x=-1
  • f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=2x=2
  • f′(x)=(x+3)3f'(x)=(x+3)^3, בנקודה x=−3x=-3
  • f′(x)=x(x−4)f'(x)=x(x-4), בנקודה x=4x=4
  • f′(x)=x4f'(x)=x^4, בנקודה x=0x=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=x(x−4)f'(x)=x(x-4), בנקודה x=4x=4 — יש קיצון · f′(x)=(x−1)2f'(x)=(x-1)^2, בנקודה x=1x=1 — אין קיצון · f′(x)=(x+3)3f'(x)=(x+3)^3, בנקודה x=−3x=-3 — יש קיצון · f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=2x=2 — אין קיצון · f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=−1x=-1 — יש קיצון · f′(x)=x4f'(x)=x^4, בנקודה x=0x=0 — אין קיצון

Corrigé :

f′(x)=(x−1)2 ⇒ f′(0)=1>0 f′(2)=1>0\begin{aligned}f'(x) &= (x-1)^2 \ \Rightarrow\ f'(0) \\ &= 1>0 \\ \ f'(2) &= 1>0\end{aligned}

גורם בריבוע: אותו סימן משני הצדדים — אין קיצון

f′(x)=(x+3)3 ⇒ f′(−4)=−1<0 f′(−2)=1>0\begin{aligned}f'(x) &= (x+3)^3 \ \Rightarrow\ f'(-4) \\ &= -1<0 \\ \ f'(-2) &= 1>0\end{aligned}

גורם בחזקה שלישית: הסימן מתחלף — יש קיצון

הכלל: גורם בחזקה זוגית לא מחליף סימן, ולכן אין קיצון; גורם בחזקה אי-זוגית מחליף סימן. בספק — מציבים נקודה משני הצדדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=x3+3xf(x)=x^3+3x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f′(x)=3x2+3f'(x)=3x^2+3

גוזרים

3x2+3=0 ⇒ x2=−1\begin{aligned}3x^2+3 &= 0 \ \Rightarrow\ x^2 \\ &= -1\end{aligned}

אין פתרון

f′(x)≥3>0f'(x)\ge 3>0

הנגזרת חיובית לכל xx

אין אף נקודה חשודה, ולכן אפס נקודות קיצון — ff עולה לכל xx. הטעות היא «לפתור בכוח» ולכתוב x=±1x=\pm 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=−x4+2x2f(x)=-x^4+2x^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=−4x3+4x=−4x(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= -4x^3+4x \\ &= -4x(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x=−1 0 1\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 0 \\ \ 1\end{aligned}

שלוש חשודות, כל אחת בחזקה 11

+ → − → + → −+\ \to\ -\ \to\ +\ \to\ -

הסימן מתחלף בכל אחת

שלוש: מקסימום ב-x=±1x=\pm1 ומינימום ב-x=0x=0. המקדם השלילי הופך את סדר הסימנים — לכן כדאי להציב נקודה ולא לנחש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

סדרו את שלבי מציאת נקודות הקיצון של פולינום

  • בונים טבלת סימנים של f′f'
  • גוזרים את ff
  • מציבים ב-ff ומוצאים את שיעור ה-yy
  • משווים את f′(x)f'(x) לאפס ופותרים
  • קובעים לפי החלפת הסימן אם זה מקסימום או מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גוזרים את ff · משווים את f′(x)f'(x) לאפס ופותרים · בונים טבלת סימנים של f′f' · קובעים לפי החלפת הסימן אם זה מקסימום או מינימום · מציבים ב-ff ומוצאים את שיעור ה-yy

Corrigé :

f′→f′=0→טבלה→סוג→f(x0)f' \to f'=0 \to \text{טבלה} \to \text{סוג} \to f(x_0)

חמשת השלבים

הטבלה באה לפני קביעת הסוג: בלעדיה נקודה חשודה נשארת חשודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהי נקודת המקסימום של f(x)=−x3+3x+2f(x)=-x^3+3x+2?

  1. (−1, 0)(-1,\ 0)
  2. (1, 4)(1,\ 4)
  3. (1, 0)(1,\ 0)
  4. (−1, 4)(-1,\ 4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (1, 4)(1,\ 4)

Corrigé :

f′(x)=−3x2+3=−3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2+3 \\ &= -3(x-1)(x+1)\end{aligned}

פרבולה פתוחה כלפי מטה

f′(0)=3>0  f′(2)=−9<0\begin{aligned}f'(0) &= 3>0 \\ \ \ f'(2) &= -9<0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מ-++ ל-−-

f(1)=−1+3+2=4\begin{aligned}f(1) &= -1+3+2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-ff

המקסימום ב-(1, 4)(1,\ 4). (−1, 0)(-1,\ 0) היא נקודת המינימום — מי שהניח «כמו תמיד, השמאלית היא המקסימום» שכח שהמקדם של x3x^3 שלילי. ו-(1, 0)(1,\ 0) לקחה את ערך הנגזרת במקום את ערך הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5. הוכיחו כי ff עולה לכל xx.

  • f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5

ff עולה לכל xx

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=3x2+1f'(x)=3x^2+1 — גזירה איבר-איבר
  2. 3x2≥03x^2 \ge 0 לכל xx — ריבוע של מספר אינו שלילי
  3. f′(x)≥1>0f'(x) \ge 1 > 0 לכל xx — מוסיפים 11 לשני האגפים
  4. ff עולה לכל xx — נגזרת חיובית בכל תחום — הפונקציה עולה בו
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe