Positive and negative intervals · General properties of a function · Kita ח

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זו שאלה אחרת מעלייה וירידה, וכאן הרבה מתבלבלים. לא שואלים לאן הגרף הולך, אלא איפה הוא נמצא: מעל ציר ה- $x$ , או מתחתיו?

f(x) > 0

חיובית — הגרף נמצא מעל ציר ה- $x$ .

f(x) < 0

שלילית — הגרף נמצא מתחת לציר ה- $x$ .

f(x) = 0

הגרף נוגע בציר — זו נקודת החיתוך, הגבול בין שני התחומים.

השיטה היא תמיד אותה שיטה:

שלב 1: מוצאים איפה הגרף חותך את ציר ה- $x$ . רק שם הוא יכול לעבור מלמעלה למטה.

שלב 2: נקודות החיתוך מחלקות את הציר לתחומים. בכל תחום הסימן לא משתנה.

בישר — נקודת חיתוך אחת

הפונקציה $y = 2x - 6$

נמצא את תחומי החיוביות והשליליות.

2x - 6 = 0

מציבים $y = 0$ — כך מוצאים את החיתוך עם ציר ה- $x$

x = 3

זו נקודת המעבר היחידה

\begin{aligned}x &= 4 \quad\longrightarrow\quad y \\ &= 2\end{aligned}

נציב מספר מימין ל-3 ונראה מה הסימן — יצא חיובי

f(x) > 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad x > 3

ולכן זהו תחום החיוביות

f(x) < 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad x < 3

ומצדו השני, תחום השליליות

בפרבולה — שתי נקודות, שלושה תחומים

כשיש שתי נקודות חיתוך, הציר מתחלק לשלושה חלקים, והסימן מתחלף בכל נקודה. בפרבולה שפתוחה למעלה: היא חיובית בשני הצדדים, ושלילית בין שתי הנקודות.

שני הנושאים זה לצד זה

\nearrow \quad \searrow

עלייה וירידה — לאן הגרף הולך. נמדד לפי הכיוון.

+ \quad -

חיוביות ושליליות — איפה הגרף נמצא. נמדד לפי ציר ה- $x$ .

שתי השאלות באמת נפרדות: פונקציה יכולה לרדת ועדיין להיות חיובית. למשל, ישר יורד שעדיין נמצא גבוה מעל הציר.

הבלבול המרכזי של הפרק.

\text{הפונקציה יורדת} \quad\Rightarrow\quad \text{הפונקציה שלילית}

\text{אלה שתי שאלות נפרדות}

ישר יורד יכול להיות כולו מעל הציר, כלומר חיובי לגמרי. כיוון ומיקום אינם אותו דבר.

f(x) > 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad y > 3

f(x) > 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad x > 3

גם כאן — התחום נכתב תמיד בערכי $x$ , למרות שהתנאי עצמו מדבר על $y$ .

מה מחפשים כששואלים «מתי הפונקציה חיובית»?

Show the answer and the solution

את תחומי ה- $x$ שבהם הגרף מעל ציר ה-x. חיובית = מעל, שלילית = מתחת — והמעברים בנקודות האפס.

Exercises

Exercise 1

באיזה ערך של $x$ הישר $y = 2x - 6$ חותך את ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x - 6 = 0

מציבים $y = 0$

x = 3

מעבירים ומחלקים

חיתוך עם ציר ה- $x$ פירושו גובה אפס.

Check the answer on elev

Exercise 2

הישר $y = 2x - 6$ . מהו תחום החיוביות?

$y > 3$
$x < 3$
$x > 6$
$x > 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $x > 3$

Worked solution:

x = 3

נקודת החיתוך

\begin{aligned}x &= 4 \quad\longrightarrow\quad y \\ &= 2 > 0\end{aligned}

נציב מימין ונבדוק סימן

הישר עולה, ולכן מימין לחיתוך הוא מעל הציר.

Check the answer on elev

Exercise 3

הישר $y = -x + 4$ . מהו תחום השליליות?

$x < 4$
$x > 4$
$x > -4$
אין תחום שליליות

Show the answer and the solution

Answer: B $x > 4$

Worked solution:

-x + 4 = 0

מציבים $y = 0$

x = 4

זו נקודת המעבר

\begin{aligned}x &= 5 \quad\longrightarrow\quad y \\ &= -1 < 0\end{aligned}

מימין ל-4 הישר מתחת לציר

הישר יורד, ולכן הצד השלילי הוא הימני.

Check the answer on elev

Exercise 4

ישר יורד שנמצא כולו מעל ציר ה- $x$ . מה נכון?

חיובי ולכן עולה
יורד וגם חיובי בכל התחום
לא ייתכן ישר כזה
יורד ולכן שלילי

Show the answer and the solution

Answer: B יורד וגם חיובי בכל התחום

Worked solution:

\searrow \quad\quad \text{כיוון}

ירידה מתארת לאן הולכים

+ \quad\quad \text{מיקום}

חיוביות מתארת איפה נמצאים

אלה שתי שאלות נפרדות. ישר יכול לרדת שנים ועדיין לא להגיע לציר.

Check the answer on elev

Exercise 5

פרבולה פתוחה כלפי מעלה שחותכת את ציר ה- $x$ ב- $x = 1$ וב- $x = 5$ . איפה היא שלילית?

$x < 1$
בכל התחום
$1 < x < 5$
$x > 5$

Show the answer and the solution

Answer: C $1 < x < 5$

Worked solution:

x = 3 \quad\quad \text{נמצא בין השורשים}

נבחר מספר מהתחום האמצעי

\text{שם הפרבולה מתחת לציר}

כי היא פתוחה כלפי מעלה

בפרבולה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם.

Check the answer on elev

Exercise 6

הישר $y = 5x + 10$ חותך את ציר ה- $x$ . מהו ערך ה- $x$ שם?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

5x + 10 = 0

מציבים $y = 0$

5x = -10

מעבירים אגף

x = -2

מחלקים ב-5

הישר עולה, ולכן משמאל ל-2− הוא שלילי ומימין לו חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 7

הפונקציה $y = x - 4$ — לאיזה $x$ היא מתאפסת?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x - 4 = 0

נקודת האפס היא ה- $x$ שבו $y$ מתאפס — ולכן משווים את הביטוי לאפס.

Check the answer on elev

Exercise 8

ואיפה היא חיובית?

$x > 4$
אף פעם
$x < 4$
תמיד

Show the answer and the solution

Answer: A $x > 4$

Worked solution:

x - 4 > 0

מעל הציר מימין לאפס

Check the answer on elev

Exercise 9

$y = 2x + 6$ — נקודת האפס?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

\begin{aligned}2x + 6 &= 0 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

אותו מהלך: משווים לאפס ופותרים. תשובה שלילית היא תשובה תקינה לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 10

פונקציה שלילית בתחום $x < 1$ וחיובית ב- $x > 1$ . מה קורה ב- $x = 1$ ?

מקסימום
הגרף חוצה את ציר ה-x
הגרף קופץ
אין כלום

Show the answer and the solution

Answer: B הגרף חוצה את ציר ה-x

Worked solution:

y = 0

מעבר סימן — דרך אפס

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

$f(x) > 0$
$f(x) < 0$
$f(x) = 0$

הגרף נוגע בציר — זו נקודת החיתוך, הגבול בין שני התחומים.
חיובית — הגרף נמצא מעל ציר ה- $x$ .
שלילית — הגרף נמצא מתחת לציר ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: $f(x) > 0$ — חיובית — הגרף נמצא מעל ציר ה- $x$ . · $f(x) < 0$ — שלילית — הגרף נמצא מתחת לציר ה- $x$ . · $f(x) = 0$ — הגרף נוגע בציר — זו נקודת החיתוך, הגבול בין שני התחומים.

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

בישר — נקודת חיתוך אחת

בפרבולה — שתי נקודות, שלושה תחומים

שני הנושאים זה לצד זה

Exercises

Keep practising on elev