Two parabolas

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

השיטה זהה: משווים בין שתי הפונקציות. ההבדל הוא במה שקורה אחר כך.

כשלשתי הפרבולות אותו מקדם aa, איברי ה-x2x^2 מתבטלים. נשארת משוואה ממעלה ראשונה — ולכן לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

כשהמקדמים שווים, אין כאן שורש בכלל — המשוואה ירדה למעלה ראשונה. לכן אין שום דרך לקבל שתי נקודות.

ומה אם גם ה-bb שווה? למשל y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=x2+3y = x^2 + 3.

Show the answer and the solution

אין חיתוך. משווים ומקבלים 1=31 = 3 — אין פתרון. אותה צורה בדיוק, אחת מעל השנייה, והן לא נפגשות.

אותו מקדם — חיתוך יחיד

מצאו את נקודת החיתוך של y=x2+2xy = x^2 + 2x ושל y=x2−4x+12y = x^2 - 4x + 12.

x2+2x=x2−4x+12x^2 + 2x = x^2 - 4x + 12

משווים

2x=−4x+122x = -4x + 12

ה-x2x^2 מתבטל משני האגפים

6x=126x = 12

מכנסים

x=2x = 2

ערך יחיד

y=4+4=8\begin{aligned}y &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים באחת הפרבולות

(2, 8)(2,\, 8)

נקודת החיתוך היחידה

וכשהמקדמים שונים — ה-x2x^2 לא מתבטל, נשארת משוואה ריבועית, וחוזרים למקרה המוכר: שתי נקודות, אחת, או אף אחת.

מקדמים שונים

מצאו את נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9.

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9

משווים

x2=9x^2 = 9

מעבירים — נשאר ריבועי

x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות — שני סימנים

y=2⋅9=18\begin{aligned}y &= 2 \cdot 9 \\ &= 18\end{aligned}

מציבים

(3, 18) , (−3, 18)(3,\, 18) \ , \ (-3,\, 18)

שתי נקודות

ציר הסימטריה

כזכור משלב הקודקוד, ציר הסימטריה הוא הקו האנכי שעובר דרך הקודקוד. המשוואה שלו:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

ולכן המרחק בין שני צירי סימטריה הוא פשוט הפרש שני ערכי ה-xx האלה — בערך מוחלט, כי מרחק לעולם אינו שלילי.

מרחק בין צירים

מהו המרחק בין צירי הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x ושל y=x2+6xy = x^2 + 6x?

x1=42=2\begin{aligned}x_1 &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

ציר הראשונה

x2=−62=−3\begin{aligned}x_2 &= \frac{-6}{2} \\ &= -3\end{aligned}

ציר השנייה

∣2−(−3)∣=5|2 - (-3)| = 5

המרחק ביניהם

הטעות של שתי פרבולות.

x2=9 ⇒ x=3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}
x2=9 ⇒ x=3  x=−3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש ריבועי במשוואה נותן שני פתרונות. גם (−3)2=9(-3)^2 = 9.

שתי פרבולות⇒תמיד שתי נקודות\text{שתי פרבולות} \Rightarrow \text{תמיד שתי נקודות}
אותו a⇒לכל היותר נקודה אחת\text{אותו } a \Rightarrow \text{לכל היותר נקודה אחת}

כשהמקדמים שווים ה-x2x^2 מתבטל, והמשוואה יורדת למעלה ראשונה.

איך מוצאים נקודות חיתוך של פרבולה וישר?

Show the answer and the solution

משווים: x2−2x=x+4x^2 - 2x = x + 4, מעבירים אגף ופותרים משוואה ריבועית. כל שורש — נקודת חיתוך.

כמה נקודות חיתוך אפשריות בין פרבולה לישר?

Show the answer and the solution

0, 1 או 2 — כמספר הפתרונות של משוואת החיתוך: שני פתרונות, פתרון אחד, או אף אחד.

Exercises

Exercise 1

מהי נקודת החיתוך של y=x2+2xy = x^2 + 2x ושל y=x2−4x+12y = x^2 - 4x + 12?

  1. (−2, 0)(-2,\, 0)
  2. (2, 8)(2,\, 8)
  3. אין נקודת חיתוך
  4. (2, 4)(2,\, 4)
Show the answer and the solution

Answer: B (2, 8)(2,\, 8)

Worked solution:

x2+2x=x2−4x+12x^2 + 2x = x^2 - 4x + 12

משווים

6x=126x = 12

ה-x2x^2 מתבטל

x=2x = 2

ערך יחיד

y=4+4=8\begin{aligned}y &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

אותו מקדם aa — ולכן נקודה אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2+3xy = x^2 + 3x ול-y=x2−x+8y = x^2 - x + 8?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

3x=−x+83x = -x + 8

ה-x2x^2 מתבטל

4x=8⇒x=2\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משוואה ממעלה ראשונה

ה-x2x^2 התבטל, ונשארה משוואה ממעלה ראשונה עם פתרון אחד — ולכן נקודה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהן נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9?

  1. (3, 18)(3,\, 18) בלבד
  2. (9, 162)(9,\, 162)
  3. אין נקודות חיתוך
  4. (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18)
Show the answer and the solution

Answer: D (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18)

Worked solution:

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9

משווים

x2=9x^2 = 9

נשאר ריבועי

x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני סימנים

y=18y = 18

אותו yy לשניהם

המקדמים שונים — ולכן ה-x2x^2 שרד, ויש שתי נקודות.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו ציר הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x? כתבו את ערך ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

הנוסחה

x=42=2\begin{aligned}x &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים a=1a = 1, b=−4b = -4

המינוס בנוסחה הופך את −4-4 ל-+4+4.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו המרחק בין צירי הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x ושל y=x2+6xy = x^2 + 6x?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x1=2x_1 = 2

ציר הראשונה

x2=−62=−3\begin{aligned}x_2 &= \frac{-6}{2} \\ &= -3\end{aligned}

ציר השנייה

∣2−(−3)∣=5|2 - (-3)| = 5

הפרש בערך מוחלט

מרחק לעולם אינו שלילי — ולכן ערך מוחלט.

Check the answer on elev

Exercise 6

y=x2y = x^2 ו-y=9y = 9: כמה נקודות חיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x=±3x = \pm 3

ישר אופקי חותך פרבולה בשתי נקודות כשהוא מעל הקודקוד, באחת כשהוא נוגע בו, ובאף אחת מתחתיו.

Check the answer on elev

Exercise 7

y=x2y = x^2 ו-y=2xy = 2x: מצאו את נקודת החיתוך שאינה הראשית — מהו ה-x?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2=2x  x(x−2)=0\begin{aligned}x^2 &= 2x \ \\ \ x(x-2) &= 0\end{aligned}

משווים את שני הביטויים ומפרקים. הראשית היא פתרון תמיד כאן — מבקשים את השני.

Check the answer on elev

Exercise 8

y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=xy = x: כמה חיתוכים?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0

דיסקרימיננטה שלילית — אין

Check the answer on elev

Exercise 9

y=x2−3xy = x^2 - 3x ו-y=x−3y = x - 3: מהו סכום שיעורי ה-x של החיתוכים?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0
1+3=41 + 3 = 4

משווים, מסדרים למשוואה ריבועית, ומפרקים. סכום השורשים אפשר גם לקרוא ישירות מהמקדמים.

Check the answer on elev

Exercise 10

בנוסחת השורשים של משוואת החיתוך, מתחת לשורש יצא 00. כמה פתרונות יש?

  1. אף אחד
  2. אחד בדיוק
  3. אינסוף
  4. שניים
Show the answer and the solution

Answer: B אחד בדיוק

Worked solution:

x1,2=−b±02a=−b2a\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{2a}\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס — אותו מספר

פתרון אחד, ולכן נקודת חיתוך אחת.

Check the answer on elev

Exercise 11

שתי פרבולות עם אותו מקדם aa נחתכות תמיד בנקודה אחת בדיוק.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x2+1=x2+3x^2 + 1 = x^2 + 3

למשל — אותו aa, וגם אותו bb

1=31 = 3

ה-x2x^2 מתבטל, ואין פתרון

אותו aa נותן לכל היותר נקודה אחת. אם גם bb שווה, הפרבולות לא נפגשות.

Check the answer on elev

Exercise 12

מוצאים את נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9
x2=9x^2 = 9
x=3x = 3
Show the answer and the solution

Answer: x=3x = 3 → x=3 , x=−3x = 3 \ , \ x = -3

Worked solution:

(−3)2=9(-3)^2 = 9

גם מינוס 3 בריבוע הוא 9

שורש ריבועי במשוואה נותן שני פתרונות. ולכן שתי נקודות חיתוך: (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18).

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade