Expected value

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בהגרלה יש כרטיסים של 50 שקלים (אחד מכל עשרה), כרטיסים של 10 שקלים (שלושה מכל עשרה), והשאר — כלום. כמה «שווה» כרטיס אחד? לא 50 ולא 0: אם נקנה הרבה כרטיסים, מה נקבל בממוצע לכרטיס? המספר הזה נקרא תוחלת.

E=50⋅110+10⋅310+0⋅610=5+3+0=8\begin{aligned}E &= 50 \cdot \frac{1}{10} + 10 \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10} \\ &= 5 + 3 + 0 \\ &= 8\end{aligned}

כל פרס כפול ההסתברות שלו, והכול מחובר. כרטיס «שווה» 8 שקלים.

שימו לב מה התוחלת איננה: אף כרטיס לא נותן 8 שקלים. התוחלת היא לא ניבוי של המקרה הבא — היא הממוצע של הרבה מאוד מקרים. זו בדיוק הסיבה שחברת ביטוח מרוויחה ושחקן קזינו מפסיד: שניהם חיים לאורך זמן, והתוחלת מנצחת תמיד לאורך זמן.

כרטיס בהגרלה שלנו עולה 10 שקלים. משתלם לקנות?

Show the answer and the solution

לא. משלמים 10 ומקבלים בממוצע 8 — הפסד ממוצע של 2 שקלים לכרטיס. מי שקונה אלף כרטיסים יפסיד בערך אלפיים שקלים.

משחק הוגן

משחק נקרא הוגן כשתוחלת הרווח היא בדיוק אפס: בממוצע לא מרוויחים ולא מפסידים. ברווח נספור גם את מה ששילמנו — פרס 50 בכרטיס שעלה 10 הוא רווח של 40, וכרטיס ריק הוא רווח של מינוס 10.

באיזה מחיר כרטיס ההגרלה שלנו הופך את המשחק להוגן?

Show the answer and the solution

במחיר 8 — בדיוק התוחלת. אז תוחלת הרווח היא 8−8=08 - 8 = 0.

שתי מלכודות של תוחלת.

E=50+10+03=20\begin{aligned}E &= \frac{50 + 10 + 0}{3} \\ &= 20\end{aligned}
E=∑x⋅p=8\begin{aligned}E &= \sum x \cdot p \\ &= 8\end{aligned}

ממוצע פשוט של הפרסים מתעלם מההסתברויות — כאילו פרס נדיר שכיח כמו פרס נפוץ.

p1+p2+p3=0.9p_1 + p_2 + p_3 = 0.9
∑p=1\sum p = 1

לפני כל חישוב, בדקו שההסתברויות מסתכמות ל-1. אם לא — חסרה תוצאה, או שיש טעות.

Exercises

Exercise 1

בהגרלה: פרס של 50 שקלים בהסתברות 110\frac{1}{10}, פרס של 10 שקלים בהסתברות 310\frac{3}{10}, ואפס אחרת. מהי התוחלת (בשקלים)?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

E=50⋅110+10⋅310E = 50 \cdot \frac{1}{10} + 10 \cdot \frac{3}{10}

האפס לא תורם

E=5+3=8\begin{aligned}E &= 5 + 3 \\ &= 8\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 2

בהגרלה אחרת: 100 שקלים בהסתברות 120\frac{1}{20}, 20 שקלים בהסתברות 14\frac{1}{4}, ואפס אחרת. מהי התוחלת?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

E=100⋅120+20⋅14E = 100 \cdot \frac{1}{20} + 20 \cdot \frac{1}{4}
E=5+5=10\begin{aligned}E &= 5 + 5 \\ &= 10\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 3

מטילים קובייה הוגנת ומקבלים בשקלים את המספר שיצא. מהי תוחלת הזכייה?

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

E=1+2+3+4+5+66E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6}

כל תוצאה בהסתברות 16\frac{1}{6}

E=216=3.5\begin{aligned}E &= \frac{21}{6} \\ &= 3.5\end{aligned}

עוד דוגמה שהתוחלת לא חייבת להיות תוצאה אפשרית: אין פאה של 3.5.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשחק: בהסתברות 0.3 מרוויחים 20 שקלים, בהסתברות 0.7 מפסידים 10. מהי תוחלת הרווח?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

E=20⋅0.3+(−10)⋅0.7E = 20 \cdot 0.3 + (-10) \cdot 0.7

הפסד נכנס עם סימן מינוס

E=6−7=−1\begin{aligned}E &= 6 - 7 \\ &= -1\end{aligned}

תוחלת שלילית: לאורך זמן המשחק הזה מפסיד שקל למשחק.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו משחק הוגן?

  1. משחק שמנצחים בו חצי מהפעמים
  2. משחק בלי הפסדים
  3. משחק שהפרסים בו שווים
  4. משחק שתוחלת הרווח בו 0
Show the answer and the solution

Answer: D משחק שתוחלת הרווח בו 0

Worked solution:

E=0E = 0

הוגנות היא עניין של תוחלת, לא של תדירות: אפשר לנצח לעיתים רחוקות סכום גדול — וזה עדיין הוגן.

Check the answer on elev

Exercise 6

בהגרלת בית הספר כרטיס עולה 5 שקלים, והפרס היחיד — 40 שקלים — יוצא בהסתברות 110\frac{1}{10}. מהי תוחלת הרווח של קונה כרטיס?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

E=(40−5)⋅110+(−5)⋅910E = (40 - 5) \cdot \frac{1}{10} + (-5) \cdot \frac{9}{10}

זוכה: רווח 35 ; מפסיד: מינוס 5

E=3.5−4.5=−1\begin{aligned}E &= 3.5 - 4.5 \\ &= -1\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 7

משתנה מקבל את הערך 4 בהסתברות pp ואת הערך 10 בהסתברות 1−p1-p. ידוע שהתוחלת היא 6. מהו pp? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.667

Worked solution:

4p+10(1−p)=64p + 10(1 - p) = 6
10−6p=610 - 6p = 6
p=46=23≈0.67\begin{aligned}p &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \approx 0.67\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 8

בהגרלה: 14\frac{1}{4} לזכות ב-12 שקלים, 14\frac{1}{4} לזכות ב-4 שקלים, והשאר — כלום. באיזה מחיר כרטיס (בשקלים) המשחק הוגן?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

E=12⋅14+4⋅14=3+1=4\begin{aligned}E &= 12 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

מחיר הוגן = התוחלת

Check the answer on elev

Exercise 9

מכונה מייצרת חלק תקין בהסתברות 0.9. חלק תקין מכניס 8 שקלים, פגום עולה 12 שקלים (רווח שלילי). מהי תוחלת הרווח לחלק?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

E=8⋅0.9+(−12)⋅0.1E = 8 \cdot 0.9 + (-12) \cdot 0.1
E=7.2−1.2=6\begin{aligned}E &= 7.2 - 1.2 \\ &= 6\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 10

בקופסה שני פתקים: על אחד רשום 30 ועל השני 0. מוציאים פתק אחד. כמה הגרלות כאלה בממוצע נדרשות כדי שסך הזכיות יגיע ל-60?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

E=30⋅12=15\begin{aligned}E &= 30 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 15\end{aligned}

תוחלת להגרלה אחת

6015=4\frac{60}{15} = 4

בממוצע כל הגרלה «שווה» 15, ולכן ארבע הגרלות מצטברות ל-60.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade