Absolute value and matching graphs · Pre-calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

טרנספורמציה אחרונה: ערך מוחלט. $y=|f(x)|$ לוקחת את הגובה של $f$ ומוחקת את הסימן שלו. גובה חיובי נשאר, גובה שלילי הופך לחיובי. הסתכלו מה זה עושה לפרבולה.

הפרבולה f והגרף של |f|

f(x) = x² − 2x − 3
y = |f(x)|

מה שמעל ציר ה-

x

נשאר במקומו. מה שמתחתיו משתקף למעלה: הקודקוד

(1,-4)

עובר ל-

(1,4)

, ונעשה נקודת מקסימום מקומי. באפסים

x=-1

ו-

x=3

הגרף נוגע בציר בפינה חדה: אלה נקודות מינימום. והישר המקווקו

y=2

חותך את הגרף בארבע נקודות.

באילו ערכים של $x$ הגרף של $|f|$ זהה לגרף של $f$ בשרטוט?

Show the answer and the solution

היכן ש- $f \geq 0$ : ב- $x \leq -1$ וב- $x \geq 3$ . שם $|f(x)|=f(x)$ . בין $-1$ ל- $3$ , $f$ שלילית, ו- $|f(x)|=-f(x)$ .

מה קורה לכל חלק של הגרף

f(x) \geq 0

$|f(x)|=f(x)$ : החלק נשאר

f(x)<0

$|f(x)|=-f(x)$ : החלק משתקף בציר ה- $x$ ועולה מעליו

f(a)=0

$(a,\,0)$ נשארת, ונעשית נקודת מינימום של $|f|$ — הגרף לא יורד מתחת לאפס

\begin{aligned}\min f &= (a,\,b) \\ \ b<0\end{aligned}

הופך למקסימום מקומי $(a,\,-b)$ של $|f|$

הגרף של $|f|$ לעולם אינו יורד מתחת לציר ה- $x$ . ואם $f$ חיובית בכל מקום, למשל $x^2+1$ , אז $|f|=f$ ושום דבר לא משתנה.

כמה פתרונות יש ל- $|f(x)|=c$ ?

שאלה שחוזרת בבגרות: כמה פתרונות יש למשוואה $|f(x)|=c$ ? את המשוואה לא פותרים. מעבירים ישר אופקי $y=c$ וסופרים את נקודות החיתוך שלו עם הגרף של $|f|$ . בשרטוט, עם $f(x)=x^2-2x-3$ והמקסימום המקומי $(1,4)$ :

c<0

אין פתרונות: $|f|$ אינה שלילית

c=0

שני פתרונות: האפסים $x=-1$ ו- $x=3$

0<c<4

ארבעה פתרונות: שניים בענפים החיצוניים, ושניים בכיפה שהשתקפה

c=4

שלושה פתרונות: הישר נוגע בקצה הכיפה

c>4

שני פתרונות: הישר עובר מעל הכיפה

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-2x-3|=2$ ? היעזרו בשרטוט.

Show the answer and the solution

$0<2<4$ , ולכן ארבעה פתרונות. בדיקה אלגברית: $x^2-2x-3=2$ נותנת $x=1\pm\sqrt{6}$ , ו- $x^2-2x-3=-2$ נותנת $x=1\pm\sqrt{2}$ .

לזהות את הגרף של $\frac{1}{f}$ לפי שלושה סימנים

הפרבולה $f(x)=-x^2+4$ נתונה. תלמידה שרטטה גרף ואמרה שזה הגרף של $g=\frac{1}{f}$ . אילו שלושה דברים היא צריכה לבדוק בגרף שלה?

f(x)=-(x-2)(x+2)

אפסים: $\pm 2$ . בגרף של $g$ חייבות להיות אסימפטוטות $x=-2$ ו- $x=2$

-2<x<2: \ f>0 \Rightarrow g>0

סימן: בין האסימפטוטות $g$ מעל הציר, ומחוצה להן מתחת

\begin{aligned}\max f &= (0,\,4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(0,\,\frac{1}{4}\right)\end{aligned}

קיצון: בין האסימפטוטות יש ל- $g$ נקודת מינימום $\left(0,\frac{1}{4}\right)$

בשאלות «התאימו גרף» אל תחפשו את כל הפרטים. בדקו קודם את האסימפטוטות האנכיות (האפסים של $f$ ). אחר כך את הסימן בכל קטע. ברוב המקרים שני אלה מספיקים לפסול את כל הגרפים השגויים.

שלוש טעויות עם ערך מוחלט.

|f|: \ \min f=(1,\,-4) \to \min (1,\,4)

\max (1,\,4)

הקודקוד שהיה הכי נמוך הופך לנקודה הכי גבוהה בכיפה. המינימומים של $|f|$ נמצאים באפסים.

|f(x)|: \ (a,\,b) \to (-a,\,b)

|f(x)|: \ (a,\,b) \to (a,\,|b|)

ערך מוחלט פועל על הגובה, לא על $x$ . שום חלק של הגרף לא עובר מימין לשמאל.

|x^2-4|=-1: \ 2 \ \text{פתרונות}

|x^2-4|=-1: \ \varnothing

ערך מוחלט לעולם אינו שלילי. לפני שסופרים חיתוכים, בודקים את הסימן של $c$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=x^2-6x+5$ . מהו הערך של $|f(3)|$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

קודם $f$

|-4|=4

ואז ערך מוחלט

$x=3$ הוא קודקוד הפרבולה, מתחת לציר. בגרף של $|f|$ הוא הופך לנקודת המקסימום המקומי $(3,\,4)$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: C $4$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2-4 &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{7}\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}x^2-4 &= -3 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

עוד שניים

הנכונה: $4$ . המקסימום המקומי של $|x^2-4|$ הוא $(0,\,4)$ , ו- $0<3<4$ . מי שפותר רק $x^2-4=3$ מקבל שניים ושוכח את הכיפה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=x^2-2x-8$ . לגרף של $|f|$ יש נקודת מקסימום מקומי אחת. השלימו את שיעוריה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 1 , $y=$ 9

Worked solution:

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= 1-2-8 \\ &= -9\end{aligned}

הקודקוד של $f$ : $(1,\,-9)$

|{-9}|=9

הקודקוד השלילי משתקף

המקסימום המקומי של $|f|$ הוא הקודקוד של $f$ אחרי שיקוף: $(1,9)$ . המינימומים נמצאים באפסים $x=-2$ ו- $x=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

לכל פונקציה $f$ ולכל $x$ מתקיים $|f(x)| \geq f(x)$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(x) \geq 0: \ |f(x)|=f(x)

שוויון

f(x)<0: \ |f(x)|>0>f(x)

גדול ממש

הטענה נכונה. הגרף של $|f|$ נמצא תמיד על הגרף של $f$ או מעליו. הם מתלכדים היכן ש- $f \geq 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

עבור איזה ערך של $c$ יש למשוואה $|x^2-6x+5|=c$ בדיוק שלושה פתרונות?

$c=5$
$c=2$
$c=0$
$c=4$

Show the answer and the solution

Answer: D $c=4$

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= (x-3)^2-4 \\ \ \min f &= (3,\,-4)\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

\max |f|=(3,\,4)

מקסימום מקומי של $|f|$

c=4

הישר נוגע בקצה הכיפה

הנכונה: $c=4$ . $c=5$ הוא הערך של $f(0)$ , והוא לא קשור לכיפה. $c=2$ נותן ארבעה פתרונות, ו- $c=0$ שניים.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה $f(x)=x^2-9$ . מיינו את הערכים של $x$ : באילו $|f(x)|=f(x)$ ובאילו $|f(x)| \neq f(x)$ ?

$|f(x)|=f(x)$
$|f(x)| \neq f(x)$

$x=-1$
$x=-4$
$x=0$
$x=2$
$x=3$
$x=5$

Show the answer and the solution

Answer: $x=-4$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=3$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=5$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=0$ — $|f(x)| \neq f(x)$ · $x=2$ — $|f(x)| \neq f(x)$ · $x=-1$ — $|f(x)| \neq f(x)$

Worked solution:

\begin{aligned}f(-4) &= 7 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(5) &= 16\end{aligned}

לא שליליים

\begin{aligned}f(0) &= -9 \\ \ f(2) &= -5 \\ \ f(-1) &= -8\end{aligned}

שליליים

$|f(x)|=f(x)$ בדיוק כש- $f(x) \geq 0$ . הנקודה $x=3$ נכללת: $|0|=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל פונקציה את מה שקורה לגרף של $f$ .

$y=|f(x)|$
$y=-f(x)$
$y=f(-x)$
$y=f(x)-3$

כל הגרף יורד ב- $3$
כל הגרף משתקף בציר ה- $x$
כל הגרף משתקף בציר ה- $y$
רק החלק שמתחת לציר ה- $x$ משתקף למעלה

Show the answer and the solution

Answer: $y=|f(x)|$ — רק החלק שמתחת לציר ה- $x$ משתקף למעלה · $y=-f(x)$ — כל הגרף משתקף בציר ה- $x$ · $y=f(-x)$ — כל הגרף משתקף בציר ה- $y$ · $y=f(x)-3$ — כל הגרף יורד ב- $3$

Worked solution:

|f| \geq 0

ערך מוחלט פועל רק על החלק השלילי

-f: \ (a,\,b) \to (a,\,-b)

מינוס מחוץ לפונקציה

ההבדל בין $|f|$ ל- $-f$ : ב- $-f$ כל הגרף מתהפך, גם מה שהיה מעל הציר. ב- $|f|$ מה שמעל הציר לא זז.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f

בשרטוט: הגרף של $f(x)=-x^2+4$ . מה נכון לגבי $g=\frac{1}{f}$ ?

ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מינימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$
$g$ מתאפסת ב- $x=\pm 2$ , ויש לה מקסימום $(0,\,4)$
ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מקסימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$
$g$ חיובית לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה

Show the answer and the solution

Answer: A ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מינימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$

Worked solution:

f(\pm 2)=0

אסימפטוטות

\begin{aligned}\max f &= (0,\,4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(0,\,\frac{1}{4}\right)\end{aligned}

הקיצון מתחלף

|x|>2: f<0 \Rightarrow g<0

לכן $g$ לא חיובית בכל התחום

הנכונה: אסימפטוטות $x=\pm 2$ ומינימום $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ . « $g$ מתאפסת» היא הטעות הקלאסית, ו«חיובית לכל $x$ » שוכחת את הענפים שמחוץ לאפסים.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=x^2+2x-3$ . לכמה ערכים שלמים של $c$ יש למשוואה $|f(x)|=c$ בדיוק ארבעה פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= (x+1)^2-4 \\ \ \min f &= (-1,\,-4)\end{aligned}

הקודקוד

0<c<4

ארבעה פתרונות

\begin{aligned}c &= 1 \\ \ 2 \\ \ 3\end{aligned}

שלושה ערכים שלמים

$c=0$ נותן שני פתרונות ו- $c=4$ שלושה, ולכן שני הקצוות לא נכללים. נשארים $1$ , $2$ ו- $3$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

אם לפרבולה $f$ אין אפסים, אז הגרף של $|f|$ זהה לגרף של $f$ או לגרף של $-f$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\Delta<0 \Rightarrow f>0 \ \text{או} \ f<0

פרבולה בלי אפסים לא מחליפה סימן

\begin{aligned}f>0: |f| &= f \qquad f<0: |f| \\ &= -f\end{aligned}

שני המקרים

הטענה נכונה. ערך מוחלט «שובר» את הגרף רק באפסים. בלי אפסים, או שאין מה לשקף, או שמשקפים את כל הגרף.

Check the answer on elev

מה קורה לכל חלק של הגרף

כמה פתרונות יש ל-∣f(x)∣=c|f(x)|=c∣f(x)∣=c?

Exercises

Keep practising on elev

כמה פתרונות יש ל- $|f(x)|=c$ ?