Solving together · Pre-calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון שאלון 35471. בבחינה הנושא הזה מופיע כסעיף בתוך שאלה על פונקציה: «נתונה $g=\frac{1}{f}$ », « $g(x)=-f(x)+k$ », « $g(x)=f(x-3)$ », « $g=|f|$ ». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בשאלות האלה כמעט הכול נקרא מהאפסים ומהקודקוד של הפרבולה שבמכנה.

1 — חקירה של $\frac{1}{f}$ בלי נגזרת

Interactive activity

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+5}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של $f$ המקבילות לצירים. ג. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ .

f(x)=\frac{1}{x^2-6x+5}

לחצו «להתחיל». נקרא למכנה $q(x)=x^2-6x+5$ , וכל התשובות יבואו ממנו.

א. תחום

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= (x-1)(x-5) \ \Rightarrow \ x \neq 1 \\ \ x \neq 5\end{aligned}

מוציאים את האפסים של המכנה.

ב. אנכיות

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5\end{aligned}

בכל אפס של המכנה, והמונה $1$ אינו מתאפס.

ב. אופקית

y=0

רחוק מהראשית המכנה גדל מאוד, והשבר מתקרב ל- $0$ .

ג. הקודקוד

\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \quad q(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

למכנה מינימום $(3,\,-4)$ .

ג. קיצון

\begin{aligned}f(3) &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4} \ \Rightarrow \ \max\left(3,\,-\tfrac{1}{4}\right)\end{aligned}

מינימום של המכנה הוא מקסימום של השבר.

ד. עלייה

x<1 \ ,\ 1<x<3

שם המכנה יורד, ולכן $f$ עולה. שני קטעים נפרדים.

ד. ירידה

3<x<5 \ ,\ x>5

שם המכנה עולה, ולכן $f$ יורדת.

בכל הפתרון לא גזרנו אף פעם: הקודקוד של המכנה נתן את הקיצון, וכיוון העלייה של המכנה נתן, הפוך, את כיוון העלייה של $f$ .

Do the activity on elev

האם הנקודה $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$ היא הערך הגדול ביותר של $f$ בכל התחום?

Show the answer and the solution

לא. היא מקסימום רק בין האסימפטוטות. ב- $x<1$ וב- $x>5$ המכנה חיובי, ולכן $f$ חיובית, למשל $f(0)=\frac{1}{5}>-\frac{1}{4}$ . זו נקודת מקסימום מקומי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: $g(x)=-f(x)+k$

Interactive activity

מציאת k מהאסימפטוטה

נתונה $f(x)=\frac{3}{x-2}$ , ו- $g(x)=-f(x)+k$ . לגרף של $g$ אסימפטוטה אופקית $y=1$ . מצאו את $k$ , ואת נקודות החיתוך של $g$ עם הצירים.

$k=1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$

$k=-1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,0.5)$

$k=1$ ; $(-1,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$

$k=1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,-0.5)$

מהי האסימפטוטה האופקית של $-f$ ?

$y=0$

Show the answer and the solution

שיקוף בציר ה- $x$ משאיר את ציר ה- $x$ במקומו.

$y=-3$

Show the answer and the solution

המונה $3$ הוא מתיחה, לא הזזה.

\begin{aligned}-f(x) &= -\frac{3}{x-2} \ : \ y \\ &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $-f$ : $x=2$ ו- $y=0$

אז מה עושה ה- $+k$ ?

מזיז את $y=0$ ל- $y=k$ , ולכן $k=1$

Show the answer and the solution

הזזה אנכית מזיזה גם את האסימפטוטה האופקית.

מזיז את $x=2$ ל- $x=2+k$

Show the answer and the solution

$k$ נמצא מחוץ לשבר: הוא לא נוגע במכנה.

\begin{aligned}y &= 0+k \\ &= 1 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

$g(x)=-\frac{3}{x-2}+1$

איך מוצאים את החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

פותרים $g(x)=0$

Show the answer and the solution

נקודה על ציר ה- $x$ : $y=0$ .

מציבים $x=0$

Show the answer and the solution

זה החיתוך עם ציר ה- $y$ .

\begin{aligned}\frac{3}{x-2} &= 1 \ \Rightarrow \ x-2 \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה $(5,\,0)$

ומה החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$g(0)=-\frac{3}{-2}+1=2.5$

Show the answer and the solution

מינוס כפול מינוס.

$g(0)=-\frac{3}{2}+1=-0.5$

Show the answer and the solution

$0-2=-2$ , ולכן $-\frac{3}{-2}=+\frac{3}{2}$ .

\begin{aligned}g(0) &= \frac{3}{2}+1 \\ &= 2.5\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2.5)$

Show the answer and the solution

$k=1$ , והנקודות $(5,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$ . בדיקה: $g(5)=-\frac{3}{3}+1=0$ ✓

Do the activity on elev

מהי האסימפטוטה האנכית של $g$ , והאם ה- $k$ השפיע עליה?

Show the answer and the solution

$x=2$ , כמו של $f$ . לא: $k$ ו-המינוס נמצאים מחוץ לשבר, והאסימפטוטה האנכית תלויה רק במכנה $x-2$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — הזזה אופקית: $g(x)=f(x-3)$

Interactive activity

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$ , ו- $g(x)=f(x-3)$ . א. מצאו את האסימפטוטות של $g$ המקבילות לצירים. ב. חשבו את $g(3)$ . ג. הפונקציה $f$ זוגית. האם גם $g$ זוגית? נמקו.

\begin{aligned}g(x) &= f(x-3) \\ &= \frac{1}{(x-3)^2-4}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הזזה אופקית מזיזה כל נקודה, וגם כל אסימפטוטה אנכית.

א. של $f$

\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $f$ .

א. הזזה

x-3 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{ימינה}

כל אסימפטוטה אנכית זזה ב- $3$ .

א. של $g$

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

$-2+3=1$ ו- $2+3=5$ . האופקית לא זזה בהזזה אופקית.

ב.

\begin{aligned}g(3) &= f(0) \\ &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הקודקוד של המכנה זז גם הוא: מ- $x=0$ ל- $x=3$ .

ג.

\begin{aligned}x &= 1 \notin D_g \\ \quad x &= -1 \in D_g\end{aligned}

$g(-1)=f(-4)=\frac{1}{12}$ , אבל $g(1)$ לא מוגדר.

ג. מסקנה

g(-x) \neq g(x)

התחום שלה אינו סימטרי סביב $0$ . הגרף סימטרי סביב $x=3$ , לא סביב ציר ה- $y$ .

בשאלות «האם $g$ זוגית» מספיקה דוגמה נגדית אחת: נקודה $a$ שבה $g(a) \neq g(-a)$ , או ש- $a$ בתחום ו- $-a$ לא.

Do the activity on elev

אילו היו שואלים על $h(x)=f(x)+3$ במקום $f(x-3)$ : אילו אסימפטוטות היו משתנות?

Show the answer and the solution

רק האופקית: $y=0$ הופכת ל- $y=3$ . האנכיות $x=\pm 2$ נשארות, כי הזזה אנכית לא משנה את המקומות שבהם $f$ לא מוגדרת.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — $|f|$ ומספר הפתרונות של $|f(x)|=k$

Interactive activity

נתונה $f(x)=x^2+2x-8$ , ו- $g(x)=|f(x)|$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ ואת הקודקוד שלה. ב. מצאו את נקודות הקיצון של $g$ וקבעו את סוגן. ג. עבור אילו ערכים של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק ארבעה פתרונות? ד. ועבור אילו ערכים בדיוק שני פתרונות?

g(x)=|x^2+2x-8|

לחצו «להתחיל». את $g$ משרטטים מ- $f$ : מה שמתחת לציר עולה למעלה.

א. אפסים

\begin{aligned}x^2+2x-8 &= (x+4)(x-2) \ \Rightarrow \ x \\ &= -4 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$(-4,\,0)$ ו- $(2,\,0)$ .

א. קודקוד

\begin{aligned}x_v &= -1 \\ \quad f(-1) &= 1-2-8 \\ &= -9\end{aligned}

הקודקוד $(-1,\,-9)$ , מתחת לציר.

ב. מינימום

(-4,\,0) ,\ (2,\,0)

באפסים $g=0$ , והיא לא יורדת מתחת לאפס.

ב. מקסימום

(-1,\,-9) \to (-1,\,9)

הקודקוד משתקף ונעשה מקסימום מקומי.

ג.

0<k<9

ישר אופקי בין $0$ ל- $9$ חותך את שני הענפים ואת הכיפה: ארבע נקודות.

ד.

k=0 \ \text{או} \ k>9

ב- $k=0$ : רק האפסים. מעל $9$ : רק שני הענפים. וב- $k=9$ שלוש נקודות.

המספר $9$ הוא גובה הכיפה, כלומר הערך המוחלט של $f$ בקודקוד. הוא מפריד בין «ארבעה פתרונות» ל«שניים».

Do the activity on elev

כמה פתרונות יש ל- $g(x)=-2$ ?

Show the answer and the solution

אף אחד. $g=|f|$ אינה שלילית לעולם, ולכן הישר $y=-2$ לא פוגש את הגרף שלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מסכמת: מפגש של $f$ עם $\frac{1}{f}$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-8x+12}$ . השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: $x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטנה לגדולה) ; נקודת הקיצון: $x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטות אנכיות: $x=$ 2 ו- $x=$ 6 (מהקטנה לגדולה) ; נקודת הקיצון: $x=$ 4 , $y=$ -0.25

Worked solution:

x^2-8x+12=(x-2)(x-6)

האפסים של המכנה

\begin{aligned}x_v &= 4 \\ \ q(4) &= 16-32+12 \\ &= -4\end{aligned}

קודקוד המכנה

f(4)=-\frac{1}{4}

מקסימום מקומי

שיעור ה- $y$ של הקיצון הוא ההופכי של גובה הקודקוד, $-\frac{1}{4}$ , לא $-4$ . והסוג: מקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\frac{4}{x+1}$ , ו- $g(x)=-f(x)+k$ . לגרף של $g$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ . השלימו.

$k=$ ____ ; נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $k=$ 2 ; נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ : $x=$ 1

Worked solution:

\begin{aligned}-f: \ y &= 0 \ \Rightarrow \ g: \ y \\ &= k \\ &= 2\end{aligned}

הזזה אנכית

\begin{aligned}-\frac{4}{x+1}+2 &= 0 \Rightarrow x+1 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

האסימפטוטה האופקית של $-f$ היא $y=0$ , ולכן $k$ הוא האסימפטוטה החדשה. בדיקה: $g(1)=-2+2=0$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$ , ו- $g(x)=f(x+2)$ . מהן האסימפטוטות האנכיות של $g$ ?

$x=-1$ ו- $x=5$
$x=-5$ ו- $x=1$
$x=-3$ ו- $x=3$
$x=-7$ ו- $x=11$

Show the answer and the solution

Answer: B $x=-5$ ו- $x=1$

Worked solution:

f: \ x=\pm 3

האפסים של $x^2-9$

\begin{aligned}x+2 &= \pm 3 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= -5\end{aligned}

הזזה של $2$ שמאלה

הנכונה: $x=-5$ ו- $x=1$ . $x+2$ מזיז שמאלה. $x=-1$ ו- $x=5$ הם הזזה ימינה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=x^2-2x-15$ , ו- $g(x)=|f(x)|$ . עבור איזה ערך של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק שלושה פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= 1-2-15 \\ &= -16\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

\max g=(1,\,16)

הכיפה

k=16

הישר נוגע בקצה הכיפה

שלושה פתרונות מתקבלים רק כשהישר נוגע בקצה הכיפה: שתי נקודות בענפים ונקודה אחת בקודקוד שהשתקף.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=x^2+1$ . הגרפים של $f$ ושל $\frac{1}{f}$ נפגשים בנקודה אחת בדיוק.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= 1 \Rightarrow x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת מפגש אחת

\begin{aligned}f(x) &= -1 \Rightarrow x^2 \\ &= -2\end{aligned}

אין פתרון

הטענה נכונה. הגרפים נפגשים היכן ש- $f=1$ או $f=-1$ . כאן $f \geq 1$ , ולכן רק $(0,\,1)$ .

Check the answer on elev

1 — חקירה של 1f\frac{1}{f}f1​ בלי נגזרת

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: g(x)=−f(x)+kg(x)=-f(x)+kg(x)=−f(x)+k

3 — הזזה אופקית: g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3)g(x)=f(x−3)

4 — ∣f∣|f|∣f∣ ומספר הפתרונות של ∣f(x)∣=k|f(x)|=k∣f(x)∣=k

Exercises

Keep practising on elev

1 — חקירה של $\frac{1}{f}$ בלי נגזרת

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: $g(x)=-f(x)+k$

3 — הזזה אופקית: $g(x)=f(x-3)$

4 — $|f|$ ומספר הפתרונות של $|f(x)|=k$