The reciprocal 1/f: domain, sign and values

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו חקרנו פונקציות אחת-אחת. בפרק הזה נבנה פונקציה חדשה מפונקציה מוכרת: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. לכל xx לוקחים את הגובה של ff והופכים אותו. לא צריך נגזרת ולא צריך טבלה: כל מה שצריך נמצא בגרף של ff. התחילו מהשרטוט, ורק אחר כך קראו את הכללים.

הישר f והגרף של 1/f
x = 2(3, 1)(1, −1)(4, 2)(4, ½)-3-2-10123456-4-3-2-11234xy
  • f(x) = x − 2
  • g(x) = 1/f(x)
קראו את הגרף לאורך קו אנכי אחד בכל פעם. ב-x=4x=4 הגובה של ff הוא 22, והגובה של gg הוא 12\frac{1}{2}. ב-x=2.5x=2.5 זה הפוך: ff בגובה 12\frac{1}{2}, ו-gg בגובה 22. ב-x=3x=3 וב-x=1x=1 שני הגרפים נפגשים. וב-x=2x=2, שם ff מתאפסת, ל-gg אין ערך בכלל.

לפי השרטוט, f(4)=2f(4)=2. מהו g(4)g(4)? ואם f(a)=10f(a)=10, מה אפשר לומר על g(a)g(a)?

Show the answer and the solution

g(4)=12g(4)=\frac{1}{2}. ואם f(a)=10f(a)=10, אז g(a)=110g(a)=\frac{1}{10}: גובה גדול של ff נותן גובה קטן של gg, קרוב לציר ה-xx.

ארבעה דברים שקוראים ישר מהגרף של ff

g(x)=1f(x)f(x)≠0\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x)} \quad \\ \quad f(x) \neq 0\end{aligned}
f(a)=0f(a)=0

תחום: x=ax=a אינו בתחום ההגדרה של gg. מוציאים מהתחום את כל האפסים של ff, ורק אותם

f(a)>0⇒g(a)>0f(a)>0 \Rightarrow g(a)>0

סימן: ל-gg ול-ff אותו סימן בכל נקודה. מספר והמספר ההופכי לו תמיד באותו צד של האפס

∣f(a)∣>1⇔∣g(a)∣<1|f(a)|>1 \Leftrightarrow |g(a)|<1

גודל: גובה רחוק מהציר הופך לגובה קרוב לציר, ולהפך

f(a)=±1⇒g(a)=f(a)\begin{aligned}f(a) &= \pm 1 \Rightarrow g(a) \\ &= f(a)\end{aligned}

מפגש: 11 ו-−1-1 הם המספרים היחידים ששווים להופכי שלהם. שם שני הגרפים נפגשים

ויש דבר אחד ש-gg לא עושה לעולם: היא לא מתאפסת. שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, והמונה כאן הוא 11.

מהו תחום ההגדרה של g(x)=1x2−9g(x)=\frac{1}{x^2-9}?

Show the answer and the solution

מוציאים את האפסים של x2−9x^2-9: x=3x=3 ו-x=−3x=-3. התחום: כל xx פרט ל-x=±3x=\pm 3. שאר המספרים, גם השליליים, בתחום.

כש-ff היא פרבולה: שלושה מקרים של תחום

פרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות, נוגעת בו בנקודה אחת, או לא פוגשת אותו כלל. לכן לפונקציה 1f\frac{1}{f} יש שתי נקודות מחוץ לתחום, אחת, או אף אחת. את מספר האפסים נותנת הדיסקרימיננטה.

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

שני אפסים: התחום הוא כל xx פרט ל-11 ול-33

x2−4x+4=(x−2)2x^2-4x+4=(x-2)^2

אפס אחד: התחום הוא כל xx פרט ל-22

x2−4x+5=(x−2)2+1x^2-4x+5=(x-2)^2+1

אין אפסים: gg מוגדרת לכל xx

תחום, סימן וחיתוך עם ציר ה-yy — בלי שרטוט

נתונה f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מצאו את תחום ההגדרה של gg, את התחומים שבהם gg חיובית ושלילית, ואת נקודת החיתוך של gg עם ציר ה-yy.

x2−2x−8=(x−4)(x+2)x^2-2x-8=(x-4)(x+2)

מפרקים. האפסים של ff: x=4x=4 ו-x=−2x=-2

x≠−2, x≠4x \neq -2 ,\ x \neq 4

תחום ההגדרה של gg

x<−2 או x>4: g>0x<-2 \ \text{או} \ x>4 : \ g>0

הפרבולה פתוחה למעלה: ff חיובית מחוץ לאפסים, ולכן גם gg

−2<x<4: g<0-2<x<4 : \ g<0

בין האפסים ff שלילית, ולכן גם gg

g(0)=1f(0)=1−8=−18\begin{aligned}g(0) &= \frac{1}{f(0)} \\ &= \frac{1}{-8} \\ &= -\frac{1}{8}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, −18)\left(0,\,-\frac{1}{8}\right). שלילי, כמו שקבענו

האם ייתכן ש-g(x)=1x2+1g(x)=\frac{1}{x^2+1} מקבלת ערך גדול מ-11?

Show the answer and the solution

לא. x2+1≥1x^2+1 \geq 1 לכל xx, והמספר ההופכי למספר שגדול או שווה ל-11 הוא לכל היותר 11. הערך 11 מתקבל רק ב-x=0x=0, שם f(0)=1f(0)=1.

סדר העבודה בכל שאלה על 1f\frac{1}{f}: (1) האפסים של ff — הם מחוץ לתחום. (2) הסימן של ff בין האפסים — זה גם הסימן של gg. (3) הנקודות שבהן f=±1f=\pm 1 — שם הגרפים נפגשים.

שלוש טעויות שחוזרות בשאלות על 1f\frac{1}{f}.

f(−2)=0⇒g(−2)=0\begin{aligned}f(-2) &= 0 \Rightarrow g(-2) \\ &= 0\end{aligned}
f(−2)=0⇒x=−2∉Dg\begin{aligned}f(-2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2 \notin D_g\end{aligned}

האפס של ff הוא הנקודה שבה gg לא מוגדרת, לא אפס של gg. ל-gg אין אפסים בכלל.

1x2+4: x≠±2\frac{1}{x^2+4}: \ x \neq \pm 2
1x2+4: כל x\frac{1}{x^2+4}: \ \text{כל } x

x2+4x^2+4 אינו מתאפס: x2=−4x^2=-4 אין לה פתרון. ±2\pm 2 שייכים ל-x2−4x^2-4.

f(a)=−4⇒g(a)=4\begin{aligned}f(a) &= -4 \Rightarrow g(a) \\ &= 4\end{aligned}
f(a)=−4⇒g(a)=−14\begin{aligned}f(a) &= -4 \Rightarrow g(a) \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

ההופכי שומר על הסימן ומחליף רק את הגודל. 44 הוא הנגדי, לא ההופכי.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של g(x)=1x2−4xg(x)=\frac{1}{x^2-4x}?

  1. כל xx פרט ל-x=4x=4
  2. x>4x>4
  3. כל xx פרט ל-x=−4x=-4 ול-x=0x=0
  4. כל xx פרט ל-x=0x=0 ול-x=4x=4
Show the answer and the solution

Answer: D כל xx פרט ל-x=0x=0 ול-x=4x=4

Worked solution:

x2−4x=x(x−4)x^2-4x=x(x-4)

מפרקים

x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

האפסים של המכנה

הנכונה: כל xx פרט ל-00 ול-44. מי ששכח את x=0x=0 לא פירק עד הסוף. x>4x>4 היא טעות של שורש: כאן אין שורש, ומספרים שליליים מותרים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x2−3x+6f(x)=x^2-3x+6 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. חשבו את g(2)g(2). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

f(2)=4−6+6=4\begin{aligned}f(2) &= 4-6+6 \\ &= 4\end{aligned}

קודם ff

g(2)=14=0.25\begin{aligned}g(2) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

ואז ההופכי

מחשבים את כל הגובה של ff ורק אז הופכים. 14−16+16\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6} היא טעות: ההופכי של סכום אינו סכום ההופכיים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x2−9f(x)=x^2-9 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מיינו את הערכים של xx לפי הסימן של g(x)g(x).

  • g(x)>0g(x)>0
  • g(x)<0g(x)<0
  • x=−1x=-1
  • x=−3.5x=-3.5
  • x=−4x=-4
  • x=0x=0
  • x=2x=2
  • x=5x=5
Show the answer and the solution

Answer: x=−4x=-4 — g(x)>0g(x)>0 · x=5x=5 — g(x)>0g(x)>0 · x=−3.5x=-3.5 — g(x)>0g(x)>0 · x=0x=0 — g(x)<0g(x)<0 · x=2x=2 — g(x)<0g(x)<0 · x=−1x=-1 — g(x)<0g(x)<0

Worked solution:

f(−4)=7>0 f(5)=16>0 f(−3.5)=3.25>0\begin{aligned}f(-4) &= 7>0 \\ \ f(5) &= 16>0 \\ \ f(-3.5) &= 3.25>0\end{aligned}

מחוץ לאפסים ±3\pm 3

f(0)=−9 f(2)=−5 f(−1)=−8\begin{aligned}f(0) &= -9 \\ \ f(2) &= -5 \\ \ f(-1) &= -8\end{aligned}

בין האפסים: שליליים

הסימן של gg הוא הסימן של ff. לא צריך לחשב את gg עצמה: מספיק לדעת אם xx בין האפסים −3-3 ו-33 או מחוצה להם.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f
(−1, 0)(3, 0)(0, 3)(1, 4)-2-101234-2-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה ff ונקודות מסומנות עליו. g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

g(1)=g(1)= ____ ; מספר הערכים של xx שאינם בתחום ההגדרה של gg: ____

Show the answer and the solution

Answer: g(1)=g(1)= 0.25 ; מספר הערכים של xx שאינם בתחום ההגדרה של gg: 2

Worked solution:

f(1)=4⇒g(1)=14=0.25\begin{aligned}f(1) &= 4 \Rightarrow g(1) \\ &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

קוראים את הגובה בקודקוד

f(−1)=f(3)=0\begin{aligned}f(-1) &= f(3) \\ &= 0\end{aligned}

שני אפסים: שני ערכים מחוץ לתחום

את התחום של gg קוראים מנקודות החיתוך של ff עם ציר ה-xx, לא מהקודקוד. הקודקוד (1,4)(1,4) נותן רק את הערך g(1)=14g(1)=\frac{1}{4}.

Check the answer on elev

Exercise 5

בקטע מסוים מתקיים f(x)>1f(x)>1. לכן באותו קטע מתקיים 0<1f(x)<10<\frac{1}{f(x)}<1.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(x)>1>0⇒1f(x)>0f(x)>1>0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0

אותו סימן

f(x)>1⇒1f(x)<1f(x)>1 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}<1

מספר גדול מ-11 — ההופכי שלו קטן מ-11

הטענה נכונה. גובה רחוק מהציר (יותר מ-11) הופך לגובה קרוב לציר (פחות מ-11), והסימן לא משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1. מה נכון לגבי g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. gg מוגדרת לכל x≠1x \neq 1, וחיובית בכל תחום ההגדרה שלה
  2. gg מוגדרת לכל x≠−1x \neq -1, שלילית משמאל ל-−1-1 וחיובית מימין
  3. gg מוגדרת לכל x≠−1x \neq -1, וחיובית בכל תחום ההגדרה שלה
  4. gg מוגדרת לכל xx
Show the answer and the solution

Answer: C gg מוגדרת לכל x≠−1x \neq -1, וחיובית בכל תחום ההגדרה שלה

Worked solution:

f(x)=(x+1)2f(x)=(x+1)^2

ריבוע שלם

f(x)≥0 f(−1)=0\begin{aligned}f(x) \geq 0 \\ \ f(-1) &= 0\end{aligned}

אפס אחד, ובשאר המקומות חיובית

הנכונה: x≠−1x \neq -1, ו-gg חיובית. הפרבולה רק נוגעת בציר, ולכן ff לא מחליפה סימן, וגם gg לא. מי שכתב x≠1x \neq 1 טעה בסימן של האפס.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה g(x)=1x2−6x+cg(x)=\frac{1}{x^2-6x+c}. ידוע שיש בדיוק ערך אחד של xx שאינו בתחום ההגדרה של gg. מצאו את cc.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

x2−6x+c=0x^2-6x+c=0

אפס אחד בדיוק

Δ=36−4c=0\begin{aligned}\Delta &= 36-4c \\ &= 0\end{aligned}

דיסקרימיננטה אפס

c=9c=9

ואז x2−6x+9=(x−3)2x^2-6x+9=(x-3)^2

«ערך אחד מחוץ לתחום» פירושו שהמכנה נוגע בציר: דיסקרימיננטה אפס. אם c<9c<9 יש שני ערכים, ואם c>9c>9 אין אף אחד.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה g=1fg=\frac{1}{f}. התאימו לכל נתון על ff את המסקנה על gg.

  • f(a)=0f(a)=0
  • f(a)=1f(a)=1
  • f(a)=−4f(a)=-4
  • f(a)=13f(a)=\frac{1}{3}
  • aa אינו בתחום של gg
  • g(a)=−14g(a)=-\frac{1}{4}
  • g(a)=1g(a)=1
  • g(a)=3g(a)=3
Show the answer and the solution

Answer: f(a)=0f(a)=0 — aa אינו בתחום של gg · f(a)=1f(a)=1 — g(a)=1g(a)=1 · f(a)=−4f(a)=-4 — g(a)=−14g(a)=-\frac{1}{4} · f(a)=13f(a)=\frac{1}{3} — g(a)=3g(a)=3

Worked solution:

g(a)=1f(a)g(a)=\frac{1}{f(a)}

הופכים את הגובה

11/3=3\frac{1}{1/3}=3

הופכי של שבר

ההופכי שומר על הסימן: −4-4 הופך ל-−14-\frac{1}{4}, לא ל-44. ואפס של ff אינו ערך של gg בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=2x−3f(x)=2x-3. הגרפים של ff ושל g=1fg=\frac{1}{f} נפגשים בשתי נקודות. מהו סכום שיעורי ה-xx של נקודות המפגש?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(x)=1⇒2x−3=1⇒x=2\begin{aligned}f(x) &= 1 \Rightarrow 2x-3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מפגש ראשון

f(x)=−1⇒2x−3=−1⇒x=1\begin{aligned}f(x) &= -1 \Rightarrow 2x-3 \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מפגש שני

2+1=32+1=3

הסכום

הגרפים נפגשים היכן ש-f=1ff=\frac{1}{f}, כלומר f2=1f^2=1: גם f=1f=1 וגם f=−1f=-1. מי ששוכח את −1-1 מוצא רק את x=2x=2.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

הערכים שאינם בתחום של gg: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול) ; g(1)=g(1)= ____

Show the answer and the solution

Answer: הערכים שאינם בתחום של gg: x=x= -1 (הקטן) ו-x=x= 3 (הגדול) ; g(1)=g(1)= -0.25

Worked solution:

x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

האפסים של ff

f(1)=1−2−3=−4\begin{aligned}f(1) &= 1-2-3 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה ב-x=1x=1

g(1)=−14=−0.25\begin{aligned}g(1) &= -\frac{1}{4} \\ &= -0.25\end{aligned}

ההופכי, עם אותו סימן

g(1)g(1) שלילי: x=1x=1 נמצא בין האפסים, שם f<0f<0. מי שכתב 0.250.25 איבד את הסימן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade