1/f: increase, decrease, extrema and asymptotes

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשיעור הקודם הפכנו גובה אחד בכל פעם. עכשיו נסתכל על הצורה של הגרף: איפה g=1fg=\frac{1}{f} עולה, איפה היא יורדת, איפה יש לה נקודת קיצון, ומה קורה ליד הנקודות שבהן ff מתאפסת. שוב, הכול נקרא מהגרף של ff.

הפרבולה f והגרף של 1/f
x = −1x = 3(1, −4)(1, −¼)-3-2-1012345-5-4-3-2-112345xy
  • f(x) = x² − 2x − 3
  • g(x) = 1/f(x)
עקבו אחרי הקודקוד (1,−4)(1,-4) של ff: הוא הנקודה הנמוכה ביותר של ff, ומעליו gg מגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה בין האסימפטוטות, (1,−14)\left(1,-\frac{1}{4}\right). ליד x=−1x=-1 ו-x=3x=3 הגרף של gg בורח למעלה או למטה בלי סוף. ורחוק משם, כש-ff גדלה מאוד, gg נצמדת לציר ה-xx.

בשרטוט, ff יורדת בתחום x<1x<1. מה עושה gg באותו תחום?

Show the answer and the solution

gg עולה, אבל בשני חלקים נפרדים: ב-x<−1x<-1 וב-−1<x<1-1<x<1. ב-x=−1x=-1 יש אסימפטוטה, ושם הגרף של gg נקטע. לא כותבים «gg עולה ב-x<1x<1».

עלייה וירידה מתהפכות

נניח ש-ff חיובית ועולה: f(a)=2f(a)=2 ו-f(b)=5f(b)=5. אז g(a)=12g(a)=\frac{1}{2} ו-g(b)=15g(b)=\frac{1}{5}, ו-gg ירדה. ככל שהמכנה גדל, השבר קטן. כך גם כש-ff שלילית: ff עולה מ-−5-5 ל-−2-2, ו-gg יורדת מ-−15-\frac{1}{5} ל-−12-\frac{1}{2}.

f↗ ⇒ g↘f \nearrow \ \Rightarrow \ g \searrow

בכל קטע שבו ff עולה ואינה מתאפסת, gg יורדת — ולהפך

min⁡f=(a, b) b≠0\begin{aligned}\min f &= (a,\,b) \\ \ b \neq 0\end{aligned}

הופך למקסימום של gg בנקודה (a, 1b)\left(a,\,\frac{1}{b}\right)

max⁡f=(a, b) b≠0\begin{aligned}\max f &= (a,\,b) \\ \ b \neq 0\end{aligned}

הופך למינימום של gg בנקודה (a, 1b)\left(a,\,\frac{1}{b}\right)

לכן את נקודת הקיצון של 1f\frac{1}{f}, כש-ff היא פרבולה, מוצאים מהקודקוד של הפרבולה — בלי לגזור. שיעור ה-xx נשאר, שיעור ה-yy מתהפך, וסוג הקיצון מתחלף.

אסימפטוטות — אנכיות ואופקית

ליד אפס של ff הגובה של ff קטן מאוד, ולכן הגובה של gg גדול מאוד בערכו המוחלט. הגרף של gg מתקרב לישר האנכי x=ax=a ואינו נוגע בו: זו אסימפטוטה אנכית. הסימן של ff משני צדי האפס קובע אם gg בורחת למעלה או למטה.

ורחוק מהראשית פרבולה (או ישר שאינו אופקי) גדלה בערכה המוחלט בלי גבול. לכן gg מתקרבת ל-00, והגרף נצמד לציר ה-xx: הישר y=0y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.

(x−1)(x−3)(x-1)(x-3)

שני אפסים: שתי אסימפטוטות אנכיות, x=1x=1 ו-x=3x=3. בין שתיהן gg שלילית

(x−2)2(x-2)^2

אפס אחד שבו הפרבולה נוגעת בציר: אסימפטוטה אחת, x=2x=2, ו-gg חיובית משני צדיה

(x−2)2+1(x-2)^2+1

אין אפסים: אין אסימפטוטה אנכית, ו-gg חסומה

נתונה f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2. מה עושה הגרף של g=1fg=\frac{1}{f} כש-xx מתקרב ל-22 משמאל ומימין?

Show the answer and the solution

משני הצדדים ff חיובית וקטנה מאוד, ולכן gg חיובית וגדולה מאוד משני הצדדים: הגרף עולה למעלה לאורך x=2x=2 גם משמאל וגם מימין.

תיאור מלא של 1f\frac{1}{f} כשאין ל-ff אפסים

נתונה f(x)=x2+2x+2f(x)=x^2+2x+2 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מצאו את תחום ההגדרה של gg, את האסימפטוטות, את נקודת הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של gg.

Δ=4−8=−4<0\begin{aligned}\Delta &= 4-8 \\ &= -4<0\end{aligned}

ל-ff אין אפסים, והיא פתוחה למעלה: f>0f>0 לכל xx

Dg: כל xD_g: \ \text{כל } x

תחום ההגדרה. ולכן אין אסימפטוטה אנכית

f(x)=(x+1)2+1⇒min⁡f=(−1, 1)\begin{aligned}f(x) &= (x+1)^2+1 \Rightarrow \min f \\ &= (-1,\,1)\end{aligned}

הקודקוד של ff

max⁡g=(−1, 11)=(−1, 1)\begin{aligned}\max g &= \left(-1,\,\frac{1}{1}\right) \\ &= (-1,\,1)\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg

x<−1: g↗x>−1: g↘x<-1: \ g \nearrow \qquad x>-1: \ g \searrow

ff יורדת ואז עולה, ולכן gg עולה ואז יורדת

y=0y=0

אסימפטוטה אופקית: רחוק מהראשית ff גדלה מאוד

בשאלה על 1f\frac{1}{f} ציירו קודם את האסימפטוטות האנכיות בקו מקווקו. הן מחלקות את הציר לקטעים, ובכל קטע עובדים לחוד: סימן, עלייה או ירידה, וקיצון.

שלוש טעויות בצורה של 1f\frac{1}{f}.

min⁡f=(1, −4)⇒min⁡g=(1, −14)\begin{aligned}\min f &= (1,\,-4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(1,\,-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}
max⁡g=(1, −14)\max g=\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)

סוג הקיצון מתחלף. בשרטוט רואים זאת: מעל הקודקוד של ff, gg נמצאת בנקודה הגבוהה ביותר שלה בין האסימפטוטות.

x<1: g↗x<1: \ g \nearrow
x<−1 וגם −1<x<1: g↗x<-1 \ \text{וגם} \ -1<x<1: \ g \nearrow

אסימפטוטה קוטעת את הגרף. תחום עלייה לא עובר דרך נקודה שאינה בתחום.

f(x)=(x−2)2⇒min⁡g=(2, 0)\begin{aligned}f(x) &= (x-2)^2 \Rightarrow \min g \\ &= (2,\,0)\end{aligned}
x=2 אסימפטוטהx=2 \ \text{אסימפטוטה}

המינימום של ff כאן הוא אפס, ואפס אין להפוך. במקום נקודת קיצון מקבלים אסימפטוטה אנכית.

Exercises

Exercise 1

לפונקציה ff נקודת מקסימום (2, 5)(2,\,5). מה ידוע על g=1fg=\frac{1}{f} ב-x=2x=2?

  1. ל-gg מקסימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)
  2. ל-gg מקסימום (2, 5)(2,\,5)
  3. ל-gg מינימום (2, −5)(2,\,-5)
  4. ל-gg מינימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)
Show the answer and the solution

Answer: D ל-gg מינימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)

Worked solution:

g(2)=15g(2)=\frac{1}{5}

הופכים את הגובה

max⁡f⇒min⁡g\max f \Rightarrow \min g

הסוג מתחלף

הנכונה: מינימום (2,15)\left(2,\frac{1}{5}\right). סביב x=2x=2 הערכים של ff קטנים מ-55, ולכן ההופכיים שלהם גדולים מ-15\frac{1}{5}. −5-5 הוא הנגדי, לא ההופכי.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8. מהי נקודת הקיצון של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} בין האסימפטוטות, ומה סוגה?

  1. מקסימום (3, 1)(3,\,1)
  2. מינימום (3, 1)(3,\,1)
  3. מקסימום (3, −1)(3,\,-1)
  4. מינימום (3, −1)(3,\,-1)
Show the answer and the solution

Answer: C מקסימום (3, −1)(3,\,-1)

Worked solution:

xv=62=3 f(3)=9−18+8=−1\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \ f(3) &= 9-18+8 \\ &= -1\end{aligned}

קודקוד הפרבולה: מינימום (3,−1)(3,-1)

g(3)=1−1=−1\begin{aligned}g(3) &= \frac{1}{-1} \\ &= -1\end{aligned}

ההופכי של −1-1 הוא −1-1

הנכונה: מקסימום (3,−1)(3,-1). שיעור ה-yy לא השתנה כי 1−1=−1\frac{1}{-1}=-1, אבל הסוג השתנה: מינימום של ff הוא מקסימום של gg.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x2+4x+8f(x)=x^2+4x+8. מהו הערך הגדול ביותר של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

f(x)=(x+2)2+4f(x)=(x+2)^2+4

השלמה לריבוע

min⁡f=4 (x=−2)\min f=4 \ (x=-2)

f≥4>0f \geq 4>0

max⁡g=14=0.25\begin{aligned}\max g &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg

ff חיובית לכל xx, ולכן gg מוגדרת בכל מקום וחסומה. הערך הגדול ביותר של gg מתקבל היכן ש-ff הכי קטנה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מיינו את הקטעים: באילו gg עולה ובאילו gg יורדת?

  • gg עולה
  • gg יורדת
  • 0<x<20<x<2
  • 2<x<42<x<4
  • x<0x<0
  • x>4x>4
Show the answer and the solution

Answer: x<0x<0 — gg עולה · 0<x<20<x<2 — gg עולה · 2<x<42<x<4 — gg יורדת · x>4x>4 — gg יורדת

Worked solution:

f(x)=x(x−4) min⁡f=(2, −4)\begin{aligned}f(x) &= x(x-4) \\ \ \min f &= (2,\,-4)\end{aligned}

אפסים 00 ו-44, קודקוד ב-x=2x=2

x<2:f↘⇒g↗x<2: f \searrow \Rightarrow g \nearrow

משני צדי האסימפטוטה x=0x=0

x>2:f↗⇒g↘x>2: f \nearrow \Rightarrow g \searrow

משני צדי האסימפטוטה x=4x=4

שני הקטעים הראשונים הם שני תחומי עלייה נפרדים. ביניהם האסימפטוטה x=0x=0, ולכן לא מאחדים אותם ל-x<2x<2.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה g(x)=1x2−9g(x)=\frac{1}{x^2-9}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: x=x= ____ (השמאלית) ו-x=x= ____ (הימנית) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטות אנכיות: x=x= -3 (השמאלית) ו-x=x= 3 (הימנית) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= 0

Worked solution:

x2−9=0⇒x=±3\begin{aligned}x^2-9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

האפסים של המכנה

∣x∣→∞⇒x2−9→∞⇒g→0|x| \to \infty \Rightarrow x^2-9 \to \infty \Rightarrow g \to 0

רחוק מהראשית

האסימפטוטה האופקית היא ציר ה-xx, y=0y=0. היא לא y=−9y=-9 ולא y=1y=1: רחוק מהראשית המכנה גדל, והשבר קטן.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2. כש-xx מתקרב ל-11, משני הצדדים, g=1fg=\frac{1}{f} מקבלת ערכים חיוביים גדולים מאוד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(x)=(x−1)2>0 x≠1\begin{aligned}f(x) &= (x-1)^2>0 \\ \ x \neq 1\end{aligned}

חיובית משני הצדדים

f(x)→0+⇒g(x)→+∞f(x) \to 0^+ \Rightarrow g(x) \to +\infty

קטנה וחיובית — ההופכי גדול וחיובי

הטענה נכונה. הפרבולה נוגעת בציר ואינה חוצה אותו, ולכן ff לא מחליפה סימן, וגם gg לא: שני הענפים עולים למעלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

עבור איזו מהפונקציות ff אין לגרף של g=1fg=\frac{1}{f} אסימפטוטה אנכית?

  1. f(x)=x2−2x+1f(x)=x^2-2x+1
  2. f(x)=x2−1f(x)=x^2-1
  3. f(x)=x2+1f(x)=x^2+1
  4. f(x)=x2f(x)=x^2
Show the answer and the solution

Answer: C f(x)=x2+1f(x)=x^2+1

Worked solution:

x2+1≥1x^2+1 \geq 1

אין אפסים

x2−1, x2, (x−1)2x^2-1 ,\ x^2 ,\ (x-1)^2

לשלושתן יש אפס

הנכונה: x2+1x^2+1. אסימפטוטה אנכית של 1f\frac{1}{f} נמצאת בכל אפס של ff. גם אפס שבו הפרבולה רק נוגעת בציר (x2x^2, (x−1)2(x-1)^2) נותן אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f
(−1, −2)-4-3-2-1012-3-2-11234xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה ff, והקודקוד שלה (−1, −2)(-1,\,-2). לפונקציה g=1fg=\frac{1}{f} יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: -0.5

Worked solution:

min⁡f=(−1, −2)\min f=(-1,\,-2)

קוראים את הקודקוד

g(−1)=1−2=−0.5\begin{aligned}g(-1) &= \frac{1}{-2} \\ &= -0.5\end{aligned}

ההופכי, עם אותו סימן

max⁡g=(−1, −0.5)\max g=(-1,\,-0.5)

מקסימום, בין שתי האסימפטוטות

שיעור ה-yy הוא −12-\frac{1}{2}, לא 12\frac{1}{2} ולא 22: הקודקוד מתחת לציר, ולכן גם הקיצון של gg מתחת לציר.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל תיאור של ff בקטע (בלי אפסים בקטע) את התיאור של g=1fg=\frac{1}{f} באותו קטע.

  • ff יורדת וחיובית
  • ff עולה ושלילית
  • ff עולה וחיובית
  • ff יורדת ושלילית
  • gg יורדת וחיובית
  • gg יורדת ושלילית
  • gg עולה וחיובית
  • gg עולה ושלילית
Show the answer and the solution

Answer: ff יורדת וחיובית — gg עולה וחיובית · ff עולה ושלילית — gg יורדת ושלילית · ff עולה וחיובית — gg יורדת וחיובית · ff יורדת ושלילית — gg עולה ושלילית

Worked solution:

−5→−2 ⇒ −15→−12-5 \to -2 \ \Rightarrow \ -\tfrac{1}{5} \to -\tfrac{1}{2}

דוגמה: ff עולה ושלילית, gg יורדת

2→5 ⇒ 12→152 \to 5 \ \Rightarrow \ \tfrac{1}{2} \to \tfrac{1}{5}

דוגמה: ff עולה וחיובית, gg יורדת

שני כללים בכל שורה: הסימן נשמר והכיוון מתהפך. כדאי לבדוק כל שורה בשני מספרים, כמו בפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=−x2+2x+8f(x)=-x^2+2x+8 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות של gg: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של gg: ____

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטות אנכיות של gg: x=x= -2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של gg: 1

Worked solution:

−x2+2x+8=−(x−4)(x+2)-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)

האפסים: −2-2 ו-44

xv=−2−2=1 f(1)=9\begin{aligned}x_v &= \frac{-2}{-2} \\ &= 1 \\ \ f(1) &= 9\end{aligned}

מקסימום של ff: (1, 9)(1,\,9)

min⁡g=(1, 19)\min g=\left(1,\,\frac{1}{9}\right)

מינימום של gg

הפרבולה פתוחה למטה, ולכן הקודקוד שלה הוא מקסימום, ובין האסימפטוטות gg חיובית ויש לה מינימום. שיעור ה-xx של הקיצון זהה לזה של הקודקוד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade