Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: קיצון וקבוצת ערכים של 1f\frac{1}{f}, מפגש בין ff ל-1f\frac{1}{f}, דוגמה נגדית על עלייה וירידה, הזזת אסימפטוטות, ∣f∣=c|f|=c ופרמטר אחד.

כשהפרבולה במכנה, שלושה מספרים עונים כמעט על הכול: שני האפסים (אסימפטוטות) והקודקוד (קיצון). מצאו אותם לפני שאתם קוראים את השאלה עד הסוף.

Exercises

Exercise 1

נתונה g(x)=1x2−x−12g(x)=\frac{1}{x^2-x-12}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון: ____

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטות אנכיות: x=x= -3 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון: 0.5

Worked solution:

x2−x−12=(x−4)(x+3)x^2-x-12=(x-4)(x+3)

האפסים

xv=12=0.5\begin{aligned}x_v &= \frac{1}{2} \\ &= 0.5\end{aligned}

קודקוד המכנה

שיעור ה-xx של הקיצון של gg הוא שיעור ה-xx של קודקוד המכנה. הוא נמצא בדיוק באמצע בין שתי האסימפטוטות: −3+42=0.5\frac{-3+4}{2}=0.5.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה g(x)=1x2+6x+13g(x)=\frac{1}{x^2+6x+13}. קבוצת הערכים של gg היא 0<y≤c0<y \leq c. מצאו את cc. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

x2+6x+13=(x+3)2+4x^2+6x+13=(x+3)^2+4

השלמה לריבוע

min⁡=4⇒max⁡g=14\begin{aligned}\min &= 4 \Rightarrow \max g \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המינימום של המכנה

c=0.25c=0.25

הערך הגדול ביותר

המכנה חיובי תמיד (Δ=36−52<0\Delta=36-52<0), ולכן g>0g>0. הערך הגדול ביותר הוא ההופכי של הערך הקטן ביותר של המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 3

הפונקציה g=1fg=\frac{1}{f} שלילית בדיוק בתחום 1<x<51<x<5, ובשאר תחום ההגדרה שלה חיובית. איזו מהפונקציות יכולה להיות ff?

  1. f(x)=(x−1)(x−5)f(x)=(x-1)(x-5)
  2. f(x)=−(x−1)(x−5)f(x)=-(x-1)(x-5)
  3. f(x)=(x−3)2f(x)=(x-3)^2
  4. f(x)=(x+1)(x+5)f(x)=(x+1)(x+5)
Show the answer and the solution

Answer: A f(x)=(x−1)(x−5)f(x)=(x-1)(x-5)

Worked solution:

(x−1)(x−5)<0⇔1<x<5(x-1)(x-5)<0 \Leftrightarrow 1<x<5

פרבולה פתוחה למעלה: שלילית בין האפסים

sign g=sign f\text{sign}\,g=\text{sign}\,f

אותו סימן

הנכונה: (x−1)(x−5)(x-1)(x-5). −(x−1)(x−5)-(x-1)(x-5) חיובית בין 11 ל-55, הפוך ממה שצריך. (x−3)2(x-3)^2 אינה שלילית בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2−3f(x)=x^2-3. בכמה נקודות נפגשים הגרפים של ff ושל 1f\frac{1}{f}?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f=1⇒x2=4⇒x=±2\begin{aligned}f &= 1 \Rightarrow x^2 \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שתי נקודות

f=−1⇒x2=2⇒x=±2\begin{aligned}f &= -1 \Rightarrow x^2 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{2}\end{aligned}

עוד שתיים

ארבע נקודות. מי שפותר רק f=1f=1 מוצא שתיים ושוכח ש-−1-1 הוא גם מספר ששווה להופכי שלו.

Check the answer on elev

Exercise 5

אם ff עולה בכל התחום 0<x<40<x<4, אז g=1fg=\frac{1}{f} יורדת בכל התחום 0<x<40<x<4.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x−2f(x)=x-2

דוגמה נגדית: עולה ב-0<x<40<x<4

g(1)=−1g(3)=1\begin{aligned}g(1) &= -1 \\ \quad g(3) &= 1\end{aligned}

gg עלתה מ-11 ל-33

x=2∉Dgx=2 \notin D_g

באמצע הקטע יש אסימפטוטה

הטענה לא נכונה. הכלל «ff עולה ⇐ gg יורדת» נכון רק בקטע שבו ff אינה מתאפסת. אפס באמצע שובר את הקטע לשניים.

Check the answer on elev

Exercise 6

לפונקציה ff שני אפסים: x=−2x=-2 ו-x=1x=1. היכן נמצאות האסימפטוטות האנכיות של h(x)=1f(x−3)h(x)=\frac{1}{f(x-3)}?

  1. x=−2x=-2 ו-x=1x=1
  2. x=−6x=-6 ו-x=3x=3
  3. x=1x=1 ו-x=4x=4
  4. x=−5x=-5 ו-x=−2x=-2
Show the answer and the solution

Answer: C x=1x=1 ו-x=4x=4

Worked solution:

x−3=−2⇒x=1\begin{aligned}x-3 &= -2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

האפס הראשון

x−3=1⇒x=4\begin{aligned}x-3 &= 1 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

האפס השני

הנכונה: x=1x=1 ו-x=4x=4: הזזה של 33 ימינה. x=−5x=-5 ו-x=−2x=-2 הם הזזה שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

עבור איזה ערך של cc יש למשוואה ∣x2−8x+12∣=c|x^2-8x+12|=c בדיוק שלושה פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

xv=4 f(4)=16−32+12=−4\begin{aligned}x_v &= 4 \\ \ f(4) &= 16-32+12 \\ &= -4\end{aligned}

הקודקוד

c=∣−4∣=4\begin{aligned}c &= |{-4}| \\ &= 4\end{aligned}

גובה הכיפה

שלושה פתרונות מתקבלים רק כשהישר נוגע בקצה הכיפה של ∣f∣|f|. c=12c=12 הוא f(0)f(0), ואין לו קשר לכיפה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=x2+2x−8f(x)=x^2+2x-8 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מיינו את הקטעים: באילו gg עולה ובאילו gg יורדת?

  • gg עולה
  • gg יורדת
  • −1<x<2-1<x<2
  • −4<x<−1-4<x<-1
  • x<−4x<-4
  • x>2x>2
Show the answer and the solution

Answer: x<−4x<-4 — gg עולה · −4<x<−1-4<x<-1 — gg עולה · −1<x<2-1<x<2 — gg יורדת · x>2x>2 — gg יורדת

Worked solution:

f(x)=(x+4)(x−2) xv=−1\begin{aligned}f(x) &= (x+4)(x-2) \\ \ x_v &= -1\end{aligned}

אפסים וקודקוד

x<−1: f↘⇒g↗x<-1: \ f \searrow \Rightarrow g \nearrow

משני צדי x=−4x=-4

x>−1: f↗⇒g↘x>-1: \ f \nearrow \Rightarrow g \searrow

משני צדי x=2x=2

ארבעה קטעים: הקודקוד x=−1x=-1 ושתי האסימפטוטות x=−4x=-4, x=2x=2 מחלקים את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של y=ax−2+1y=\frac{a}{x-2}+1 עובר בנקודה (4, 3)(4,\,3). השלימו.

a=a= ____ ; נקודת החיתוך עם ציר ה-yy: y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= 4 ; נקודת החיתוך עם ציר ה-yy: y=y= -1

Worked solution:

3=a2+1⇒a=4\begin{aligned}3 &= \frac{a}{2}+1 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את הנקודה

y(0)=4−2+1=−1\begin{aligned}y(0) &= \frac{4}{-2}+1 \\ &= -1\end{aligned}

מציבים x=0x=0

בחיתוך עם ציר ה-yy המכנה הוא 0−2=−20-2=-2, שלילי. מי שמקבל 33 איבד את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 10

מה נכון לגבי g(x)=1x2−6x+9g(x)=\frac{1}{x^2-6x+9}?

  1. שתי אסימפטוטות אנכיות, x=±3x=\pm 3
  2. אסימפטוטה אנכית אחת, x=3x=3, ו-gg חיובית בכל תחום ההגדרה
  3. אסימפטוטה אנכית x=3x=3, ו-gg שלילית משמאל לה
  4. אין אסימפטוטה אנכית
Show the answer and the solution

Answer: B אסימפטוטה אנכית אחת, x=3x=3, ו-gg חיובית בכל תחום ההגדרה

Worked solution:

x2−6x+9=(x−3)2x^2-6x+9=(x-3)^2

ריבוע שלם

(x−3)2>0, x≠3(x-3)^2>0 ,\ x \neq 3

חיובי מחוץ לאפס

הנכונה: אסימפטוטה אחת ו-g>0g>0. הפרבולה (x−3)2(x-3)^2 רק נוגעת בציר, ולכן אינה מחליפה סימן, וגם gg לא.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade