Explicit formula and recurrence rule

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אפשר לתאר סדרה בשתי דרכים. נוסחה מפורשת נותנת כל איבר לפי המקום שלו: an=3n+1a_n=3n+1. כלל נסיגה נותן איבר ראשון, ואיך מקבלים כל איבר מהקודם: a1=4a_1=4, an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3. הזיזו את המחוון וראו את שתיהן באותה תמונה.

מהו a10a_{10}? חשבו בנוסחה המפורשת. כמה צעדים של כלל הנסיגה הייתם צריכים כדי להגיע אליו?

Show the answer and the solution

a10=3⋅10+1=31a_{10}=3 \cdot 10+1=31 בהצבה אחת. בכלל הנסיגה צריך תשעה צעדים מ-a1=4a_1=4. לכן רוצים נוסחה מפורשת, וצריך להוכיח שהיא מתאימה לכלל.

מכלל נסיגה לנוסחה מפורשת

נתון כלל נסיגה, ומוצעת נוסחה an=f(n)a_n=f(n). מוכיחים באינדוקציה שהנוסחה נכונה לכל nn:

11

בדיקה: a1a_1 הנתון שווה ל-f(1)f(1)

22

הנחה: ak=f(k)a_k=f(k)

33

הוכחה: מציבים את ההנחה בכלל הנסיגה, ומראים ש-ak+1=f(k+1)a_{k+1}=f(k+1)

a1=1a_1=1, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. הוכיחו: an=2n−1a_n=2^n-1

בסיס: a1=1=21−1a_1=1=2^1-1. שלב ההוכחה:

ak+1=2ak+1a_{k+1}=2a_k+1

כלל הנסיגה עבור n=kn=k

=2(2k−1)+1=2\left(2^k-1\right)+1

מציבים את ההנחה ak=2k−1a_k=2^k-1

=2k+1−2+1=2k+1−1=2^{k+1}-2+1=2^{k+1}-1

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

נתונה הנוסחה an=n2a_n=n^2. הראו, בלי אינדוקציה, ש-an+1−an=2n+1a_{n+1}-a_n=2n+1.

Show the answer and the solution

(n+1)2−n2=2n+1(n+1)^2-n^2=2n+1. מהנוסחה המפורשת מגיעים לכלל בהצבה ישירה. הכיוון השני, מהכלל לנוסחה, דורש אינדוקציה: הכלל לבדו לא אומר מאיפה מתחילים.

סכום ואיבר

אם SnS_n הוא סכום nn האיברים הראשונים, אז Sn+1=Sn+an+1S_{n+1}=S_n+a_{n+1}. זה כלל נסיגה של הסכומים. מהכיוון ההפוך, כשידועה נוסחה של SnS_n, מקבלים כל איבר: an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} עבור n≥2n \geq 2, ו-a1=S1a_1=S_1.

Sn=n2+nS_n=n^2+n. מצאו את a5a_5

כאן SnS_n הוא סכום nn האיברים הראשונים של סדרה.

S5=30S4=20\begin{aligned}S_5 &= 30 \\ \quad S_4 &= 20\end{aligned}

מציבים

a5=S5−S4=10\begin{aligned}a_5 &= S_5-S_4 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר החמישי הוא מה שנוסף בין S4S_4 ל-S5S_5

בשלב 3 מתחילים תמיד מכלל הנסיגה: ak+1=…ak…a_{k+1}=\dots a_k\dots. רק כך נכנסת ההנחה. מי שמתחיל מ-f(k+1)f(k+1) ומנסה להגיע לכלל, מוכיח את הכיוון ההפוך.

הטעויות בהוכחה של נוסחה מפורשת.

ak+1=2ak+1=2⋅2k−1+1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2a_k+1 \\ &= 2 \cdot 2^k-1+1\end{aligned}
ak+1=2(2k−1)+1a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1

מציבים את aka_k בתוך סוגריים. בלי סוגריים, רק 2k2^k מוכפל ב-22.

a1=4 an+1=an+3 ⇒ an=3n+4\begin{aligned}a_1 &= 4 \\ \ a_{n+1} &= a_n+3 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 3n+4\end{aligned}
an=3n+1a_n=3n+1

לא לשכוח את הבסיס: 3⋅1+4=7≠43 \cdot 1+4=7 \neq 4. הכלל an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3 מתקיים בשתי הנוסחאות, רק הבסיס מבדיל ביניהן.

Exercises

Exercise 1

נתון: a1=3a_1=3, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1. מצאו את a4a_4.

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

a2=2⋅3−1=5\begin{aligned}a_2 &= 2 \cdot 3-1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את a1a_1 בכלל

a3=2⋅5−1=9\begin{aligned}a_3 &= 2 \cdot 5-1 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים את a2a_2

a4=2⋅9−1=17\begin{aligned}a_4 &= 2 \cdot 9-1 \\ &= 17\end{aligned}

מציבים את a3a_3

כל איבר נבנה מהקודם. המלכודת: לעצור ב-a3a_3, או לחשב a4a_4 כ-2⋅4−12 \cdot 4-1, כאילו זו נוסחה מפורשת.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון: a1=3a_1=3, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1. איזו נוסחה מפורשת מתאימה לסדרה?

  1. an=2n+1a_n=2n+1
  2. an=2n+1a_n=2^n+1
  3. an=2n+1−1a_n=2^{n+1}-1
  4. an=3⋅2n−1a_n=3 \cdot 2^{n-1}
Show the answer and the solution

Answer: B an=2n+1a_n=2^n+1

Worked solution:

3, 5, 9, 173,\ 5,\ 9,\ 17

האיברים הראשונים

21+1=3 22+1=5 23+1=9\begin{aligned}2^1+1 &= 3 \\ \ 2^2+1 &= 5 \\ \ 2^3+1 &= 9\end{aligned}

בדיקה

2(2k+1)−1=2k+1+12\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+1

הצעד

הנכונה: 2n+12^n+1. 2n+12n+1 עובדת עבור n=1,2n=1,2 ונכשלת ב-n=3n=3 (7≠97 \neq 9). 3⋅2n−13 \cdot 2^{n-1} נותנת 66 במקום 55. 2n+1−12^{n+1}-1 נותנת a1=3a_1=3 ואז a2=7a_2=7.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון: a1=3a_1=3, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1. השלימו את שלב ההוכחה ש-an=2n+1a_n=2^n+1.

ak+1=2(2k+1)−1=2k+1+a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+ ____ −1=2k+1+-1=2^{k+1}+ ____

Show the answer and the solution

Answer: ak+1=2(2k+1)−1=2k+1+a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+ 2 −1=2k+1+-1=2^{k+1}+ 1

Worked solution:

2(2k+1)=2k+1+22\left(2^k+1\right)=2^{k+1}+2

פתיחת סוגריים

2k+1+2−1=2k+1+12^{k+1}+2-1=2^{k+1}+1

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

ה-22 מוכפל גם ב-11 שבתוך הסוגריים. בלי זה מקבלים 2k+12^{k+1}, והצעד «נכשל» בגלל טעות חישוב.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: הנוסחה an=3n+1a_n=3n+1 מתאימה לסדרה a1=4a_1=4, an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

a1=3⋅1+1=4\begin{aligned}a_1 &= 3 \cdot 1+1 \\ &= 4\end{aligned}

בסיס

ak+1=3k+1+3=3(k+1)+1\begin{aligned}a_{k+1} &= 3k+1+3 \\ &= 3(k+1)+1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. הבסיס והצעד מתקיימים. זו הסדרה שבציור. שימו לב: הצעד לבדו מתקיים גם ב-3n+73n+7, ורק הבסיס מכריע.

Check the answer on elev

Exercise 5

לסדרה יש נוסחה מפורשת an=5⋅2na_n=5 \cdot 2^n. איזה כלל נסיגה מתאר אותה?

  1. a1=5a_1=5, an+1=2ana_{n+1}=2a_n
  2. a1=10a_1=10, an+1=5ana_{n+1}=5a_n
  3. a1=10a_1=10, an+1=2ana_{n+1}=2a_n
  4. a1=10a_1=10, an+1=an+5a_{n+1}=a_n+5
Show the answer and the solution

Answer: C a1=10a_1=10, an+1=2ana_{n+1}=2a_n

Worked solution:

a1=5⋅2=10\begin{aligned}a_1 &= 5 \cdot 2 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר הראשון

an+1an=5⋅2n+15⋅2n=2\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} \\ &= 2\end{aligned}

היחס בין איברים סמוכים

הנכונה: a1=10a_1=10, an+1=2ana_{n+1}=2a_n. a1=5a_1=5 היה נכון רק אם החזקה הייתה 2n−12^{n-1}. an+1=5ana_{n+1}=5a_n מבלבל בין המקדם למנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון: a1=1a_1=1, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. סדרו את ההוכחה ש-an=2n−1a_n=2^n-1.

  • בודקים: a1=1=21−1a_1=1=2^1-1
  • כותבים את כלל הנסיגה: ak+1=2ak+1a_{k+1}=2a_k+1
  • מניחים: ak=2k−1a_k=2^k-1
  • מציבים את ההנחה: ak+1=2(2k−1)+1a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1
  • מקבלים ak+1=2k+1−1a_{k+1}=2^{k+1}-1
Show the answer and the solution

Answer: בודקים: a1=1=21−1a_1=1=2^1-1 · מניחים: ak=2k−1a_k=2^k-1 · כותבים את כלל הנסיגה: ak+1=2ak+1a_{k+1}=2a_k+1 · מציבים את ההנחה: ak+1=2(2k−1)+1a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1 · מקבלים ak+1=2k+1−1a_{k+1}=2^{k+1}-1

Worked solution:

ak+1=2k+1−2+1=2k+1−1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2^{k+1}-2+1 \\ &= 2^{k+1}-1\end{aligned}

הצעד

שלב 3 מתחיל מכלל הנסיגה, ורק אחר כך מציבים את ההנחה. המלכודת: להציב את הנוסחה 2k+1−12^{k+1}-1 בכלל, כלומר להניח את מה שמוכיחים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון: a1=2a_1=2, an+1=3an+2a_{n+1}=3a_n+2. לפניכם שלב ההוכחה ש-an=3n−1a_n=3^n-1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

ak+1=3ak+2a_{k+1}=3a_k+2
=3(3k−1)+2=3\left(3^k-1\right)+2
=3k+1−1+2=3^{k+1}-1+2
=3k+1−1=3^{k+1}-1
Show the answer and the solution

Answer: =3k+1−1+2=3^{k+1}-1+2 → =3k+1−3+2=3^{k+1}-3+2

Worked solution:

3(3k−1)=3k+1−33\left(3^k-1\right)=3^{k+1}-3

ה-33 כופל גם את −1-1

הכפל בסוגריים חל על שני המחוברים. השורה האחרונה נכונה, אבל היא לא נובעת מהשורה השגויה: 3k+1−1+2=3k+1+13^{k+1}-1+2=3^{k+1}+1.

Check the answer on elev

Exercise 8

SnS_n הוא סכום nn האיברים הראשונים של סדרה, ו-Sn=n2+nS_n=n^2+n לכל nn. מצאו את a5a_5.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

S5=25+5=30\begin{aligned}S_5 &= 25+5 \\ &= 30\end{aligned}

סכום חמשת האיברים

S4=16+4=20\begin{aligned}S_4 &= 16+4 \\ &= 20\end{aligned}

סכום ארבעת האיברים

a5=S5−S4=10\begin{aligned}a_5 &= S_5-S_4 \\ &= 10\end{aligned}

מה שנוסף באיבר החמישי

a5a_5 הוא ההפרש S5−S4S_5-S_4, לא S5S_5 עצמו. המלכודת: לענות 3030.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו באינדוקציה: הסדרה a1=1a_1=1, an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1 מקיימת an=n2a_n=n^2 לכל nn טבעי.

  • a1=1a_1=1
  • an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1

an=n2a_n=n^2

Show the answer and the solution
  1. a1=1=12a_1=1=1^2 — בדיקה עבור n=1n=1
  2. ak=k2a_k=k^2 — הנחת האינדוקציה
  3. ak+1=k2+2k+1a_{k+1}=k^2+2k+1 — כלל הנסיגה עבור n=kn=k, והצבת ההנחה
  4. ak+1=(k+1)2a_{k+1}=(k+1)^2 — נוסחת הכפל המקוצר: זו הטענה עבור n=k+1n=k+1

Worked solution:

ak+1=ak+2k+1=k2+2k+1=(k+1)2\begin{aligned}a_{k+1} &= a_k+2k+1 \\ &= k^2+2k+1 \\ &= (k+1)^2\end{aligned}

הצעד

בכלל הנסיגה עבור n=kn=k המחובר הוא 2k+12k+1, לא 2(k+1)+12(k+1)+1. המלכודת: להציב k+1k+1 בכלל במקום kk.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון: a1=1a_1=1, an+1=an1+ana_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}. חשבו כמה איברים ובחרו את הנוסחה המפורשת.

  1. an=1n2a_n=\frac{1}{n^2}
  2. an=12n−1a_n=\frac{1}{2^{n-1}}
  3. an=1na_n=\frac{1}{n}
  4. an=nn+1a_n=\frac{n}{n+1}
Show the answer and the solution

Answer: C an=1na_n=\frac{1}{n}

Worked solution:

a2=12 a3=1/23/2=13\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{2} \\ \ a_3 &= \frac{1/2}{3/2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

האיברים

1/k1+1/k=1k+1\frac{1/k}{1+1/k}=\frac{1}{k+1}

הצעד: כופלים מונה ומכנה ב-kk

הנכונה: 1n\frac{1}{n}. 12n−1\frac{1}{2^{n-1}} מתאימה ל-a1a_1 ול-a2a_2 ונכשלת ב-a3a_3: שני איברים לא מספיקים כדי לבחור נוסחה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade