Sums by induction · Mathematical induction · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חברו מספרים אי-זוגיים מההתחלה: $1$ , $1+3$ , $1+3+5$ , $1+3+5+7$ . הסכומים הם $1, 4, 9, 16$ : כולם ריבועים של מספרים שלמים. הסתכלו על ההפרשים בין הסכומים.

ההפרשים הם

3, 5, 7, 9

: בכל שלב מוסיפים את המספר האי-זוגי הבא. מ-

k^2

מגיעים ל-

(k+1)^2

כשמוסיפים

2k+1

מהו המחובר ה- $(k+1)$ בסכום $1+3+5+\dots+(2n-1)$ ?

Show the answer and the solution

מציבים $n=k+1$ באיבר הכללי $2n-1$ : $2(k+1)-1=2k+1$ . ואכן $k^2+(2k+1)=(k+1)^2$ , זה הצעד כולו.

שלב ההוכחה בכל סכום

S_{k+1}=S_k+a_{k+1}

הסכום של $k+1$ איברים הוא הסכום של $k$ האיברים ועוד האיבר הבא

בכל הוכחה של נוסחת סכום, שלב 3 בנוי אותו דבר. כותבים את הסכום של $k+1$ איברים. מחליפים את $k$ האיברים הראשונים לפי ההנחה. מוסיפים את האיבר ה- $(k+1)$ , שמתקבל מהצבת $k+1$ באיבר הכללי. ואז מפשטים, עד שמגיעים לנוסחה עבור $n=k+1$ .

סכום הריבועים

הוכיחו: $1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . בסיס: $1=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ . הנה שלב ההוכחה.

\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

המטרה: מציבים $n=k+1$ : $2n+1$ הופך ל- $2k+3$

\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2

ההנחה, ועוד האיבר ה- $(k+1)$

=\frac{(k+1)\big[k(2k+1)+6(k+1)\big]}{6}

גורם משותף $(k+1)$ , ומכנה משותף $6$

=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

מפרקים: $(k+2)(2k+3)=2k^2+7k+6$ . הגענו למטרה

לא פותחים את כל הסוגריים. מוציאים את הגורם שכבר מופיע במטרה (כאן $(k+1)$ ), ומפרקים רק את מה שנשאר. כשיודעים לאן מגיעים, הפירוק מהיר.

סכום טלסקופי

בסכום $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$ כל מחובר הוא הפרש: $\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}$ . כמעט הכול מצטמצם, ונשאר $1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$ . באינדוקציה מוכיחים זאת עם מכנה משותף.

בצעד של $\frac{1}{1 \cdot 2}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$ מקבלים $\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ . מה יוצא?

Show the answer and the solution

מכנה משותף $(k+1)(k+2)$ : $\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}$ . זו הנוסחה עבור $n=k+1$ .

סכום של חזקות

$1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1$

בסיס: $1=2^1-1$ . שלב ההוכחה:

2^k-1+2^k

ההנחה, ועוד האיבר ה- $(k+1)$ , שהוא $2^{(k+1)-1}=2^k$

=2 \cdot 2^k-1=2^{k+1}-1

$2^k+2^k=2 \cdot 2^k$ . זו הנוסחה עבור $n=k+1$

אותה שיטה עובדת גם במכפלה. עבור $\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1$ , בצעד כופלים בגורם החדש: $(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=k+2$ .

שלוש טעויות בשלב ההוכחה של סכום.

a_{k+1}=2k-1+1

\begin{aligned}a_{k+1} &= 2(k+1)-1 \\ &= 2k+1\end{aligned}

האיבר ה- $(k+1)$ מתקבל מהצבה של $k+1$ במקום $n$ באיבר הכללי, לא מהוספת $1$ .

S_{k+1}=S_k+a_k

S_{k+1}=S_k+a_{k+1}

$a_k$ כבר נמצא בתוך $S_k$ . מוסיפים רק את האיבר החדש.

(k+1)+\left(1+\frac{1}{k+1}\right)

(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)

במכפלה, הגורם החדש כופל את מה שהיה. לא מחברים.

Exercises

Exercise 1

לפי $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$ , חשבו את $1+3+5+\dots+39$ .

Show the answer and the solution

Answer: 400

Worked solution:

\begin{aligned}2n-1 &= 39 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

מספר המחוברים

20^2=400

הנוסחה

קודם מוצאים כמה מחוברים יש. המלכודת: להציב $n=39$ ולקבל $1521$ . $39$ הוא האיבר האחרון, לא מספר האיברים.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסכום $1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\dots+n(n+1)$ , מהו המחובר ה- $(k+1)$ ?

$(k+1)(k+2)$
$(k+1)k$
$(k+1)^2$
$k(k+1)+1$

Show the answer and the solution

Answer: A $(k+1)(k+2)$

Worked solution:

a_n=n(n+1)

האיבר הכללי

a_{k+1}=(k+1)(k+2)

מציבים $n=k+1$

הנכונה: $(k+1)(k+2)$ . $(k+1)k$ הוא המחובר ה- $k$ עם הסדר הפוך. $k(k+1)+1$ מוסיף $1$ במקום להציב.

Check the answer on elev

Exercise 3

השלימו את הצעד בהוכחה של $1+3+\dots+(2n-1)=n^2$ .

$1+3+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+$ ____ $k+$ ____ $=(k+1)^2$

Show the answer and the solution

Answer: $1+3+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+$ 2 $k+$ 1 $=(k+1)^2$

Worked solution:

k^2+(2k+1)

ההנחה ועוד האיבר החדש

k^2+2k+1=(k+1)^2

נוסחת הכפל המקוצר

המחובר החדש הוא $2k+1$ , ולא $2k-1$ : $2k-1$ הוא המחובר ה- $k$ , והוא כבר בתוך $k^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

לפי $1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , חשבו את $1^2+2^2+\dots+10^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 385

Worked solution:

\frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}

$n=10$

=\frac{2310}{6}=385

חישוב

$2n+1=21$ , לא $20$ . בדיקה מהירה: $1+4+9+\dots+100$ צריך להיות קצת יותר מ- $\frac{100 \cdot 10}{3}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

לפי $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$ , חשבו את $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\dots+\frac{1}{9 \cdot 10}$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.9

Worked solution:

\begin{aligned}n(n+1) &= 9 \cdot 10 \ \Rightarrow \ n \\ &= 9\end{aligned}

המחובר האחרון

\frac{9}{10}=0.9

הנוסחה

$n=9$ ולא $n=10$ : במחובר האחרון $n=9$ ו- $n+1=10$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

שלב ההוכחה של $1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2

=\frac{(k+1)\big[k(2k+1)+(k+1)\big]}{6}

=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}

=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

Show the answer and the solution

Answer: $=\frac{(k+1)\big[k(2k+1)+(k+1)\big]}{6}$ → $=\frac{(k+1)\big[k(2k+1)+6(k+1)\big]}{6}$

Worked solution:

(k+1)^2=\frac{6(k+1)^2}{6}

מכנה משותף

k(2k+1)+6(k+1)=2k^2+7k+6

בדיקה

במכנה משותף $6$ , המחובר $(k+1)^2$ מוכפל ב- $6$ . המלכודת: לשכוח את ה- $6$ . השורה הבאה נכונה רק עם ה- $6$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהי הנוסחה של $1+3+9+\dots+3^{n-1}$ ?

$3^n-1$
$\frac{3^{n+1}-1}{2}$
$\frac{3^n-1}{2}$
$3^{n-1}+1$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{3^n-1}{2}$

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= \frac{3-1}{2}\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}\frac{3^k-1}{2}+3^k &= \frac{3 \cdot 3^k-1}{2} \\ &= \frac{3^{k+1}-1}{2}\end{aligned}

הצעד

הנכונה: $\frac{3^n-1}{2}$ . בדיקה עבור $n=1$ פוסלת מיד את $3^n-1$ (נותן $2$ ) ואת $\frac{3^{n+1}-1}{2}$ (נותן $4$ ). $3^{n-1}+1$ נותן $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

הטענה: $\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1$ . השלימו את הצעד, ואחר כך חשבו מכפלה.

$(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=k+$ ____ ; $\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{99}\right)=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=k+$ 2 ; $\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{99}\right)=$ 100

Worked solution:

(k+1)\cdot\frac{k+2}{k+1}=k+2

כופלים בגורם החדש

\begin{aligned}n &= 99: \ 99+1 \\ &= 100\end{aligned}

הנוסחה

במכפלה כופלים בגורם החדש. $1+\frac{1}{k+1}=\frac{k+2}{k+1}$ , והמכנה מצטמצם. המלכודת: לחבר את הגורם ולקבל ביטוי שלא מתפשט.

Check the answer on elev

Exercise 9

סדרו את שלב ההוכחה של $1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1$ .

$2^k+2^k=2 \cdot 2^k=2^{k+1}$
מוסיפים את האיבר ה- $(k+1)$ , שהוא $2^k$
מניחים: $1+2+\dots+2^{k-1}=2^k-1$
מקבלים $2^{k+1}-1$ , הנוסחה עבור $n=k+1$
מקבלים $2^k-1+2^k$

Show the answer and the solution

Answer: מניחים: $1+2+\dots+2^{k-1}=2^k-1$ · מוסיפים את האיבר ה- $(k+1)$ , שהוא $2^k$ · מקבלים $2^k-1+2^k$ · $2^k+2^k=2 \cdot 2^k=2^{k+1}$ · מקבלים $2^{k+1}-1$ , הנוסחה עבור $n=k+1$

Worked solution:

2^k-1+2^k=2^{k+1}-1

הצעד

האיבר ה- $(k+1)$ הוא $2^{(k+1)-1}=2^k$ , ולא $2^{k+1}$ . המלכודת: להוסיף $2^{k+1}$ ולקבל סכום גדול מדי.

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו באינדוקציה: לכל $n$ טבעי, $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$ .

$n$ מספר טבעי

$\frac{1}{1 \cdot 2}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

Show the answer and the solution

$\frac{1}{1 \cdot 2}=\frac{1}{2}$ — בדיקה עבור $n=1$
$\frac{1}{1 \cdot 2}+\dots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$ — הנחת האינדוקציה
$\frac{1}{1 \cdot 2}+\dots+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ — מוסיפים את המחובר ה- $(k+1)$ ומציבים את ההנחה
$\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}$ — מכנה משותף: $k(k+2)+1=(k+1)^2$
$\frac{1}{1 \cdot 2}+\dots+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}$ — צמצום ב- $(k+1)$ : זו הטענה עבור $n=k+1$

Worked solution:

\begin{aligned}k(k+2)+1 &= k^2+2k+1 \\ &= (k+1)^2\end{aligned}

המונה

\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}

צמצום

המונה $k^2+2k+1$ הוא ריבוע שלם. מי שלא מזהה אותו נתקע. המלכודת השנייה: לכתוב את המחובר החדש $\frac{1}{k(k+1)}$ , שהוא המחובר ה- $k$ .

Check the answer on elev

שלב ההוכחה בכל סכום

סכום טלסקופי

סכום של חזקות

Exercises

Keep practising on elev