Differentiating composite trig functions

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הסתכלו על הגל y=sin⁡xy=\sin x לפני כל נוסחה. איפה הוא עולה הכי תלול? איפה הוא שטוח לרגע? עכשיו השוו לגל המקווקו y=cos⁡xy=\cos x: בכל מקום שבו הגל הרציף שטוח, הגל המקווקו חוצה את ציר ה-xx.

y = sin x ו-y = cos x
פסגהשפל0π0.5π1π1.5π2π-1.5-1-0.500.511.5xy
  • y = sin x
  • y = cos x
הציר האופקי מסומן בכפולות של π\pi. בפסגה (x=π2x=\frac{\pi}{2}) ובשפל (x=3π2x=\frac{3\pi}{2}) של sin⁡x\sin x הערך של cos⁡x\cos x הוא 00. ב-x=0x=0, שם sin⁡x\sin x עולה הכי מהר, cos⁡x\cos x מגיע ל-11: הגל המקווקו הוא השיפוע של הגל הרציף.

לפי הגרף: מה השיפוע של y=sin⁡xy=\sin x בנקודה x=πx=\pi?

Show the answer and the solution

ב-x=πx=\pi הגל יורד הכי תלול, ו-cos⁡π=−1\cos\pi=-1. השיפוע הוא −1-1: המשיק שם יורד בזווית של 45∘45^\circ.

רדיאנים, ושלוש נוסחאות יסוד

בחשבון דיפרנציאלי הזווית נמדדת ברדיאנים: π\pi רדיאנים הם 180∘180^\circ, ו-π6\frac{\pi}{6} הם 30∘30^\circ. רק ברדיאנים מתקיים הגבול lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, ועליו נשענת הנוסחה (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x. במעלות היה מופיע המקדם π180\frac{\pi}{180} בכל נגזרת.

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(tan⁡x)′=1cos⁡2x\begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \qquad (\cos x)' \\ &= -\sin x \qquad (\tan x)' \\ &= \frac{1}{\cos^2 x}\end{aligned}

שלוש הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות. המינוס בנגזרת של cos⁡x\cos x הוא מקור רוב הטעויות.

הראו בעזרת כלל המנה ש-(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.

Show the answer and the solution

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, ולכן (tan⁡x)′=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}. הזהות sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1 סוגרת את החישוב.

ארגומנט ליניארי, חזקה ושורש

(sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)

הנגזרת הפנימית aa יוצאת החוצה כמקדם

(cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)

גם כאן aa בחוץ, והמינוס נשאר

(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x\begin{aligned}(\sin^2 x)' &= 2\sin x\cos x \\ &= \sin 2x\end{aligned}

שרשרת: החזקה היא הפונקציה החיצונית, הסינוס הוא הפנימית

(cos⁡x)′=−sin⁡x2cos⁡x\left(\sqrt{\cos x}\right)'=\frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}

שורש של פונקציה טריגונומטרית: 12u\frac{1}{2\sqrt{u}} כפול u′u'

משוואת משיק לפונקציה שהיא מכפלה

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=xcos⁡2xf(x)=x\cos 2x בנקודה שבה x=π4x=\frac{\pi}{4}.

f(π4)=π4cos⁡π2=0\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= \tfrac{\pi}{4}\cos\tfrac{\pi}{2} \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה: (π4, 0)\left(\frac{\pi}{4},\,0\right)

f′(x)=cos⁡2x−2xsin⁡2xf'(x)=\cos 2x-2x\sin 2x

כלל המכפלה, ובגורם השני שרשרת: (cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)'=-2\sin 2x

f′(π4)=cos⁡π2−π2sin⁡π2=−π2\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= \cos\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\sin\tfrac{\pi}{2} \\ &= -\tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

השיפוע

y=−π2(x−π4)=−π2x+π28\begin{aligned}y &= -\tfrac{\pi}{2}\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right) \\ &= -\tfrac{\pi}{2}x+\tfrac{\pi^2}{8}\end{aligned}

משוואת המשיק

שלוש טעויות גזירה שחוזרות בבגרות.

(cos⁡3x)′=−sin⁡3x(\cos 3x)'=-\sin 3x
(cos⁡3x)′=−3sin⁡3x(\cos 3x)'=-3\sin 3x

נשכחה הנגזרת הפנימית 33.

(sin⁡2x)′=2cos⁡x(\sin^2 x)'=2\cos x
(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x(\sin^2 x)'=2\sin x\cos x

גוזרים את החזקה וגם את הסינוס שבתוכה.

f(x)=sin⁡x⇒f′(30)=cos⁡30∘\begin{aligned}f(x) &= \sin x \Rightarrow f'(30) \\ &= \cos 30^\circ\end{aligned}
f′(π6)=cos⁡π6=32\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= \cos\tfrac{\pi}{6} \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הנוסחאות נכונות רק ברדיאנים. 30∘30^\circ הם π6\frac{\pi}{6}, ו-f′(30)f'(30) הוא ערך בנקודה אחרת לגמרי.

לפני שגוזרים, שאלו על הביטוי: מכפלה? מנה? שרשרת? ואם יש שרשרת, כמה שכבות יש בה. ב-sin⁡2(3x)\sin^2(3x) יש שלוש: חזקה, סינוס, 3x3x.

Exercises

Exercise 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡(3x−π4)f(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)?

  1. 3sin⁡(3x−π4)3\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
  2. 3cos⁡(3x−π4)3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
  3. cos⁡(3x−π4)\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
  4. −3cos⁡(3x−π4)-3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)
Show the answer and the solution

Answer: B 3cos⁡(3x−π4)3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)

Worked solution:

(sin⁡u)′=cos⁡u⋅u′(\sin u)'=\cos u\cdot u'

שרשרת

u=3x−π4⇒u′=3\begin{aligned}u &= 3x-\tfrac{\pi}{4} \Rightarrow u' \\ &= 3\end{aligned}

הנגזרת הפנימית

הנכונה: 3cos⁡(3x−π4)3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right). הקבוע −π4-\frac{\pi}{4} אינו משפיע על הנגזרת הפנימית. מי שבחר cos⁡(… )\cos(\dots) בלי 33 שכח את השרשרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי הנגזרת של f(x)=tan⁡2xf(x)=\tan 2x?

  1. −2cos⁡22x-\dfrac{2}{\cos^2 2x}
  2. 2cos⁡22x\dfrac{2}{\cos^2 2x}
  3. 2sin⁡22x\dfrac{2}{\sin^2 2x}
  4. 1cos⁡22x\dfrac{1}{\cos^2 2x}
Show the answer and the solution

Answer: B 2cos⁡22x\dfrac{2}{\cos^2 2x}

Worked solution:

(tan⁡u)′=u′cos⁡2u(\tan u)'=\frac{u'}{\cos^2 u}

הנוסחה עם שרשרת

u=2x⇒u′=2\begin{aligned}u &= 2x \Rightarrow u' \\ &= 2\end{aligned}

הנכונה: 2cos⁡22x\frac{2}{\cos^2 2x}. הנגזרת של tan⁡\tan חיובית תמיד: אין בה מינוס, ובמכנה מופיע cos⁡\cos ולא sin⁡\sin.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos^2 x. חשבו את f′(π12)f'\left(\frac{\pi}{12}\right).

Show the answer and the solution

Answer: -0.5

Worked solution:

f′(x)=2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=−sin⁡2x\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x\cdot(-\sin x) \\ &= -\sin 2x\end{aligned}

שרשרת, ואז זהות הזווית הכפולה

f′(π12)=−sin⁡π6=−12\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{12}\right) &= -\sin\tfrac{\pi}{6} \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

מציבים

f′(π12)=−0.5f'\left(\frac{\pi}{12}\right)=-0.5. בלי הזהות 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin 2x צריך לחשב sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}, שאינו ערך מוכר. המינוס בא מהנגזרת של cos⁡x\cos x.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x. חשבו את f′(π)f'(\pi). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: -3.14

Worked solution:

f′(x)=sin⁡x+xcos⁡xf'(x)=\sin x+x\cos x

כלל המכפלה

f′(π)=0+π⋅(−1)=−π≈−3.14\begin{aligned}f'(\pi) &= 0+\pi\cdot(-1) \\ &= -\pi\approx -3.14\end{aligned}

f′(π)=−π≈−3.14f'(\pi)=-\pi\approx-3.14. מי שכתב f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x גזר רק גורם אחד, וקיבל −1-1.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡x1+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} (בתחום שבו cos⁡x≠−1\cos x\neq -1)?

  1. 11+cos⁡x\dfrac{1}{1+\cos x}
  2. −11+cos⁡x-\dfrac{1}{1+\cos x}
  3. −cos⁡xsin⁡x-\dfrac{\cos x}{\sin x}
  4. cos⁡x1+cos⁡x\dfrac{\cos x}{1+\cos x}
Show the answer and the solution

Answer: A 11+cos⁡x\dfrac{1}{1+\cos x}

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x(1+cos⁡x)−sin⁡x⋅(−sin⁡x)(1+cos⁡x)2f'(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x\cdot(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}

כלל המנה

=cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(1+cos⁡x)2=cos⁡x+1(1+cos⁡x)2=\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2}

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

=11+cos⁡x=\frac{1}{1+\cos x}

מצמצמים

הנכונה: 11+cos⁡x\frac{1}{1+\cos x}. −cos⁡xsin⁡x-\frac{\cos x}{\sin x} מתקבל כשגוזרים מונה ומכנה בנפרד, וזה אסור. בלי הזהות הפיתגורית הצמצום לא נראה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=5−4cos⁡xf(x)=\sqrt{5-4\cos x}. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=4sin⁡x25−4cos⁡x=2sin⁡x5−4cos⁡x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4\sin x}{2\sqrt{5-4\cos x}} \\ &= \frac{2\sin x}{\sqrt{5-4\cos x}}\end{aligned}

שורש של פונקציה: הנגזרת הפנימית היא 4sin⁡x4\sin x

f′(π3)=2⋅325−2=33=1\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= \frac{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{5-2}} \\ &= \frac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

f′(π3)=1f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=1. הנגזרת של −4cos⁡x-4\cos x היא +4sin⁡x+4\sin x: שני מינוסים. מי שמאבד אחד מהם מקבל −1-1.

Check the answer on elev

Exercise 7

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=2sin⁡x+cos⁡2xf(x)=2\sin x+\cos 2x בנקודה שבה x=0x=0.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= 2 x+x+ 1

Worked solution:

f(0)=0+1=1\begin{aligned}f(0) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה (0, 1)(0,\,1)

f′(x)=2cos⁡x−2sin⁡2x⇒f′(0)=2\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x-2\sin 2x \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−1=2(x−0)⇒y=2x+1\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \Rightarrow y \\ &= 2x+1\end{aligned}

y=2x+1y=2x+1. הנקודה נלקחת מ-ff והשיפוע מ-f′f'. cos⁡0=1\cos 0=1 ולא 00: מי שמחליף ביניהם מקבל y=2xy=2x.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של f(x)=sin⁡2x+cos⁡2xf(x)=\sin^2 x+\cos^2 x היא 00 לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x(−sin⁡x)=0\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים כל מחובר בשרשרת

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

ובלי לגזור: הפונקציה קבועה

הטענה נכונה. f(x)=1f(x)=1 לכל xx, ונגזרת של קבוע היא 00. הגזירה מאשרת את הזהות.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • sin⁡2x\sin 2x
  • cos⁡x2\cos\frac{x}{2}
  • tan⁡(x+1)\tan(x+1)
  • sin⁡3x\sin^3 x
  • −12sin⁡x2-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}
  • 1cos⁡2(x+1)\frac{1}{\cos^2(x+1)}
  • 2cos⁡2x2\cos 2x
  • 3sin⁡2xcos⁡x3\sin^2 x\cos x
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡2x\sin 2x — 2cos⁡2x2\cos 2x · cos⁡x2\cos\frac{x}{2} — −12sin⁡x2-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} · tan⁡(x+1)\tan(x+1) — 1cos⁡2(x+1)\frac{1}{\cos^2(x+1)} · sin⁡3x\sin^3 x — 3sin⁡2xcos⁡x3\sin^2 x\cos x

Worked solution:

(cos⁡x2)′=−sin⁡x2⋅12(\cos\tfrac{x}{2})'=-\sin\tfrac{x}{2}\cdot\tfrac{1}{2}

הנגזרת הפנימית היא 12\frac12

(sin⁡3x)′=3sin⁡2x⋅cos⁡x(\sin^3 x)'=3\sin^2 x\cdot\cos x

החזקה בחוץ, הסינוס בפנים

ב-tan⁡(x+1)\tan(x+1) הנגזרת הפנימית היא 11, ולכן אין מקדם. ב-sin⁡3x\sin^3 x שוכחים לעתים את cos⁡x\cos x, הנגזרת של הפונקציה הפנימית.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x+cos⁡2xf(x)=x+\cos 2x בקטע 0≤x≤π0\le x\le\pi. בכמה נקודות בקטע המשיק לגרף מקביל לישר y=xy=x?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=1−2sin⁡2xf'(x)=1-2\sin 2x

הנגזרת

1−2sin⁡2x=1⇒sin⁡2x=0\begin{aligned}1-2\sin 2x &= 1 \Rightarrow \sin 2x \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע 11, כמו הישר

0≤2x≤2π⇒2x=0 π 2π\begin{aligned}0\le 2x\le 2\pi \Rightarrow 2x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

כל הפתרונות בקטע של 2x2x

x=0 π2 π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

שלוש נקודות

שלוש נקודות. כש-xx עובר על [0,π][0,\pi], הזווית 2x2x עוברת על [0,2π][0,2\pi]: הקטע מוכפל. מי שפותר sin⁡2x=0\sin 2x=0 רק ב-[0,π][0,\pi] מאבד את x=πx=\pi.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade