Studying a function on a given interval

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פונקציה טריגונומטרית חוזרת על עצמה, ולכן יש לה אינסוף נקודות קיצון. לכן בבגרות היא נחקרת תמיד בקטע נתון. הנה הגרף של f(x)=sin⁡2x−2sin⁡xf(x)=\sin 2x-2\sin x בקטע −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi. לפני כל חישוב, קראו בו את הקיצון, את האפסים ואת הסימטריה.

y = sin 2x − 2 sin x
מקסימוםמינימום(0,0)-1π-0.75π-0.5π-0.25π0π0.25π0.5π0.75π1π-3-2-1123xy
הציר האופקי מסומן בכפולות של π\pi. הגרף סימטרי לראשית. ליד x=0x=0 הוא נעשה שטוח לרגע ובכל זאת ממשיך לרדת.

לפי הגרף: כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש בקטע, ומה קורה לגרף ב-x=0x=0?

Show the answer and the solution

שלוש: x=−πx=-\pi, x=0x=0 ו-x=πx=\pi. ב-x=0x=0 המשיק אופקי, אבל הגרף יורד לפניו וגם אחריו. זו אינה נקודת קיצון.

שלבי החקירה בקטע

11

תחום הגדרה: שורש, מכנה, tan⁡\tan. מה שנשאר מהקטע הנתון

22

זוגיות ומחזור: מציבים −x-x. פונקציה זוגית או אי-זוגית חוסכת חצי מהעבודה

33

חיתוך עם הצירים: משוואה טריגונומטרית, ורק הפתרונות שבקטע

44

נגזרת ומשוואה f′(x)=0f'(x)=0 בקטע, לרוב אחרי פירוק לגורמים

55

טבלת סימנים, כולל הקצוות של הקטע

66

סקיצה: קצוות, קיצון, אפסים, אסימפטוטות

חקירה מלאה בקטע סימטרי

נתונה f(x)=sin⁡2x−2sin⁡xf(x)=\sin 2x-2\sin x בקטע −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi. חקרו את הפונקציה.

f(−x)=sin⁡(−2x)−2sin⁡(−x)=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \sin(-2x)-2\sin(-x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

אי-זוגית: הגרף סימטרי לראשית

f(x)=2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡x=2sin⁡x(cos⁡x−1)\begin{aligned}f(x) &= 2\sin x\cos x-2\sin x \\ &= 2\sin x(\cos x-1)\end{aligned}

מפרקים לגורמים

sin⁡x=0 או cos⁡x=1⇒x=−π 0 π\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \text{או}\ \cos x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -\pi \\ \ 0 \\ \ \pi\end{aligned}

אפסים

f′(x)=2cos⁡2x−2cos⁡x=2(2cos⁡2x−cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x-2\cos x \\ &= 2(2\cos^2 x-\cos x-1)\end{aligned}

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1

2(2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)=0⇒x=±2π3 0\begin{aligned}2(2\cos x+1)(\cos x-1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3} \\ \ 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-cos⁡x\cos x

f(2π3)=−32−3=−332\begin{aligned}f\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) &= -\tfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt3 \\ &= -\tfrac{3\sqrt3}{2}\end{aligned}

ומאי-הזוגיות: f(−2π3)=332f\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt3}{2}

למה x=0x=0 אינה נקודת קיצון, אף ש-f′(0)=0f'(0)=0?

Show the answer and the solution

משני צדי x=0x=0 הנגזרת שלילית: cos⁡x−1<0\cos x-1<0 ו-2cos⁡x+1>02\cos x+1>0. הפונקציה יורדת לפני 00 וגם אחריו. נגזרת אפס בלי החלפת סימן אינה קיצון.

זוגיות ומחזור

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x): פונקציה זוגית, סימטרית לציר ה-yy. f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x): אי-זוגית, סימטרית לראשית. כדי להוכיח מציבים −x-x ומשתמשים ב-cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x וב-sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x. המחזור של sin⁡(ax+b)\sin(ax+b) ושל cos⁡(ax+b)\cos(ax+b) הוא 2π∣a∣\frac{2\pi}{|a|}, ושל tan⁡(ax+b)\tan(ax+b) הוא π∣a∣\frac{\pi}{|a|}.

האם f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהן?

Show the answer and the solution

f(−x)=(−x)sin⁡(−x)=(−x)(−sin⁡x)=xsin⁡x=f(x)f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x). זוגית. מכפלה של שתי פונקציות אי-זוגיות היא זוגית.

אסימפטוטה אנכית או «חור»

tan⁡x\tan x, ומנה שבמכנה שלה cos⁡x\cos x או sin⁡x\sin x, אינן מוגדרות כשהמכנה מתאפס. בכל נקודה כזאת בודקים את המונה. אם המונה אינו מתאפס, יש אסימפטוטה אנכית. אם גם המונה מתאפס, מצמצמים ובודקים שוב: לפעמים נשארת רק נקודה חסרה.

שלוש טעויות בחקירה בקטע.

f′(0)=0⇒קיצוןf'(0)=0 \Rightarrow \text{קיצון}
f′: −→0→−⇒איןf':\ -\to 0\to - \Rightarrow \text{אין}

נגזרת אפס היא רק נקודה חשודה. קיצון יש רק כש-f′f' מחליפה סימן, וטבלת הסימנים מכריעה.

cos⁡x=12⇒x=π3\begin{aligned}\cos x &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{3}\end{aligned}
x=π3 או x=5π3\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3} \ \text{או}\ x \\ &= \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

בכל סיבוב יש שני פתרונות. בודקים את כל הקטע.

f(x)=sin⁡2xcos⁡x: x=π2 אסימפטוטה\begin{aligned}f(x) &= \frac{\sin 2x}{\cos x}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}
2sin⁡xcos⁡xcos⁡x=2sin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x

גם המונה מתאפס ב-π2\frac{\pi}{2}. אחרי הצמצום נשארת נקודה חסרה, לא אסימפטוטה.

בקטע סגור, הקצוות שייכים לחקירה: הם נכנסים לטבלת הסימנים, והערכים שם יכולים להיות הגדולים או הקטנים ביותר.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=32cos⁡x+1f(x)=\dfrac{3}{2\cos x+1} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באילו נקודות של הקטע ff אינה מוגדרת?

  1. x=π3x=\frac{\pi}{3} ו-x=5π3x=\frac{5\pi}{3}
  2. x=2π3x=\frac{2\pi}{3} ו-x=4π3x=\frac{4\pi}{3}
  3. היא מוגדרת בכל הקטע
  4. x=2π3x=\frac{2\pi}{3} בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B x=2π3x=\frac{2\pi}{3} ו-x=4π3x=\frac{4\pi}{3}

Worked solution:

2cos⁡x+1=0⇒cos⁡x=−12\begin{aligned}2\cos x+1 &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

המכנה מתאפס

x=2π3 4π3\begin{aligned}x &= \tfrac{2\pi}{3} \\ \ \tfrac{4\pi}{3}\end{aligned}

שני פתרונות בסיבוב

הנכונה: 2π3\frac{2\pi}{3} ו-4π3\frac{4\pi}{3}. π3\frac{\pi}{3} ו-5π3\frac{5\pi}{3} פותרים cos⁡x=+12\cos x=+\frac12: טעות בסימן. «2π3\frac{2\pi}{3} בלבד» שוכחת את הפתרון השני.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

0≤2x≤4π0\le 2x\le 4\pi

הקטע של הזווית 2x2x

2x=0 π 2π 3π 4π\begin{aligned}2x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi \\ \ 3\pi \\ \ 4\pi\end{aligned}

sin⁡\sin מתאפס בכפולות של π\pi

x=0 π2 π 3π2 2π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ 2\pi\end{aligned}

חמש נקודות

חמש נקודות, כולל שני הקצוות. מי שעונה 33 פתר sin⁡x=0\sin x=0 ושכח שהמחזור של sin⁡2x\sin 2x הוא π\pi.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}. חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.3333

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x(2+cos⁡x)+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2 x}{(2+\cos x)^2} \\ &= \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}\end{aligned}

כלל המנה ו-sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

f′(0)=39=13≈0.33\begin{aligned}f'(0) &= \frac{3}{9} \\ &= \frac13\approx 0.33\end{aligned}

מציבים

f′(0)=13≈0.33f'(0)=\frac13\approx 0.33. בכלל המנה (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x, ולכן מופיע +sin⁡2x+\sin^2 x. מי שכותב −sin⁡2x-\sin^2 x מקבל אותו ערך ב-x=0x=0, אבל נוסחה שגויה בכל נקודה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 4

מיינו את הפונקציות: זוגית או אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • cos⁡3x\cos 3x
  • sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}
  • sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x
  • tan⁡x\tan x
  • xsin⁡xx\sin x
  • x2sin⁡xx^2\sin x
Show the answer and the solution

Answer: cos⁡3x\cos 3x — זוגית · xsin⁡xx\sin x — זוגית · sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} — זוגית · x2sin⁡xx^2\sin x — אי-זוגית · tan⁡x\tan x — אי-זוגית · sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x — אי-זוגית

Worked solution:

sin⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡(−x)=cos⁡x\begin{aligned}\sin(-x) &= -\sin x \\ \quad \cos(-x) &= \cos x\end{aligned}

מציבים −x-x

(−x)2sin⁡(−x)=−x2sin⁡x(-x)^2\sin(-x)=-x^2\sin x

זוגית כפול אי-זוגית: אי-זוגית

sin⁡(−x)−x=sin⁡xx\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}

אי-זוגית חלקי אי-זוגית: זוגית

הכלל כמו בכפל סימנים: זוגית כפול זוגית, או אי-זוגית כפול אי-זוגית, נותנת זוגית. אחרת אי-זוגית. sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac12\sin 2x, ולכן אי-זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x−2sin⁡xf(x)=x-2\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. נקודות הקיצון הפנימיות הן ב-x=kπx=k\pi. מלאו את kk (אפשר לכתוב שבר, למשל 2/3).

מינימום: x=x= ____ π\pi ; מקסימום: x=x= ____ π\pi

Show the answer and the solution

Answer: מינימום: x=x= 0.3333333333333333 π\pi ; מקסימום: x=x= 1.6666666666666667 π\pi

Worked solution:

f′(x)=1−2cos⁡x=0⇒cos⁡x=12\begin{aligned}f'(x) &= 1-2\cos x \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= \tfrac12\end{aligned}

נקודות חשודות

x=π3 5π3\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

בקטע

f′(0)=−1<0f′(π)=3>0f′(2π)=−1<0\begin{aligned}f'(0) &= -1<0 \\ \quad f'(\pi) &= 3>0 \\ \quad f'(2\pi) &= -1<0\end{aligned}

סימן הנגזרת בכל תחום

min⁡ x=π3max⁡ x=5π3\begin{aligned}\min\ x &= \tfrac{\pi}{3} \\ \qquad \max\ x &= \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

מ-−- ל-++ מינימום, מ-++ ל-−- מקסימום

המינימום ב-π3\frac{\pi}{3} והמקסימום ב-5π3\frac{5\pi}{3}. מי שמחליף ביניהם לא בדק את הסימן של f′f': הפתרונות של cos⁡x=12\cos x=\frac12 לבדם לא אומרים איזה סוג קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף של f(x)=sin⁡2xcos⁡xf(x)=\dfrac{\sin 2x}{\cos x} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

  1. שתיים: x=π2x=\frac{\pi}{2} ו-x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
  2. אין אף אחת
  3. אחת: x=π2x=\frac{\pi}{2}
  4. אחת: x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
Show the answer and the solution

Answer: B אין אף אחת

Worked solution:

cos⁡x=0⇒x=π2 3π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

הפונקציה אינה מוגדרת שם

2sin⁡xcos⁡xcos⁡x=2sin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x

גם המונה מתאפס: מצמצמים

f(x)→2,f(x)→−2f(x)\to 2,\quad f(x)\to -2

הגבולות ב-π2\frac{\pi}{2} וב-3π2\frac{3\pi}{2} סופיים

הנכונה: אין. הגרף הוא y=2sin⁡xy=2\sin x עם שתי נקודות חסרות. מי שעונה «שתיים» בדק רק את המכנה ולא את המונה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. מהו הערך הגדול ביותר של ff? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.5774

Worked solution:

f′(x)=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2=0⇒cos⁡x=−12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2} \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

x=2π3: f=3232=33≈0.58\begin{aligned}x &= \tfrac{2\pi}{3}:\ f \\ &= \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac32} \\ &= \frac{\sqrt3}{3}\approx 0.58\end{aligned}

מקסימום: f′f' עוברת מ-++ ל-−-

x=4π3: f=−33\begin{aligned}x &= \tfrac{4\pi}{3}:\ f \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned}

מינימום

f(0)=f(2π)=0\begin{aligned}f(0) &= f(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}

הקצוות

הערך הגדול ביותר 33≈0.58\frac{\sqrt3}{3}\approx 0.58, ב-x=2π3x=\frac{2\pi}{3}. הוא לא ב-x=π2x=\frac{\pi}{2}, שם sin⁡x\sin x מקסימלי: גם המכנה משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=1−cos⁡x⇒f′(0)=0\begin{aligned}f'(x) &= 1-\cos x \Rightarrow f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה

1−cos⁡x≥01-\cos x\ge 0

הנגזרת אינה שלילית אף פעם

f′(−0.1)>0,f′(0.1)>0f'(-0.1)>0,\quad f'(0.1)>0

אין החלפת סימן

הטענה לא נכונה. הפונקציה עולה משני הצדדים של x=0x=0. f′(0)=0f'(0)=0 לבדו אינו מספיק לקיצון.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו המחזור של f(x)=sin⁡2x+cos⁡3xf(x)=\sin 2x+\cos 3x?

  1. 2π2\pi
  2. 2π3\frac{2\pi}{3}
  3. π\pi
  4. 6π6\pi
Show the answer and the solution

Answer: A 2π2\pi

Worked solution:

T1=2π2=πT2=2π3\begin{aligned}T_1 &= \tfrac{2\pi}{2} \\ &= \pi \\ \qquad T_2 &= \tfrac{2\pi}{3}\end{aligned}

המחזור של כל מחובר

2π=2T1=3T2\begin{aligned}2\pi &= 2T_1 \\ &= 3T_2\end{aligned}

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר

הנכונה: 2π2\pi. צריך מספר ששני הגלים חוזרים בו יחד: 2π2\pi הוא שני מחזורים של הראשון ושלושה של השני. 6π6\pi הוא מכפלה ולא הכפולה הקטנה ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=2sin⁡x+xf(x)=2\sin x+x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}
  2. 0<x<2π30<x<\frac{2\pi}{3}
  3. π2<x<3π2\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}
  4. π3<x<5π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}
Show the answer and the solution

Answer: A 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}

Worked solution:

f′(x)=2cos⁡x+1<0⇒cos⁡x<−12f'(x)=2\cos x+1<0 \Rightarrow \cos x<-\tfrac12

יורדת כשהנגזרת שלילית

2π3<x<4π3\tfrac{2\pi}{3}<x<\tfrac{4\pi}{3}

הקשת שבה cos⁡x<−12\cos x<-\frac12

הנכונה: 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}. π2<x<3π2\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2} הוא התחום שבו cos⁡x<0\cos x<0, ושם שוכחים את המחובר +1+1 בנגזרת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade