Parameters, the graph of f′ and area · Studying trigonometric functions · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלת החקירה של הבגרות, החקירה עצמה היא רק ההתחלה. אחריה באים פרמטר שנקבע מנתון, זיהוי הגרף של $f'$ , מספר הפתרונות של $f(x)=k$ ושטח. הנה $f(x)=\sin^2 x$ (רציף) והנגזרת שלה $f'(x)=\sin 2x$ (מקווקו), על אותם צירים.

f(x) = sin²x ו-f′(x) = sin 2x

f
f′

הציר האופקי מסומן בכפולות של

\pi

. בכל מקסימום של

f

הגרף של

f'

חוצה את הציר מלמעלה למטה, ובכל מינימום מלמטה למעלה. במקום שבו

f

עולה הכי מהר,

f'

בשיא.

לפי הגרף: מה הסימן של $f'$ בתחום $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ , ומה עושה שם $f$ ?

Show the answer and the solution

$f'$ שלילית שם, כי $2x$ נמצא בין $\pi$ ל- $2\pi$ . לכן $f$ יורדת, מ- $1$ ב- $\frac{\pi}{2}$ עד $0$ ב- $\pi$ .

פרמטר מנתון

כל נתון הופך למשוואה. נקודה על הגרף: $f(x_0)=y_0$ . קיצון ב- $x_0$ : $f'(x_0)=0$ . משיק מקביל לישר: $f'(x_0)=m$ . ציר ה- $x$ משיק בקיצון: $f'(x_0)=0$ וגם $f(x_0)=0$ . אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו שהקיצון באמת קיצון.

פרמטר מקיצון

לפונקציה $f(x)=a\cos x+\sin 2x$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{6}$ . מצאו את $a$ ואת סוג הקיצון.

f'(x)=-a\sin x+2\cos 2x

הנגזרת

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= -\tfrac{a}{2}+2\cdot\tfrac12 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

\begin{aligned}f'(0) &= 2>0 \\ \qquad f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= -2-2 \\ &= -4<0\end{aligned}

בודקים סימנים משני הצדדים

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= \sqrt3+\tfrac{\sqrt3}{2} \\ &= \tfrac{3\sqrt3}{2}\end{aligned}

מקסימום

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=k$

מעבירים על הסקיצה ישר אופקי $y=k$ וסופרים את נקודות החיתוך. מספר החיתוכים משתנה רק כשהישר עובר בערך קיצון או בערך של קצה. לכן אלה המספרים שקובעים את התשובה.

כמה פתרונות יש למשוואה $\sin^2 x=\frac14$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ ?

Show the answer and the solution

$\sin x=\frac12$ או $\sin x=-\frac12$ . לכל אחת שני פתרונות בסיבוב: $\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$ . ארבעה פתרונות. מי ששוכח את $-\frac12$ מקבל רק שניים.

אינטגרלים מיידיים ושטח

\begin{aligned}\int\sin(ax+b)\,dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C \qquad \int\cos(ax+b)\,dx \\ &= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\end{aligned}

בגזירה $a$ יוצא החוצה ככפל. באינטגרל הוא יוצא כחילוק.

שטח בשני חלקים

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\sin 2x$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le\pi$ .

\sin 2x\ge 0 \ \text{ב-}\ 0\le x\le\tfrac{\pi}{2},\qquad \sin 2x\le 0 \ \text{ב-}\ \tfrac{\pi}{2}\le x\le\pi

הגרף חוצה את הציר ב- $\frac{\pi}{2}$

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx &= \left[-\tfrac12\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= \tfrac12+\tfrac12 \\ &= 1\end{aligned}

החלק שמעל הציר

\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx=-1

החלק שמתחת לציר: אינטגרל שלילי

\begin{aligned}S &= 1+|-1| \\ &= 2\end{aligned}

השטח הוא סכום הערכים המוחלטים

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx &= f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0) \\ &= 1-0\end{aligned}

ובדרך אחרת: $\sin 2x$ היא הנגזרת של $\sin^2 x$

שלוש טעויות באינטגרל ובשטח.

\int\sin x\,dx=\cos x+C

\int\sin x\,dx=-\cos x+C

בדיקה בגזירה: $(-\cos x)'=\sin x$ .

\int\cos 2x\,dx=2\sin 2x+C

\int\cos 2x\,dx=\tfrac12\sin 2x+C

המקדם $2$ מתחלק, הוא לא מוכפל.

\begin{aligned}S &= \int_0^{2\pi}\sin x\,dx \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 2\int_0^{\pi}\sin x\,dx \\ &= 4\end{aligned}

החלק שמעל הציר והחלק שמתחתיו מתקזזים באינטגרל. שטח מחשבים בנפרד בכל חלק.

כשהשאלה מבקשת שטח מתחת לגרף של $f'$ , אין צורך למצוא אינטגרל: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$ . כל מה שצריך הוא ערכי $f$ בשני הקצוות.

Exercises

Exercise 1

הגרף של $f(x)=a\sin x+\cos 2x$ עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{2},\,3\right)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= a\cdot 1+\cos\pi \\ &= a-1\end{aligned}

מציבים את $x$ של הנקודה

\begin{aligned}a-1 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל- $y$ של הנקודה

$a=4$ . $\cos\pi=-1$ ולא $1$ : מי שטועה בזה מקבל $a=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

לפונקציה $f(x)=a\sin 2x+\cos x$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{6}$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f'(x)=2a\cos 2x-\sin x

שרשרת: $2$ יוצא מ- $\sin 2x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= 2a\cdot\tfrac12-\tfrac12 \\ &= a-\tfrac12 \\ &= 0\end{aligned}

קיצון

a=\tfrac12

$a=0.5$ . מי ששוכח את הנגזרת הפנימית $2$ מקבל $a=1$ . הנתון «קיצון» הוא נתון על $f'$ , לא על $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=2\cos x-\cos 2x+a$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ציר ה- $x$ משיק לגרף של $f$ בנקודת המינימום שלו. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin x+2\sin 2x \\ &= 2\sin x(2\cos x-1)\end{aligned}

הנגזרת, מפורקת

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3} \\ \ \pi \\ \ \tfrac{5\pi}{3} \\ \ 2\pi\end{aligned}

נקודות חשודות וקצוות

\begin{aligned}f(\pi) &= -2-1+a \\ &= a-3\end{aligned}

הערך הקטן ביותר, ב- $x=\pi$

\begin{aligned}a-3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משיק לציר ה- $x$ : הערך המינימלי הוא $0$

$a=3$ . בנקודת המינימום $f'=0$ לכל $a$ , ולכן התנאי החדש הוא $f=0$ שם. ב- $x=\frac{\pi}{3}$ יש מקסימום, לא מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 4

y = f′(x)

בשרטוט הגרף של $f'$ , הנגזרת של פונקציה $f$ , בקטע $0\le x\le 2\pi$ . איזו מהפונקציות יכולה להיות $f$ ?

$f(x)=\cos 2x$
$f(x)=\sin 2x$
$f(x)=\sin^2 x$
$f(x)=\cos^2 x$

Show the answer and the solution

Answer: D $f(x)=\cos^2 x$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(0) &= 0 \\ \qquad f'(x)<0 \ \ (0<x<\tfrac{\pi}{2})\end{aligned}

קוראים מהגרף: יוצא מ- $0$ ויורד

\begin{aligned}(\cos^2 x)' &= -2\cos x\sin x \\ &= -\sin 2x\end{aligned}

מתאים: גובה $1$ ומחזור $\pi$

(\cos 2x)'=-2\sin 2x

גובה $2$ : לא מתאים

הנכונה: $\cos^2 x$ . $(\sin^2 x)'=\sin 2x$ מתחילה בעלייה. $(\cos 2x)'=-2\sin 2x$ מגיעה עד $2$ , והגרף מגיע רק עד $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

y = f(x)

בשרטוט הגרף של $f(x)=2\cos x-\cos 2x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=1.2$ בקטע?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \ f\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= 1.5 \\ \ f(\pi) &= -3 \\ \ f\left(\tfrac{5\pi}{3}\right) &= 1.5 \\ \ f(2\pi) &= 1\end{aligned}

ערכי הקיצון והקצוות

1<1.2<1.5

הישר עובר בין ערך הקצה לערך המקסימום

4

חיתוך אחד בכל אחד מארבעת הקטעים המונוטוניים

ארבעה פתרונות. הישר $y=1.2$ נמצא מעל ערכי הקצוות ( $1$ ), ולכן הוא חותך גם ליד $x=0$ וגם ליד $x=2\pi$ . מי שסופר רק את הירידה הגדולה עונה $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

y = f(x)

בשרטוט הגרף של $f(x)=2\cos x-\cos 2x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות בקטע?

$-3<k<1$
$-3<k<1.5$
$-3<k<1$ או $k=1.5$
$-3\le k\le 1$

Show the answer and the solution

Answer: C $-3<k<1$ או $k=1.5$

Worked solution:

-3<k<1

הישר חותך רק את הירידה אל $-3$ ואת העלייה ממנה

k=1.5

הישר עובר בשתי נקודות המקסימום בדיוק

\begin{aligned}k &= 1:\ 4 \\ \qquad 1<k<1.5:\ 4 \\ \qquad k &= -3:\ 1\end{aligned}

הערכים האחרים

הנכונה: $-3<k<1$ או $k=1.5$ . ב- $k=1$ יש ארבעה פתרונות, כי גם הקצוות $x=0$ ו- $x=2\pi$ נחשבים. ו- $k=1.5$ נשכח בקלות: שתי נקודות משיקה הן שני פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו: $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx$

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\int\sin 2x\,dx=-\tfrac12\cos 2x+C

אינטגרל מיידי עם ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}\left[-\tfrac12\cos 2x\right]_0^{\pi/4} &= -\tfrac12\cos\tfrac{\pi}{2}+\tfrac12\cos 0 \\ &= 0+\tfrac12\end{aligned}

$0.5$ . מי שכותב $-2\cos 2x$ מכפיל במקום לחלק, ומקבל $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\sin x$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sin x\,dx &= [-\cos x]_0^{\pi} \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

מעל הציר

\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=-2

מתחת לציר

\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

השטח $4$ . האינטגרל על כל הקטע הוא $0$ , כי שני החלקים מתקזזים. שטח אינו אינטגרל אחד כשהגרף חוצה את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=\sin^2 x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x=\frac{\pi}{2}$ , בקטע $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f'(x)=\sin 2x\ge 0 \ \text{ב-}\ 0\le x\le\tfrac{\pi}{2}

הגרף של $f'$ מעל הציר

\begin{aligned}S &= \int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx \\ &= f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0) \\ &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

המשפט היסודי

השטח $1$ . לא צריך למצוא אינטגרל של $\sin 2x$ : השטח מתחת ל- $f'$ הוא ההפרש בין ערכי $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו או הפריכו: $\int_0^{2\pi}\cos x\,dx=0$ , ולכן השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\cos x$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ הוא $0$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^{2\pi}\cos x\,dx &= [\sin x]_0^{2\pi} \\ &= 0\end{aligned}

החלק הראשון נכון

\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1

אבל השטח: מחלקים לפי האפסים $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$

\begin{aligned}S &= 1+2+1 \\ &= 4\end{aligned}

הטענה לא נכונה. האינטגרל אכן $0$ , אבל השטח הוא $4$ . אינטגרל סופר שטח מתחת לציר בסימן שלילי.

Check the answer on elev

פרמטר מנתון

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k

אינטגרלים מיידיים ושטח

Exercises

Keep practising on elev

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=k$