Exponential inequalities · Powers and the exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כמו במשוואות: כותבים את שני האגפים באותו בסיס, ומשווים את המעריכים.

אבל כאן צריך להחליט גם על כיוון הסימן. את ההחלטה עושה הבסיס.

בסיס גדול מ-1: הסימן נשאר

$2^x$ עולה. לכן $2^{f(x)}>2^{g(x)}$ בדיוק כאשר $f(x)>g(x)$ .

הגרף של

y=2^x

מעל הקו

y=8

בדיוק כאשר

x>3

. לכן הפתרון של

2^x>8

הוא

x>3

Interactive activity

פותרים יחד: בסיס גדול מ-1

2^{x-1} \ge 8

תחום

איפה מוגדר $2^{x-1}$ ?

\text{לכל } x

x>0

Show the answer and the solution

זה התחום של לוגריתם. במעריך אפשר להציב כל מספר, גם שלילי.

בפונקציה מעריכית אין הגבלה על $x$ .

אותו בסיס

איך כותבים את $8$ כחזקה של $2$ ?

8=2^{3}

8=2^{4}

Show the answer and the solution

$2^4=16$ . סופרים: $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ .

8=2^{-3}

Show the answer and the solution

$2^{-3}=\frac{1}{8}$ . מעריך שלילי נותן שבר.

עכשיו בשני האגפים אותו בסיס.

2^{x-1} \ge 2^{3}

הבסיס מחליט

הבסיס $2$ גדול מ- $1$ . מה כותבים בלי הבסיס?

x-1 \ge 3

x-1 \le 3

Show the answer and the solution

הבסיס גדול מ- $1$ : הפונקציה עולה, והסימן נשאר.

כלומר $x \ge 4$ .

x-1 \ge 3 \ \Rightarrow\ x \ge 4

חותכים

מה החלק המשותף לשתי השורות?

x \ge 4

x>4

Show the answer and the solution

גם $x=4$ פתרון: $2^{3}=8$ , והסימן הוא $\ge$ .

זה הפתרון.

אותו בסיס, ואז הבסיס מחליט: גדול מ- $1$ , הסימן נשאר.

Do the activity on elev

פתרו: $3^{2x}<27$ .

Show the answer and the solution

$3^{2x}<3^{3}$ . הבסיס $3>1$ , הסימן נשאר: $2x<3$ , כלומר $x<1.5$ .

בסיס בין 0 ל-1: הסימן מתהפך

$\left(\frac{1}{2}\right)^x$ יורדת: מעריך גדול יותר נותן ערך קטן יותר. לכן כשמורידים את הבסיס, הופכים את הסימן.

0<a<1:\quad a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)<g(x)

Interactive activity

פותרים יחד: בסיס קטן מ-1

\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} < 9

תחום

איפה מוגדר $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$ ?

\text{לכל } x

x>0

Show the answer and the solution

זה התחום של לוגריתם. במעריך אפשר להציב כל מספר, גם שלילי.

בפונקציה מעריכית אין הגבלה על $x$ .

אותו בסיס

איך כותבים את $9$ כחזקה של $\frac{1}{3}$ ?

9=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}

9=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}

Show the answer and the solution

$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$ . כדי לקבל $9$ צריך מעריך שלילי.

9=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}

Show the answer and the solution

$\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$ .

כי $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9$ .

\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}

הבסיס מחליט

הבסיס $\frac{1}{3}$ קטן מ- $1$ . מה כותבים בלי הבסיס?

x-2 > -2

x-2 < -2

Show the answer and the solution

הבסיס קטן מ- $1$ : הפונקציה יורדת, והסימן מתהפך.

הסימן התהפך: $<$ הפך ל- $>$ . כלומר $x>0$ .

x-2 > -2 \ \Rightarrow\ x>0

חותכים

מה הפתרון?

x>0

x<0

Show the answer and the solution

בדקו את $x=2$ : $\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1<9$ ✓. ו- $x=-1$ : $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=27$ , לא קטן מ- $9$ .

זה הפתרון.

אותם צעדים כמו בבסיס גדול מ- $1$ . רק הסימן מתהפך.

Do the activity on elev

פתרו: $0.5^{x}>0.25$ .

Show the answer and the solution

$0.25=0.5^{2}$ . הבסיס קטן מ- $1$ , הסימן מתהפך: $x<2$ .

כשמתקבל אי-שוויון ריבועי

המעריך יכול להיות ביטוי ריבועי. אז אחרי שמורידים את הבסיס, פותרים אי-שוויון ריבועי.

Interactive activity

פותרים יחד: מעריך ריבועי

2^{x^2-2x} \le 8

אותו בסיס

כותבים את $8$ כחזקה של $2$ . מה מקבלים?

2^{x^2-2x} \le 2^{3}

2^{x^2-2x} \le 2^{4}

Show the answer and the solution

$2^4=16$ , לא $8$ .

אותו בסיס בשני האגפים.

הבסיס מחליט

הבסיס $2$ גדול מ- $1$ . איזה אי-שוויון מקבלים?

x^2-2x \le 3

x^2-2x \ge 3

Show the answer and the solution

הבסיס גדול מ- $1$ : הסימן נשאר.

x^2-2x \le 8

Show the answer and the solution

משווים מעריכים: את $8$ כבר כתבנו כ- $2^3$ .

אי-שוויון ריבועי.

x^2-2x-3 \le 0

שורשים

מהם השורשים של $x^2-2x-3=0$ ?

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

Show the answer and the solution

בדיקה: $1-2-3 \neq 0$ . הסימנים הפוכים.

$(x+1)(x-3)=0$ .

(x+1)(x-3) \le 0

צד של הפרבולה

הפרבולה «שמחה». איפה היא מתחת לציר, או עליו?

-1 \le x \le 3

x \le -1 \ \text{או}\ x \ge 3

Show the answer and the solution

שם הפרבולה מעל הציר. בודקים את $x=0$ : $-3 \le 0$ ✓.

בין השורשים.

אחרי שמורידים את הבסיס, נשאר אי-שוויון ריבועי: שורשים, ואז הצד של הפרבולה.

Do the activity on elev

פתרו: $0.5^{x^2}>0.5^{x+2}$

אותו בסיס כבר יש. הבסיס $0.5<1$ .

x^2<x+2

הסימן מתהפך

x^2-x-2<0 \ \Rightarrow\ (x-2)(x+1)<0

אי-שוויון ריבועי

-1<x<2

בין השורשים

פתרו: $3^{x^2} \ge 3^{2x+3}$ .

Show the answer and the solution

הבסיס $3>1$ : $x^2 \ge 2x+3$ , כלומר $(x-3)(x+1) \ge 0$ . הפתרון: $x \le -1$ או $x \ge 3$ .

לפני שמורידים בסיס, שואלים: מה הבסיס? גדול מ- $1$ — הסימן נשאר. בין $0$ ל- $1$ — הסימן מתהפך.

שלוש טעויות שחוזרות.

0.2^{x}<0.2^{3}\ \Rightarrow\ x<3

0.2^{x}<0.2^{3}\ \Rightarrow\ x>3

בסיס קטן מ- $1$ : הופכים את הסימן.

4^{x}>2^{x+1}\ \Rightarrow\ x>x+1

2^{2x}>2^{x+1}\ \Rightarrow\ 2x>x+1

קודם אותו בסיס, ורק אחר כך משווים מעריכים.

2^x>-4\ \Rightarrow\ x>-2

2^x>-4\ \Rightarrow\ x \in \mathbb{R}

$2^x$ חיובי תמיד, ולכן הוא גדול מ- $-4$ לכל $x$ .

Exercises

Exercise 1

מהו הפתרון של אי-השוויון $5^{x-2}<25$ ?

$x<0$
$x<27$
$x>4$
$x<4$

Show the answer and the solution

Answer: D $x<4$

Worked solution:

25=5^{2}

x-2<2 \ \Rightarrow\ x<4

הבסיס $5>1$ : הסימן נשאר

הנכונה: $x<4$ . $x<27$ משווה את המעריך ל- $25$ עצמו, בלי לכתוב $25=5^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הפתרון של אי-השוויון $\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \le 8$ ?

$x \ge 3$
$x \ge -3$
$x \le -3$
$x \le 3$

Show the answer and the solution

Answer: B $x \ge -3$

Worked solution:

8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

x \ge -3

הבסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

הנכונה: $x \ge -3$ . $x \le -3$ שוכחת להפוך את הסימן. בדיקה: $x=0$ נותן $1 \le 8$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 3

הוכיחו או הפריכו: $3^x>-1$ לכל $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

3^x>0>-1

הטענה נכונה. כל חזקה של בסיס חיובי גדולה מ- $0$ , ולכן גם מ- $-1$ . אין מה «לפתור» כאן.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את אי-השוויון $2^{x^2-1}<8$ . השלימו.

____ $<x<$ ____

Show the answer and the solution

Answer: -2 $<x<$ 2

Worked solution:

x^2-1<3

$8=2^3$ , הבסיס $2>1$

x^2<4 \ \Rightarrow\ -2<x<2

מ- $x^2<4$ מקבלים שני גבולות. מי שכתב רק $x<2$ שכח את הצד השלילי.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון $3^{x^2-4x} \le \frac{1}{27}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\frac{1}{27}=3^{-3} \ \Rightarrow\ x^2-4x \le -3

הבסיס $3>1$

x^2-4x+3 \le 0 \ \Rightarrow\ 1 \le x \le 3

בין השורשים

\begin{aligned}x &= 1 \\ 2 \\ 3\end{aligned}

שלושה: $1$ , $2$ ו- $3$ . הגבולות כלולים, כי הסימן הוא $\le$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הפתרון של $0.2^{x^2} \ge 0.2^{9}$ ?

$x \ge 3$
$x \le -3$ או $x \ge 3$
$x \le 9$
$-3 \le x \le 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $-3 \le x \le 3$

Worked solution:

x^2 \le 9

הבסיס $0.2<1$ : הסימן מתהפך

-3 \le x \le 3

הנכונה: $-3 \le x \le 3$ . האפשרות השנייה לא הפכה את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1}>\frac{1}{243}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\frac{1}{243}=\left(\frac{1}{3}\right)^{5}

$3^5=243$

2x-1<5 \ \Rightarrow\ x<3

הבסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

$2$ . $x=3$ לא כלול: הסימן חזק. מי שלא הפך את הסימן קיבל $x>3$ , ואז אין «גדול ביותר».

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים $4^{x} \le 2^{x+3}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2^{2x} \le 2^{x+3}

אותו בסיס

2x \le x+3 \ \Rightarrow\ x \le 3

הבסיס $2>1$

$3$ , והוא כלול: $4^3=64=2^6$ . מי שהשווה $x \le x+3$ בלי לשנות בסיס קיבל «כל $x$ ».

Check the answer on elev

Exercise 9

מורידים את הבסיס. באיזה בסיס הסימן נשאר, ובאיזה מתהפך?

נשאר
מתהפך

$\frac{1}{7}$
$\frac{5}{4}$
$\sqrt{2}$
$0.3$
$0.99$
$2$

Show the answer and the solution

Answer: $2$ — נשאר · $0.3$ — מתהפך · $\frac{5}{4}$ — נשאר · $\frac{1}{7}$ — מתהפך · $\sqrt{2}$ — נשאר · $0.99$ — מתהפך

Worked solution:

a>1 \ \Rightarrow\ \text{נשאר}

0<a<1 \ \Rightarrow\ \text{מתהפך}

רק ההשוואה ל- $1$ חשובה. $0.99$ קרוב ל- $1$ , אבל קטן ממנו: הסימן מתהפך. $\sqrt{2} \approx 1.41$ גדול מ- $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל אי-שוויון את הפתרון שלו.

$2^{x}>2^{3-x}$
$0.5^{x}>0.5^{3-x}$
$9^{x} \ge 3^{x+3}$
$\left(\frac{1}{9}\right)^{x} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x+3}$

$x \ge 3$
$x \le 3$
$x<1.5$
$x>1.5$

Show the answer and the solution

Answer: $2^{x}>2^{3-x}$ — $x>1.5$ · $0.5^{x}>0.5^{3-x}$ — $x<1.5$ · $9^{x} \ge 3^{x+3}$ — $x \ge 3$ · $\left(\frac{1}{9}\right)^{x} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x+3}$ — $x \le 3$

Worked solution:

x>3-x \ \Rightarrow\ x>1.5

בסיס $2$ : נשאר

x<3-x \ \Rightarrow\ x<1.5

בסיס $0.5$ : מתהפך

2x \ge x+3

$9=3^2$ , בסיס $3$

2x \le x+3

$\frac{1}{9}=\left(\frac{1}{3}\right)^2$ , בסיס $\frac{1}{3}$

שני זוגות: אותם מעריכים, בסיס אחר — פתרון הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 11

פותרים את $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2} < \frac{1}{16}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2} < \left(\frac{1}{2}\right)^{4}

x^2 < 4

x<-2 \ \text{או}\ x>2

Show the answer and the solution

Answer: $x^2 < 4$ → $x^2 > 4$

Worked solution:

0<\frac{1}{2}<1

הסימן מתהפך

x^2>4 \ \Rightarrow\ x<-2 \ \text{או}\ x>2

השורה האחרונה כבר נכונה

בשורה 2 לא הפכו את הסימן. השורה 3 נכונה רק ל- $x^2>4$ : היא «מתקנת» בלי לשים לב.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו המספר השלם הקטן ביותר שמקיים $2^{x}>100$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

2^{6}=64<100

$x=6$ לא מספיק

2^{7}=128>100

$x=7$ כן

2^x\ \nearrow

הפונקציה עולה: כל $x$ גדול מ- $7$ גם מקיים

$7$ . $100$ אינו חזקה של $2$ , ולכן בודקים שתי חזקות שכנות. הפונקציה עולה, ולכן מספיק לבדוק את הגבול.

Check the answer on elev

בסיס גדול מ-1: הסימן נשאר

בסיס בין 0 ל-1: הסימן מתהפך

כשמתקבל אי-שוויון ריבועי

Exercises

Keep practising on elev